Aharonov-Bohm-Effekt und sein topologischer Zusammenhang

Die topologische Erklärung des Bohm-Aharonov-Effekts geht davon aus, dass das Vorhandensein eines Solenoids den Konfigurationsraum nicht einfach verbunden macht.

  1. Nehmen Sie nun an, dass das Magnetfeld innerhalb des Solenoids ausgeschaltet wird, indem der Strom durch es abgeschaltet wird. Der Elektromagnet ist aber noch vorhanden aber mit B = 0 .

Entspricht diese Situation einem Loch im Raum?

Wenn ja, dann funktioniert die topologische Erklärung "Vorhandensein eines Lochs führt zu einer Verschiebung der Streifen" nicht. Denn in dieser Situation beobachten wir keine Verschiebung. Wenn nein, dann funktioniert die topologische Erklärung für mich gut.

Sollte ich also schlussfolgern, dass es kein Loch gibt, es sei denn, ich schalte das Magnetfeld im Solenoid ein?

Antworten (5)

Nein, es gibt keinen Widerspruch. Der Aharonov-Bohm-Effekt gibt an, dass es immer dann zu einer Verschiebung der Interferenzstreifen kommen kann, wenn es zu einer Überlagerung von Wellen mit unterschiedlichen Windungszahlen um das Loch kommt, und gibt diese Phasenverschiebung im Interferenzmuster an

∮ A ⋅ D l .
Das Vorhandensein des Lochs im Raum am Solenoid ermöglicht die Existenz eines Vektorpotentials A ( R ) mit Zirkulation ungleich Null, während ein Magnetfeld von Null aufrechterhalten wird B ( R ) = ∇ × A überall im Raum. Es ist jedoch nicht erforderlich, dass diese Zirkulation ungleich Null ist – und tatsächlich kann sie willkürlich sein, und unter den möglichen willkürlichen Werten der Zirkulation ist die reelle Zahl ∮ A ⋅ D l = 0 .

Um es also ganz klar zu sagen: Das Vorhandensein eines doppelt verbundenen Raumbereichs stimmt perfekt mit einem Nullwert des magnetischen Flusses am Loch im Raum überein. Das Herstellen eines Lochs im Raum fügt dem Interferenzmuster keine Verschiebung hinzu, sondern das, was Sie später tun (dh einen magnetischen Fluss durch dieses Loch leiten).

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Die nicht triviale Topologie des räumlichen Bereichs, auf den die Elektronenwellenfunktion zugreifen kann, ist ein wichtiger Teil einer möglichen Erklärung für den Effekt, aber sie reicht nicht aus, um die Interferenzstreifenverschiebungen selbst zu erzeugen – die Größe des magnetischen Flusses ist ein weiterer entscheidender Bestandteil. Die Elektronen in einem Donut nehmen keine Phasenverschiebungen auf, nur weil sie das Donut-Loch umkreisen. (Es ist auch möglich, den AB-Effekt ohne direkten Bezug zur Topologie des Konfigurationsraums zu erklären.)

Aber kann der AB-Effekt nur mit topologischen/geometrischen Argumenten erklärt werden? Insbesondere wenn ich Physik betreibe, in der ich wirklich nur einen Verteiler mit einem Loch habe und es wirklich keinen "Raum innerhalb des Lochs" gibt, in den ich ein Magnetfeld legen kann, welche geometrischen Parameter meines Verteilers würden entscheiden, wenn ich hätte ein AB-Effekt oder nicht? Danke!
@DvijMankad Gute Frage. Es geht darum, ob die Wellenfunktion des Elektrons trivial oder nichttrivial definiert ist U ( 1 ) Faserbündel.

Die Annahme, dass der Konfigurationsraum noch nicht einfach angeschlossen ist, halte ich für falsch. Die Solenoide werden wie jedes andere Objekt zu Objekten. Sogar das Solenoid (mit Strom) selbst "punktiert" keinen Raum, selbst wenn es unendlich lang ist. Der Raum ist nur dann nicht verbunden, wenn wir eine unendliche Raumkette entfernen, die buchstäblich ein Loch im Raum hinterlässt. Und wir sagen nicht, dass der Konfigurationsraum um uns herum, einschließlich Bäume, Hunde, Menschen, was auch immer, nicht einfach verbunden ist. Die Tatsache, dass es eine A → Feld ohne a B → Feld ist dasselbe wie eine buchstäbliche Eich-(Phasen-)Transformation an beispielsweise allen Einzelelektronenwellenfunktionen, die an einem Doppelspaltexperiment teilnehmen. Ich denke, das Abschalten des Stroms durch das Solenoid wird von der Emission eines Photons begleitet.

Ein einzelnes Solenoid erzeugt eine Phasenverschiebung im Interferenzmuster, wenn es zwischen einem Doppelspalt und dem Schirm platziert wird, wo die Elektronen eintreten. Die Phase jeder einzelnen Wellenfunktion der Elektronen wird um den gleichen Betrag geändert. Stellen Sie sich nun vor, Sie platzieren viele dieser Solenoide zwischen vielen Doppelschlitzen und den Bildschirmen. Sie können die Stärke des Stroms variieren und ihn in Zeit und Ort variieren lassen, in diesem Fall machen Sie eine konkrete (wenn auch diskrete) Realisierung einer lokalen Eich-(Phasen-)Transformation auf dem Elektronenfeld. Wie eine kontinuierliche Eichtransformation (allerdings auf der Lagrange-Funktion, die dasselbe ist wie eine konkrete Eichzahl auf den Teilchen, die zur Lagrange-Funktion gehören) geht dies meiner Meinung nach mit der Entstehung von ein einher A → Feld, obwohl die Diskretion der Transformation mich ein wenig zweifeln lässt.

Ein Baum wird das Universum nicht einfach zusammenhängend machen, es sei denn, es ist ein unendlich langes. Der eigentliche Punkt hinter dem AB-Effekt ist, dass die Topologie des Raums ein Feld ( A → ), das rotationsfrei, aber mit einer Zirkulation ungleich Null ist. Wenn kein Feld vorhanden ist, gibt es keine Wirkung.
Was hat die Länge des Baumes damit zu tun? Wenn wir Experimente mit Solenoiden machen, die sicherlich nicht unendlich lang sind, wird das Interferenzmuster auf dem Schirm im Doppelspaltexperiment, während das (nicht unendlich lange) Solenoid zwischen die Spalte und den Schirm gelegt wird, immer noch eine Phasenverschiebung des Ganzen zeigen Interferenzmuster. Und was ist die Auswirkung auf die Topologie des Raums, die eine freie Zirkulation ermöglichen könnte? A → Feld mit Null B → Feld?
Gewiss, ein A → Feld ins Spiel kommt, ebenso wie bei einer kontinuierlichen lokalen (zeit- und ortsunabhängigen) Phasentransformation, von der der AB-Effekt nur ein kleines Stück ist.
Die Länge des Baumes hat viel zu tun! Ein Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene Kurve stetig zu einem Punkt zusammengezogen werden kann. Deshalb wird ein Baum niemals einfach zusammenhängend Raum schaffen. Beim AB-Effekt muss die Magnetspule lang genug sein, damit der Raum (der Bereich des Experiments) nicht einfach verbunden ist.
In Bezug auf die Auswirkung der Topologie überprüfen Sie bitte diese Frage und ihre Antworten: Warum ist dieses Vektorfeld kräuselfrei? und auch diese Antwort
Tatsache ist, dass die Magnetspule nicht unendlich lang ist und dass es einen Unterschied zwischen einer stromführenden und einer stromlosen Magnetspule gibt. Raum ist nur dann nicht einfach verbunden, wenn in ihm buchstäblich ein Loch ist, wo überhaupt kein Raum ist.

Ja, das ist widersprüchlich. Topologische Erklärung schlägt fehl. Wenn der Experimentator ein Mittel hat, um zu wissen, welches Magnetfeld innerhalb des Solenoids ist, haben die gestreuten Elektronen dieses Mittel auch ;-)

Als Wellen haben die Elektronen Zugang zu jedem Punkt des Raums (weil sie von dort stammen). Verwendet man die Randbedingungen nicht, sondern löst das komplette Gleichungssystem (die Randbedingungen sind vereinfachte und Näherungslösungen), dann sieht man, dass die Elektronen auf alles zugreifen können.

Zitat aus Wikipedia

Der Aharonov-Bohm-Effekt, manchmal auch Ehrenberg-Siday-Aharonov-Bohm-Effekt genannt, ist ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein elektrisch geladenes Teilchen von einem elektromagnetischen Potential (V, A) beeinflusst wird, obwohl es auf einen Bereich beschränkt ist, in dem beides vorhanden ist das magnetische Feld B und das elektrische Feld E sind Null .

Mit einem Aufbau, bei dem das Magnetfeld perfekt abgeschirmt ist, frage ich in PSE nach dem elektrischen Feld eines solchen abgeschirmten Stroms:

  1. Was ist das elektrische Feld außerhalb eines zylindrischen Solenoids?

  2. Wenn außerhalb eines zylindrischen Solenoids ein elektrisches Feld existiert, was bedeutet das für den Aharonov-Bohm-Effekt?

Die Antwort auf die erste Frage war aufschlussreich:

Für das, was es wert ist, wird in http://arxiv.org/abs/1407.4826 und den darin enthaltenen Referenzen im Zusammenhang mit dem Aharonov-Bohm-Effekt angegeben, dass sogar ein Konstantstrom-Solenoid äußere elektrische Felder hat: „Immer gibt es ein elektrisches Feld außerhalb eines stationären Widerstandsleiters, der konstanten Strom führt. In einem solchen ohmschen Leiter gibt es quasistatische Oberflächenladungen, die nicht nur das elektrische Feld innerhalb des den Strom treibenden Drahtes erzeugen, sondern auch ein statisches elektrisches Feld außerhalb davon ... Diese Felder sind allgemein bekannt Elektrotechnik." Das habe ich leider nicht überprüft, klingt aber plausibel. EDIT (25.07.2014) Scheint hier eine Bestätigung zu geben: http://www.astrophysik.uni-kiel.de/~hhaertel/PUB/voltage_IRL.pdf , siehe insbesondere Abb.4 darin.

Aharonov-Bohm-Effekt und sein topologischer Zusammenhang
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