Aharonov-Bohm-Effekt in Torus

Eine große Transformation ist eine Transformation, die nicht kontinuierlich mit der Identitätstransformation (mit der Transformation, die nichts tut) verbunden werden kann, obwohl andere Transformationen zulässig sind. Große Transformationen werden also in "Sektoren" gruppiert, die diskret voneinander getrennt sind.

Im Elektromagnetismus sind die Eichtransformationen$U(1)$durch die Zahl parametrisierte Transformationen$\lambda(x,y,z,t)$das ist modulo definiert$2\pi$. Geladene Felder integraler Ladung$Q$verwandeln als

$$\Psi\to e^{iQ\lambda} \Psi$$ also nur das sieht man $\exp(i\lambda)$Angelegenheiten: Verschiebungen von $\lambda$von $2\pi N$Wo $N\in{\mathbb Z}$sind unphysikalisch.

Beim Aharonov-Bohm-Effekt liegt ein geschlossener Regelkreis vor$C$um die Magnetspule herum (wo das Magnetfeld lokalisiert ist) und die relevante "Großspurtransformation" ist gegeben durch

$$\lambda = \phi$$ Wo $0\leq \phi\leq 2\pi$ist eine periodische Winkelvariable, die den geschlossenen Regelkreis parametrisiert $C$(in der einfachsten Parametrisierung irgendein Winkel in den Achsen- oder Kugelkoordinaten).

Beachten Sie, dass obwohl dies$\lambda$ist keine einwertige Funktion der Raumzeitkoordinaten$x,y,z$denn es springt wenn$\phi$wird erhöht um$2\pi$(was der Rückkehr zum ursprünglichen Punkt im Raum entspricht), es handelt sich um eine zulässige Eichtransformation, weil$\lambda\mod 2\pi$oder gleichwertig,$\exp(i\lambda)$ ist eine einwertige Raumfunktion, und das ist alles, was benötigt wird. Eine solche Spurtransformation kann innerhalb der Kontur schlecht definiert sein$C$dh innerhalb des Solenoids, jedoch.

Wenn diese minimal große (topologisch nicht triviale) Transformation durchgeführt wird, wird das Eichpotential$\vec A$wird von berechnet$\nabla\cdot \lambda$. Das Konturintegral ändert sich um$2\pi$

$$\oint_C \vec{d\ell}\cdot \vec A \to \oint_C \vec{d\ell}\cdot \vec A + 2\pi$$ weil das Integral ein Integral eines Gradienten von ist $\lambda$, also ist es nur der Unterschied von $\lambda$zwischen den Anfangs- und Endpunkten, die ist $2\pi$, bis zu einem Zeichen. Nach dem Satz von Stokes gilt $\oint_C \vec{d\ell}\cdot \vec A$ist dasselbe wie das Integral $$\int_\Sigma \vec{B}\cdot \vec{dS}$$ über dem Innenraum $\Sigma$der Kontur $C$, also innerhalb des Solenoids, so springt dieser magnetische Fluss vorbei $2\pi$sowie.

Ich habe die Faktoren vernachlässigt$e,c,\hbar$über. Mit den richtigen Faktoren, die in den obigen Sätzen enthalten sind, ist der Sprung des magnetischen Flusses$2\pi\hbar / e$in Ihren Einheiten und Konventionen. Die beiden physikalischen Konfigurationen können sich also in ihren Werten des magnetischen Flusses durch unterscheiden$\Sigma$aber sie sind physikalisch äquivalent, dh nicht unterscheidbar, weil sie durch eine große Spurweitentransformation verwandt sind (obwohl eine, die nur außerhalb des Solenoids gut definiert ist).