Substitution ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ\partial_\mu \to D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu ermöglicht die Einführung elektromagnetischer Wechselwirkungen [duplizieren]

Question

Substitution ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ∂μ→Dμ≡∂μ+ieAμ\partial_\mu \to D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu ermöglicht die Einführung elektromagnetischer Wechselwirkungen [duplizieren]

Benutzer68725

Ich möchte zeigen, dass die Substitution $\partial_u \to D_\mu \equiv \partial_\mu + ieA_\mu$ , oder gleichwertig $p_\mu \to p_\mu - eA_\mu$ ermöglicht die Einführung elektromagnetischer Wechselwirkungen. Hier $e$ ist die elektrische Ladung des betreffenden Teilchens $($ $e=-|e|$ für ein Elektron $)$ , Und $A^\mu = (\Phi, \vec{A})$ ist das Vektorpotential. Durch Umwandlung der Dirac-Gleichung in die Form

[\vec{a} \cdot (\vec{P} - e \vec{A}) + β M] ψ = (E - e Φ) ψ

$[\vec{\alpha} \cdot (\vec{p} - e\vec{A}) + \beta m]\psi = (E - e\Phi)\psi$ zu einer Gleichung zweiter Ordnung und unter Verwendung der Niederenergiegrenze zeigen, dass die Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld eine Energieänderung in Gegenwart eines Magnetfelds bewirkt

\vec{B} = \nabla \times \vec{A}

$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ des Formulars

Δ E = - \frac{e}{2 M} \vec{σ} \cdot \vec{B}

$\Delta E = -{{e}\over{2m}}\vec{\sigma} \cdot \vec{B}$ und impliziert daher einen Wert von

g = 2

$g=2$ für das magnetische Moment des Elektrons

\vec{μ}

$\vec{\mu}$ durch seinen Spin definiert

S

$S$ als

\vec{u} = G (\frac{e}{2 M}) \vec{S} .

$\vec{u} = g\left({e\over{2m}}\right)\vec{S}.$ Bisherige Fortschritte: Die Dirac-Gleichung lautet

(ich γ^{μ} D_{μ} - M) ψ = (ich γ^{μ} (\partial_{μ} + ich e A_{μ}) - M) ψ = 0.

$(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi = (i\gamma^\mu(\partial_\mu + ieA_\mu) - m)\psi = 0.$ Wenn wir nehmen

γ^{0} = β

$\gamma^0 = \beta$ ,

γ^{i} = β α_{i}

$\gamma^i = \beta\alpha_i$ ,

\partial_{μ} = (\partial_{i}, \nabla)

$\partial_\mu = (\partial_i, \nabla)$ , Und

A_{μ} = (Φ, - A)

$A_\mu = (\Phi, -{\bf A})$ dann können wir dies schreiben als

[ich β (\partial_{T} + ich e Φ) + ich β a \cdot (\nabla - ich e A) - M] ψ = 0

$[i\beta(\partial_t + ie\Phi) + i\beta\alpha \cdot (\nabla - ie{\bf A}) - m]\psi = 0$ oder seit

β^{2} = 1

$\beta^2 = 1$ ,

[ich (\partial_{T} + ich e Φ) + ich a \cdot (\nabla - ich e A) - M β] ψ = 0.

$[i(\partial_t + ie\Phi) + i\alpha \cdot (\nabla - ie{\bf A}) - m\beta]\psi = 0.$ Danach habe ich einiges ausprobiert, aber es hat nicht geklappt. Kann mir jemand einen Schritt in die richtige Richtung geben?

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Benutzer63931 · Answer 1

Was Sie haben, ist ein guter Anfang. Wenn wir die üblichen Aufgaben übernehmen ${\partial\over{\partial t}} \to -iE$ Und $\nabla \to i{\bf p}$ dann bekommen wir

(E - e Φ) ψ = (a \cdot (P - e A) + M β) ψ .

$(E - e\Phi)\psi = (\alpha \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) + m\beta)\psi.$ Wählen Sie nun eine bestimmte Darstellung aus

β = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), a_{ich} = (\begin{matrix} 0 & σ^{ich} \\ σ^{ich} & 0 \end{matrix}) .

$\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\text{ }\alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ \sigma^i & 0\end{pmatrix}.$ Es ist leicht zu überprüfen, ob diese die richtigen Antikommutierungsbeziehungen ergeben. Dann, wenn wir bezeichnen

ψ = (\begin{matrix} χ \\ φ \end{matrix})

$\psi = \begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix}$ und setze dies in die Dirac-Gleichung ein, die wir erhalten

(E - e Φ) (\begin{matrix} χ \\ φ \end{matrix}) = σ \cdot (P - e A) (\begin{matrix} φ \\ χ \end{matrix}) + M (\begin{matrix} χ \\ - φ \end{matrix}) .

$(E - e\Phi)\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} = \sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\begin{pmatrix} \varphi \\ \chi\end{pmatrix} + m\begin{pmatrix} \chi \\ -\varphi\end{pmatrix}.$ Beachten wir, dass die nichtrelativistische Energie

E^{'}

$E'$ ist mit dem relativistischen by verwandt

E^{'} = E - m

$E' = E - m$ dann wird die Gleichung

E^{'} (\begin{matrix} χ \\ φ \end{matrix}) = σ \cdot (P - E A) (\begin{matrix} φ \\ χ \end{matrix}) + e Φ (\begin{matrix} χ \\ φ \end{matrix}) - 2 M (\begin{matrix} 0 \\ φ \end{matrix}) .

$E'\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} = \sigma \cdot ({\bf p} - E{\bf A})\begin{pmatrix} \varphi \\ \chi\end{pmatrix} + e\Phi\begin{pmatrix} \chi \\ \varphi\end{pmatrix} - 2m\begin{pmatrix} 0 \\ \varphi\end{pmatrix}.$ Im nichtrelativistischen Limes

E^{'} ≪ m

$E'\ll m$ so kann die zweite Komponente der obigen Gleichung geschrieben werden

φ = \frac{σ \cdot (P - e A) χ}{2 M} .

$\varphi = {{\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\chi}\over{2m}}.$ Wir können dann die erste Komponente als Gleichung zweiter Ordnung schreiben:

E^{'} χ = {\frac{1}{2 M} σ \cdot (P - e A) σ \cdot (P - e A) + e Φ} χ .

$E'\chi = \bigg\{{1\over{2m}}\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) \sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) + e\Phi\bigg\}\chi.$ Seit

σ^{i} σ^{j} = δ^{i j} + i ϵ^{i j k} σ^{k}

$\sigma^i\sigma^j = \delta^{ij} + i\epsilon^{ijk}\sigma^k$ wir haben

(σ \cdot a) (σ \cdot a) = a \cdot b + i σ \cdot (a \times b)

$(\sigma \cdot {\bf a})(\sigma \cdot {\bf a}) = {\bf a} \cdot {\bf b} + i\sigma \cdot ({\bf a} \times {\bf b})$ . So,

σ \cdot (P - e A) σ \cdot (P - e A) = (P - ϵ A)^{2} + ich ϵ^{ich J k} σ^{k} (- ich \partial_{ich} - e A_{ich}) (- ich \partial_{J} - e A_{J})

$\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A})\sigma \cdot ({\bf p} - e{\bf A}) = ({\bf p} - \epsilon{\bf A})^2 + i\epsilon^{ijk}\sigma^k(-i\partial_i-eA_i)(-i\partial_j - eA_j)$

= (P - e A)^{2} + ich ϵ^{ich J k} σ^{k} (ich e \partial_{ich} A_{J} + ich e A_{ich} \partial_{J})

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 + i\epsilon^{ijk}\sigma^k(ie\partial_iA_j + ieA_i\partial_j)$

= (P - e A)^{2} - e ϵ^{ich J k} σ^{k} ((\partial_{ich} A_{J}) + A_{J} \partial_{ich} + A_{ich} \partial_{J})

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\epsilon^{ijk}\sigma^k((\partial_iA_j) + A_j\partial_i + A_i\partial_j)$

= (P - e A)^{2} - e ϵ^{ich J k} σ^{k} (\partial_{ich} A_{J})

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\epsilon^{ijk}\sigma^k(\partial_iA_j)$

= (P - e A)^{2} - e σ \cdot (\nabla \times A)

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\sigma \cdot (\nabla \times{\bf A})$

= (P - e A)^{2} - e σ \cdot B .

$=({\bf p} - e{\bf A})^2 - e\sigma \cdot {\bf B}.$ Das verstehen wir

E^{'} χ = {\frac{(P - e A)^{2}}{2 M} - \frac{e σ \cdot B}{2 M} + e Φ} χ .

$E'\chi = \bigg\{{{({\bf p} - e{\bf A})^2}\over{2m}} - {{e\sigma \cdot {\bf B}}\over{2m}} + e\Phi\bigg\}\chi.$

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