Ableitung der quadratischen Form der Dirac-Gleichung

Question

Ableitung der quadratischen Form der Dirac-Gleichung

Physik
Feldtheorie
Dirac-Gleichung
Elektromagnetismus
Klein-Gordon-Gleichung
Hausaufgaben-und-Übungen

mikefallopisch

Ich soll die quadratische Form der Dirac-Gleichung in einem elektromagnetischen Feld herleiten,

$\left[\left(i\hbar \partial - \frac{e}{c}A\right)^2 - \frac{\hbar e}{2c} \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu} - m^2c^2\right] \psi = 0,$

Wo $F_{\mu\nu} =\partial_{\nu} A_{\mu} - \partial_{\mu} A_{\nu}$ ist der übliche em-Feldtensor und $\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2}[\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}].$

Ein Hinweis in meinem Lehrbuch legt nahe, dass ich die Dirac-Gleichung links multipliziere,

$\left[-\gamma^{\mu} \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) + mc\right] \psi = 0,$

durch den Ausdruck $\gamma^{\nu} \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) +mc$ und verwenden Sie die Kommutierungsbeziehungen für die Gammamatrizen. Diesbezüglich war ich erfolglos. Ich bekomme

0 = $\left[-\gamma^{\nu} \gamma^{\mu} \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) + m^2 c^2 \right] \psi = - \left[( \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} + 2 i \sigma^{\mu\nu}) \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) - m^2 c^2 \right] \psi = -\left[ -\left(i\hbar \partial - \frac{e}{c}A\right)^2 + 2 i \sigma^{\mu\nu} \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) - m^2 c^2 \right] \psi,$

wo im letzten Schritt ich verwendet habe $(\gamma^{\mu})^2=-\mathbb{1}$ .

Von hier aus habe ich versucht, den Ausdruck zu erweitern $\left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right)$ und Umschreiben des entsprechenden Kreuzbegriffs in Bezug auf $F_{\mu\nu}$ aber ich weiß nicht, was ich mit den anderen Begriffen machen soll. Ich kann den Begriff nicht extrahieren $\frac{\hbar e}{2c} \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu}$ . Auch das Zeichen der $\left(i\hbar \partial - \frac{e}{c}A\right)^2$ Begriff scheint rückwärts zu sein. Kann mir jemand dabei helfen?

Jerry Schirmer

Was wissen Sie über die Symmetrie von

σ^{μ ν}

$\sigma^{\mu\nu}$ ? Was sagt Ihnen das darüber, welche dieser Begriffe in Ihrer Erweiterung verschwinden sollten?

mikefallopisch

Na sicher

σ^{μ ν}

$\sigma^{\mu\nu}$ sollte symmetrisch sein, aber ich bin mir nicht sicher, wie das hilft. Außerdem habe ich mir meine Arbeit und das Vorzeichen genauer angeschaut

{(i ℏ \partial - \frac{e}{c} A)}^{2}

$\left(i \hbar \partial - \frac{e}{c} A \right)^2$ Der Begriff scheint das Gegenteil von dem zu sein, was ich erwartet hatte.

JoshPhysik

Überprüfen Sie Ihre Behauptung „mit Sicherheit …“ noch einmal; erinnere dich daran

σ^{μ ν}

$\sigma^{\mu\nu}$ ist proportional zum Kommutator von

γ

$\gamma$ Matrizen.

mikefallopisch

Oh, natürlich verstehe ich, worauf du hinauswillst.

σ^{μ ν} = - σ^{ν μ}

$\sigma^{\mu \nu}=-\sigma^{\nu \mu}$ , also verschwinden die Diagonalglieder der Entwicklung

mikefallopisch

so nach ein bisschen Algebra bekomme ich

σ^{μ ν} (i ℏ \partial_{ν} - \frac{e}{c} A_{ν}) (i ℏ \partial_{μ} - \frac{e}{c} A_{μ}) = \frac{i ℏ e}{2 c} σ^{μ ν} F_{μ ν}

$\sigma^{\mu\nu} \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) = \frac{i \hbar e}{2c} \sigma^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ , was dazu führt, dass ich am Ende um den Faktor 2 danebenliege. Außerdem ist das Vorzeichen des ersten Terms immer noch falsch ...

Antworten (2)

Ableitung der quadratischen Form der Dirac-Gleichung

Was wissen Sie über die Symmetrie von $\sigma^{\mu\nu}$ ? Was sagt Ihnen das darüber, welche dieser Begriffe in Ihrer Erweiterung verschwinden sollten?
Na sicher $\sigma^{\mu\nu}$ sollte symmetrisch sein, aber ich bin mir nicht sicher, wie das hilft. Außerdem habe ich mir meine Arbeit und das Vorzeichen genauer angeschaut $\left(i \hbar \partial - \frac{e}{c} A \right)^2$ Der Begriff scheint das Gegenteil von dem zu sein, was ich erwartet hatte.
Überprüfen Sie Ihre Behauptung „mit Sicherheit …“ noch einmal; erinnere dich daran $\sigma^{\mu\nu}$ ist proportional zum Kommutator von $\gamma$ Matrizen.
Oh, natürlich verstehe ich, worauf du hinauswillst. $\sigma^{\mu \nu}=-\sigma^{\nu \mu}$ , also verschwinden die Diagonalglieder der Entwicklung
so nach ein bisschen Algebra bekomme ich $\sigma^{\mu\nu} \left( i \hbar \partial_{\nu} - \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \left( i \hbar \partial_{\mu} - \frac{e}{c} A_{\mu} \right) = \frac{i \hbar e}{2c} \sigma^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ , was dazu führt, dass ich am Ende um den Faktor 2 danebenliege. Außerdem ist das Vorzeichen des ersten Terms immer noch falsch ...

Trimok · Answer 1

Du darfst schreiben $\gamma^{\nu} \gamma^{\mu} = \frac{1}{2}(\gamma^{\nu} \gamma^{\mu} + \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}) + \frac{1}{2}(\gamma^{\nu} \gamma^{\mu} - \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}) \\= g^{\nu\mu} - i \sigma^{\nu\mu} \\= g^{\mu\nu} + i \sigma^{\mu\nu}$

Erinnere dich daran $g^{\nu\mu}V_\mu V_\nu = g^{\mu\nu}V_\mu V_\nu = V^2$

Denken Sie auch daran $F_{\mu\nu} =\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}$ (Sie haben in Ihrer Frage eine Vorzeichenumkehrung vorgenommen)

Cuntista · Answer 2

Ich hatte das gleiche Problem und nach vielen Stunden fand ich die richtige Lösung, die die richtige quadratische Dirac-Gleichung liefert:

{(ich γ^{μ} \partial_{μ} - e γ^{μ} A_{μ}) (ich γ^{v} \partial_{v} - e γ^{μ} A_{v}) - M^{2}} ψ = 0

$\lbrace \left( i\gamma^\mu\partial_\mu-e\gamma^\mu A_\mu\right)\left( i\gamma^\nu\partial_\nu-e\gamma^\mu A_\nu\right)-m^2 \rbrace \psi =0$

= γ^{μ} γ^{v} (ich \partial_{μ} - e A_{μ}) (ich \partial_{v} - e A_{v}) ψ - M^{2} ψ =

$=\gamma^\mu\gamma^\nu \left( i\partial_\mu-e A_\mu\right)\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right)\psi-m^2 \psi =$

= γ^{μ} γ^{v} (ich \partial_{μ} - e A_{μ}) (ich \partial_{v} - e A_{v}) ψ - M^{2} ψ =

$=\gamma^\mu\gamma^\nu \left( i\partial_\mu-e A_\mu\right)\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right) \psi -m^2\psi=$

= (G^{μ v} - ich σ^{μ v}) (ich \partial_{μ} - e A_{μ}) (ich \partial_{v} - e A_{v}) ψ - M^{2} ψ =

$=\left(g^{\mu\nu}-i\sigma^{\mu\nu}\right) \left( i\partial_\mu-e A_\mu\right)\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right) \psi -m^2\psi=$

= G^{μ v} (ich \partial_{μ} - e A_{μ}) (ich \partial_{v} - e A_{v}) - ich σ^{μ v} (ich \partial_{μ} - e A_{μ}) (ich \partial_{v} - e A_{v}) ψ - M^{2} ψ =

$=g^{\mu\nu} \left( i\partial_\mu-e A_\mu\right)\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right)-i\sigma^{\mu\nu}\left( i\partial_\mu-e A_\mu\right)\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right) \psi -m^2\psi=$

= (ich \partial^{v} - e A^{v}) (ich \partial_{v} - e A_{v}) - ich σ^{μ v} (ich \partial_{μ} - e A_{μ}) (ich \partial_{v} - e A_{v}) ψ - M^{2} ψ =

$= \left( i\partial^\nu-e A^\nu\right)\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right)-i\sigma^{\mu\nu}\left( i\partial_\mu-e A_\mu\right)\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right) \psi -m^2\psi=$

= {{(ich \partial - e A)}^{2} + \frac{1}{ich} σ^{μ v} (ich \partial_{μ} - e A_{μ}) (ich \partial_{v} - e A_{v}) - M^{2}} ψ =

$=\lbrace\left( i\partial-e A\right)^2+\frac{1}{i}\sigma^{\mu\nu}\left( i\partial_\mu-e A_\mu\right)\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right)-m^2\rbrace\psi=$ Jetzt schreiben wir dieselbe Gleichung nach dem Indexaustausch und wenden die Eigenschaft an

σ^{μ ν} = \frac{i}{2} [γ^{μ}, γ^{ν}] = \frac{- i}{2} [γ^{ν}, γ^{μ}] = - σ^{ν μ}

$\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]=\frac{-i}{2}[\gamma^\nu,\gamma^\mu]=-\sigma^{\nu\mu}$

= {{(ich \partial - e A)}^{2} + \frac{1}{ich} σ^{v μ} (ich \partial_{v} - e A_{v}) (ich \partial_{μ} - e A_{μ}) - M^{2}} ψ =

$=\lbrace\left( i\partial-e A\right)^2+\frac{1}{i}\sigma^{\nu\mu}\left( i\partial_\nu-e A_\nu\right)\left( i\partial_\mu-e A_\mu\right)-m^2\rbrace\psi=$ Die obigen Gleichungen sind die gleichen wie die Hälfte der Summe der beiden addierten, die eine mit den ursprünglichen Indizes und die andere mit den umgeschalteten Indizes, und so erscheint der Kommutator und alle numerischen Faktoren sind korrekt.

= {{(ich \partial - e A)}^{2} + \frac{1}{2 ich} σ^{μ v} [ich \partial_{μ} - e A_{μ}, ich \partial_{v} - e A_{v}] - M^{2}} ψ = 0

$=\lbrace\left( i\partial-e A\right)^2+\frac{1}{2i}\sigma^{\mu\nu}\left[ i\partial_\mu-e A_\mu, i\partial_\nu-e A_\nu\right]-m^2\rbrace\psi=0$ Wenn wir den Kommutator auswerten, erhalten wir, dass er genau derselbe ist wie der elektromagnetische Tensor, der in kovarianter Form geschrieben wird, daher kommt das Endergebnis

= {{(ich \partial - e A)}^{2} + \frac{1}{2 ich} σ^{μ v} F_{μ v} - M^{2}} ψ = 0

$=\lbrace\left( i\partial-e A\right)^2 + \frac{1}{2i} \sigma^{\mu\nu}F_{\mu \nu}-m^2\rbrace\psi=0$

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Trimok

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