Vektorpotential AAA auf einem 2-Kugel-S2S2S^2-Radius RRR mit einigen entfernten Punkten

Dieses Vektorpotential kann in jedem Punkt der Ebene außer dem Ursprung geschrieben werden als:

$$A_x = -\frac{\partial \psi}{\partial y}$$

$$A_y = \frac{\partial \psi}{\partial x}$$

mit

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}(x^2+y^2)$$

$A$ist nicht genau, weil$\psi$ist am Ursprung singulär. Das bedeutet aber, dass das Magnetfeld an jedem Punkt außer dem Ursprung Null ist. Am Ursprung selbst muss das Magnetfeld unendlich sein, da der Fluss durch eine beliebige kleine Schleife nicht verschwindet:

$$\Phi = \int A = \int_0^{2\pi} d\phi = 2 \pi$$

Ein solches Magnetfeld kann durch eine unendliche Magnetspule erzeugt werden, deren Radius auf Null geschrumpft ist, während der Fluss konstant gehalten wird.

In der hydrodynamischen Terminologie die Funktion$\psi$Stromfunktion genannt wird, erfüllt sie die Laplace-Gleichung (harmonische Funktion) außer am Ursprung. Diese spezifische Stromfunktion beschreibt einen Wirbel (Das Vektorpotential beschreibt das Geschwindigkeitsfeld des Wirbels). Die Stromlinien dieses Geschwindigkeitsfeldes sind Kreise um den Ursprung und ihre Größe ist umgekehrt proportional zum Radius.

Um zu sehen, dass die Stromfunktion außer an der Singularität harmonisch ist, und um die Konstruktion auf den Fall der Kugel zu verallgemeinern, können wir komplexe Koordinaten in der Ebene verwenden:

$$z = x+iy$$

In dieser Darstellung haben wir:

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}(\bar{z}z)$$

Wenden wir den Laplace-Operator an, erhalten wir

$$\nabla^2 \psi=\partial_{\bar{z}} \partial_z \psi = \delta^2_L(z)$$

Wo wir verwendet haben

$$\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\frac{1}{z} = \delta^{(2)}_L(z)$$

ist die komplexe Koordinate in der Ebene.$\delta^{(2)}_L$ist die zweidimensionale Dirac-Delta-Funktion in Bezug auf das Lebesgue-Maß. dh,

$$\int_{\mathbb{C}} f(z) \delta^{(2)}_L(z-z_0) \mathrm{dRe}(z) \mathrm{dIm}(z) = f(z_0)$$

Das Vektorpotential in der komplexen Darstellung hat die Form:

$$A_z = \frac{1}{i}\frac{\partial \psi}{\partial \bar{z}}$$

$$A_{\bar{z}}= -\frac{1}{i}\frac{\partial \psi}{\partial z}$$

Ausdrücklich:

$$A = \frac{1}{2i}\frac{zd\bar{z}-\bar{z}dz}{\bar{z}z}$$

Diese Tatsache beschreibt eine andere physikalische Interpretation dieses Vektorpotentials wie folgt:

In zwei Dimensionen qualifiziert sich eine Funktion, die die Laplace-Gleichung (harmonische Funktion) erfüllt (außer an den Punktsingularitäten), als Stromfunktion, deren antisymmetrischer Gradient (der in unserem Problem das Vektorpotential ist) das Geschwindigkeitsfeld eines Wirbels beschreibt. Bitte beachten Sie, dass dieses Geschwindigkeitsfeld bei Drehungen um den Ursprung invariant ist und seine Größe umgekehrt proportional zum Abstand vom Ursprung ist. In dieser Interpretation ist das Linienintegral des Vektorpotentials die Vorticity.

Wir können die Position der Singularität (Flusslinie) beispielsweise auf jeden anderen Punkt in der Ebene verschieben$(x_0, y_0)$

$$A = \frac{(x-x_0)dy - (y-y_0)dx}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = \frac{1}{2i}\frac{(z-z_0)d\bar{z}-(\bar{z}- \bar{z_0})dz}{(\bar{z}- \bar{z_0})(z-z_0)}$$

In diesem Fall ist es nicht schwer zu verifizieren, dass dieses Vektorpotential aus der Stromfunktion abgeleitet werden kann:

$$\psi = \frac{1}{2}\mathrm{log}((\bar{z}-\bar{z}_0)(z-z_0)) \equiv \mathrm{log}(|z-z_0|)$$

Wir können mehrere Stromfunktionen hinzufügen, die an verschiedenen Punkten auf der Ebene mit unterschiedlichen Vorticities zentriert sind, um eine allgemeine Lösung zu erhalten, die die Flüsse an diesen Punkten darstellt:

$$\psi = \sum_k \Gamma_k \mathrm{log}(|z-z_k|)$$

Die Konstante$\Gamma_k$drückt die Flüsse um die aus$k$-ten Zentrum (oder die Vorticity in der hydrodynamischen Terminologie).

Man kann leicht verifizieren, dass das einzelne zentrierte Vektorpotential (und auch die entsprechende Stromfunktion) Invarianten unter den metrisch erhaltenden Automorphismen der Ebene sind, die aus Translationen und Rotationen bestehen: (was in den komplexen Notationen kompakt geschrieben werden kann als:)

$$z \rightarrow e^{i\alpha} z + v$$

$$z_0 \rightarrow e^{i\alpha} z_0 + v$$

Aus dem Ausdruck der einfach zentrierten Stromfunktion ist ersichtlich, dass der Nenner die geodätische Entfernung in der Ebene ist, also ein Kandidat für die Verallgemeinerung auf die Kugel ($S^2$) wäre die Ersetzung durch die geodätische Entfernung auf der Kugel:

$$|z-z_0|^2 \rightarrow \frac{|z-z_0|^2}{(1+\bar{z}z)(1+\bar{z}_0z_0)}$$

Wo$z$ist die stereografische Projektionskoordinate auf der Kugel:

$$z = \mathrm{tan}{\frac{\theta}{2}}e^{i \phi}$$

($\theta$Und$\phi$sind die sphärischen Oberflächenkoordinaten).

Somit lautet die Kandidatenlösung auf der Kugel:

$$\psi= \mathrm{log}(|z-z_0| - \frac{1}{2} \mathrm{log} (1+\bar{z}z)- \frac{1}{2} \mathrm{log} (1+\bar{z}_0z_0) )$$

Diese Lösung ist unter den metrischen Erhaltungsautomorphismen der Kugel invariant:

$$z\rightarrow \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z +\bar{\alpha} }$$ ,

mit$|\alpha|^2+|\beta|^2 = 1$

Die Matrix:

$$\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\bar{\beta}&\bar{\alpha}& \end{pmatrix} \in SU(2)$$

das ist die Automorphismengruppe der runden Metrik

Somit wird das dieser Lösung entsprechende Kandidatenvektorpotential durch Anwenden des Gradientenoperators in den krummlinearen Koordinaten der Kugel erhalten:

$$A_z = \frac{1}{i}(1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial \psi}{\partial \bar{z}}$$

$$A_{\bar{z}}= -\frac{1}{i}(1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial \psi}{\partial z}$$

Ausdrücklich

$$A = \frac{1}{2i} (1+\bar{z}z) (1+\bar{z}_0z_0) \frac{(z-z_0)(1+\bar{z}_0 z)d\bar{z}-(\bar{z}- \bar{z_0}) (1+\bar{z}_0 z) dz}{(\bar{z}- \bar{z_0})(z-z_0)}$$

Der Laplace-Operator auf der Kugel ist gegeben durch:

$$\nabla^2 = (1+\bar{z}z)^2 \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\bar{z}}$$

Wenden wir den Laplace-Operator auf die Kandidatenstromfunktion an, erhalten wir:

$$\nabla^2 \psi= (1+\bar{z}z)^2 \delta^{(2)}_L(z-z_0) +1 = \delta^{(2)}_S(z-z_0) +1$$

Wo$\delta^{(2)}_S$ist die Dirac-Delta-Funktion, die dem sphärischen Maß entspricht:

$$\int_{\mathbb{S^2}} f(z) \delta^{(2)}_S(z-z_0) \frac{ \mathrm{dRe}(z) \mathrm{dIm}(z) }{ (1+\bar{z}z) ^2}= f(z_0)$$

Der zusätzliche konstante Term im Laplace-Operator stellt ein Problem dar, weil er bedeutet, dass diese Stromfunktion außerhalb der Singularitäten nicht harmonisch ist. Die Lösung dieses Problems auf der Kugel besteht darin, mehrere Lösungen mit verschwindendem Gesamtfluss (Vorticity) zu addieren.

$$\sum_k \Gamma_k = 0$$

In diesem Fall entfallen die konstanten Beiträge aller Zentren.