Beweis der Messinvarianz der Schrödinger-Gleichung

Question

Beweis der Messinvarianz der Schrödinger-Gleichung

Iwan

Ich versuche explizit diese Schrödinger-Gleichung zu beweisen:

ich ℏ \partial_{T} ψ = [- \frac{1}{2 M} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q \vec{A})}^{2} + Q v] ψ

$i\hbar \partial_t \psi = \left[ -\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2+qV \right]\psi$

bleibt gleich unter der folgenden Eichtransformation:

ψ \to e^{ich Q Λ / ℏ} ψ

$\psi \rightarrow e^{iq\Lambda/\hbar} \psi$

\vec{A} \to \vec{A} + \nabla Λ

$\vec{A} \rightarrow \vec{A} + \nabla \Lambda$

v \to v - \partial_{T} Λ

$V \rightarrow V - \partial_t\Lambda$

Wo $\partial_t$ steht für den Zeitableitungsoperator.

Ich habe jedoch Probleme mit der Algebra, daher zeige ich mein Verfahren in der Hoffnung, dass jemand auf einen Fehler hinweist:

Linke Seite der Gleichung

ich ℏ \partial_{T} (e^{ich Q Λ / ℏ} ψ) = ich H (e^{ich Q Λ / ℏ} \partial_{T} ψ + \frac{ich Q}{ℏ} e^{ich Q Λ / ℏ} ψ \partial_{T} Λ) = ich H e^{ich Q Λ / ℏ} \partial_{T} ψ - Q e^{ich Q Λ / ℏ} ψ \partial_{T} Λ

$i\hbar \partial_t (e^{iq\Lambda/\hbar}\psi) = ih \left(e^{iq\Lambda/\hbar} \partial_t\psi+\frac{iq}{\hbar}e^{iq\Lambda/\hbar} \psi \partial_t\Lambda \right) = ihe^{iq\Lambda/\hbar} \partial_t\psi-qe^{iq\Lambda/\hbar} \psi \partial_t\Lambda$

Rechte Seite der Gleichung

[\frac{1}{2 M} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q (\vec{A} + \nabla Λ))}^{2} + Q (v - \partial_{T} Λ)] =

$\left[ \frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q(\vec{A} + \nabla \Lambda)\right)^2+q(V - \partial_t\Lambda) \right]=$

\frac{1}{2 M} [- ℏ^{2} \nabla^{2} - \frac{Q ℏ}{ich} (\nabla \cdot \vec{A} + \nabla^{2} Λ + \vec{A} \cdot \nabla + \nabla Λ \cdot \nabla) + Q^{2} [{\vec{A}}^{2} + 2 (\vec{A} \cdot \nabla Λ) + (\nabla Λ)^{2}]] e^{ich Q Λ / ℏ} ψ + Q v e^{ich Q Λ / ℏ} ψ - Q e^{ich Q Λ / ℏ} ψ \partial_{T} Λ

$\frac{1}{2m} \left[ -\hbar^2\nabla^2-\frac{q\hbar}{i}( \nabla \cdot\vec{A} + \nabla^2\Lambda+ \vec{A} \cdot \nabla + \nabla \Lambda \cdot \nabla) + q^2[\vec{A}^2+2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda) + (\nabla \Lambda )^2]\right] e^{iq\Lambda/\hbar} \psi +qV e^{iq\Lambda/\hbar} \psi -qe^{iq\Lambda/\hbar} \psi \partial_t\Lambda$

Es ist möglich zu beobachten, dass sich der letzte Term auf beiden (rechten und linken) Seiten gegenseitig aufhebt. Dann mit:

$\nabla ( e^{iq\Lambda/\hbar} \psi ) = e^{iq\Lambda/\hbar}\nabla\psi + \frac{iq}{h} \psi \nabla \Lambda$

$\nabla^2 ( e^{iq\Lambda/\hbar} \psi ) =e^{iq\Lambda/\hbar} \nabla^2\psi + \frac{2iq}{\hbar}e^{iq\Lambda/\hbar}(\nabla \Lambda)(\nabla \psi) + \psi \frac{iq}{\hbar} e^{iq\Lambda/\hbar} \nabla^2 \Lambda - \frac{q^2}{\hbar^2}\psi e^{iq\Lambda/\hbar} (\nabla \Lambda)^2$

wir erhalten dann (durch Anwendung von Operatoren und Streichung aller $e^{iq\Lambda/\hbar}$ ):

ich ℏ \partial_{T} ψ = \frac{1}{2 M} [- ℏ^{2} \nabla^{2} ψ - 2 ich Q H (\nabla Λ) (\nabla ψ) - ich Q ℏ ψ \nabla^{2} Λ + Q^{2} ψ (\nabla Λ)^{2} + ich Q ℏ (\nabla \cdot \vec{A}) ψ + ich Q ℏ \nabla^{2} Λ ψ + ich Q ℏ (\vec{A} \cdot \nabla ψ) - Q^{2} ψ (\vec{A} \cdot \nabla Λ) + ich Q ℏ (\nabla Λ) (\nabla ψ) - Q^{2} ψ (\nabla Λ)^{2} + Q^{2} {\vec{A}}^{2} + 2 Q^{2} (\vec{A} \cdot \nabla Λ) ψ + Q^{2} (\nabla Λ)^{2} ψ] + Q v ψ

$i\hbar \partial_t \psi= \frac{1}{2m} \left[ -\hbar^2 \nabla^2 \psi - 2iqh(\nabla \Lambda)(\nabla \psi)-iq\hbar \psi \nabla^2\Lambda + q^2\psi(\nabla \Lambda)^2 + iq\hbar (\nabla \cdot \vec{A})\psi + iq\hbar\nabla^2\Lambda \psi +iq\hbar (\vec{A}\cdot \nabla\psi) - q^2 \psi (\vec{A}\cdot \nabla \Lambda )+iq\hbar (\nabla \Lambda)(\nabla \psi) - q^2\psi (\nabla\Lambda)^2+q^2\vec{A}^2+2q^2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda)\psi +q^2(\nabla \Lambda)^2 \psi \right] + qV\psi$

Streichung einiger Begriffe und Neuordnung:

ich ℏ \partial_{T} ψ = \frac{1}{2 M} [- ℏ^{2} \nabla^{2} ψ + ich Q ℏ (\nabla \cdot \vec{A}) ψ + ich Q ℏ (\vec{A} \cdot \nabla ψ) + Q^{2} {\vec{A}}^{2} - 2 ich Q H (\nabla Λ) (\nabla ψ) + Q^{2} ψ (\nabla Λ)^{2} - Q^{2} ψ (\vec{A} \cdot \nabla Λ) + ich Q ℏ (\nabla Λ) (\nabla ψ) + 2 Q^{2} (\vec{A} \cdot \nabla Λ) ψ] + Q v ψ

$i\hbar \partial_t \psi= \frac{1}{2m} \left[ -\hbar^2 \nabla^2 \psi + iq\hbar (\nabla \cdot \vec{A})\psi +iq\hbar (\vec{A}\cdot \nabla\psi)+q^2\vec{A}^2 - 2iqh(\nabla \Lambda)(\nabla \psi) + q^2\psi(\nabla \Lambda)^2- q^2 \psi (\vec{A}\cdot \nabla \Lambda )+iq\hbar (\nabla \Lambda)(\nabla \psi) +2q^2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda)\psi \right] + qV\psi$

nach erneutem umstellen:

ich ℏ \partial_{T} ψ = \frac{1}{2 M} [{(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q \vec{A})}^{2}] + Q v ψ + \frac{1}{2 M} [- ich Q H (\nabla Λ) (\nabla ψ) + Q^{2} ψ (\nabla Λ)^{2} + Q^{2} (\vec{A} \cdot \nabla Λ) ψ]

$i\hbar \partial_t \psi= \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2 \right] +qV\psi + \frac{1}{2m} \left[ - iqh(\nabla \Lambda)(\nabla \psi) + q^2\psi(\nabla \Lambda)^2 + q^2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda)\psi \right]$

Es ist möglich zu beobachten, dass die ursprüngliche Schrödinger-Gleichung dort oben steht, aber mit einem zusätzlichen Teil auf der rechten Seite ist dieser zusätzliche Teil:

\frac{1}{2 M} [- ich Q H (\nabla Λ) (\nabla ψ) + Q^{2} ψ (\nabla Λ)^{2} + Q^{2} (\vec{A} \cdot \nabla Λ) ψ]

$\frac{1}{2m} \left[ - iqh(\nabla \Lambda)(\nabla \psi) + q^2\psi(\nabla \Lambda)^2 + q^2(\vec{A}\cdot \nabla \Lambda)\psi \right]$

Also frage ich mich, ist dieser zusätzliche Teil irgendwie 0, oder mache ich einen Fehler. Ich weiß auch nicht, wie ich die Algebra "schöner" machen soll, wenn ich etwas tun kann, kommentieren Sie es bitte.

Antworten (2)

Beweis der Messinvarianz der Schrödinger-Gleichung

Valter Moretti · Answer 1

Eigentlich Schrödinger-Gleichung

\begin{matrix} (0) & - ich ℏ \partial_{T} ψ + [- \frac{1}{2 M} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q \vec{A})}^{2} + Q v] ψ = 0 \end{matrix}

$-i\hbar \partial_t \psi+ \left[ -\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2+qV \right]\psi=0\tag{0}$ unter den Eichtransformationen

ψ \to ψ^{'} = e^{ich Q Λ / ℏ} ψ

$\psi \rightarrow \psi'= e^{iq\Lambda/\hbar} \psi$

\vec{A} \to {\vec{A}}^{'} = \vec{A} + \nabla Λ

$\vec{A} \rightarrow \vec{A}' = \vec{A} + \nabla \Lambda$

v \to v^{'} = v - \partial_{T} Λ

$V \rightarrow V'= V - \partial_t\Lambda$

bleibt nicht invariant, aber die linke Seite von (0) führt zu

- ich ℏ \partial_{T} ψ^{'} + [- \frac{1}{2 M} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q {\vec{A}}^{'})}^{2} + Q v^{'}] ψ^{'} = e^{ich Q Λ / ℏ} {- ich ℏ \partial_{T} ψ + [- \frac{1}{2 M} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q \vec{A})}^{2} + Q v] ψ} .

$-i\hbar \partial_t \psi'+ \left[ -\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}'\right)^2+qV' \right]\psi'= e^{iq\Lambda/\hbar}\left\{-i\hbar \partial_t \psi+ \left[ -\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2+qV \right]\psi\right\}\:.$

Zusammenfassend, da $e^{iq\Lambda/\hbar}\neq 0$ ,

$\qquad\quad$ Eichtransformierte Größen erfüllen die Schrödinger-Gleichung, wenn nicht transformierte Größen dies tun.

Um dies zu beweisen, vermeiden Sie Brute-Force- Berechnungen wie Ihre, die mit ziemlicher Sicherheit zu unvermeidlichen Fehlern führen, und fahren Sie wie folgt fort. Schreiben Sie zuerst die Anfangsgleichung um als

\begin{matrix} (1) & - [ich ℏ \partial_{T} - Q v] ψ - \frac{1}{2 M} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q \vec{A})}^{2} ψ = 0 \end{matrix}

$-\left[i\hbar \partial_t -qV \right]\psi -\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2\psi=0\tag{1}$ Beachten Sie als Nächstes, dass wir unter den Transformationen haben

[ich ℏ \partial_{T} - Q v^{'}] ψ^{'} = [ich ℏ \partial_{T} - Q (v - \partial_{T} Λ)] e^{ich Q Λ / ℏ} ψ = e^{ich Q Λ / ℏ} [ich ℏ \partial_{T} - Q v] ψ

$\left[i\hbar \partial_t -qV' \right]\psi' = \left[i\hbar \partial_t -q(V - \partial_t\Lambda)\right]e^{iq\Lambda/\hbar}\psi = e^{iq\Lambda/\hbar}\left[i\hbar \partial_t -qV \right]\psi$ Und

(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q {\vec{A}}^{'}) ψ^{'} = (\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q (\vec{A} + \nabla Λ)) e^{ich Q Λ / ℏ} ψ = e^{ich Q Λ / ℏ} (\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q \vec{A}) ψ

$\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}'\right)\psi' = \left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q(\vec{A} +\nabla \Lambda)\right)e^{iq\Lambda/\hbar}\psi = e^{iq\Lambda/\hbar}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)\psi$ so dass das zweite Ergebnis iteriert wird

{(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q {\vec{A}}^{'})}^{2} ψ^{'} = e^{ich Q Λ / ℏ} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q \vec{A})}^{2} ψ .

$\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}'\right)^2\psi' = e^{iq\Lambda/\hbar}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2\psi\:.$ Alles zusammengenommen wird unter der Wirkung von Eichtransformationen (1).

- [ich ℏ \partial_{T} - Q v^{'}] ψ^{'} - \frac{1}{2 M} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q {\vec{A}}^{'})}^{2} ψ^{'} = e^{ich Q Λ / ℏ} {- [ich ℏ \partial_{T} - Q v] ψ - \frac{1}{2 M} {(\frac{ℏ}{ich} \nabla - Q \vec{A})}^{2} ψ} = 0

$-\left[i\hbar \partial_t -qV' \right]\psi' -\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}'\right)^2\psi' = e^{iq\Lambda/\hbar}\left\{-\left[i\hbar \partial_t -qV \right]\psi -\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i}\nabla-q\vec{A}\right)^2\psi\right\}=0$ wie gewünscht.

Guiablo · Answer 2

Schauen Sie sich dieses Video des großartigen Barton Zwiebach von MIT-Vorlesungen an.

Er macht genau das, was Sie in einem 20-minütigen Video tun, wenn der Link nicht mehr funktioniert, ist es Vorlesung L14.1 aus dem MIT-Kurs 8.06 Quantenphysik III, Frühjahr 2018, die Sie immer auf Youtube oder im MIT-Vorlesungsnetz finden .

Während dieser Link die Frage beantworten kann, ist es besser, die wesentlichen Teile der Antwort hier einzufügen und den Link als Referenz bereitzustellen. Nur-Link-Antworten können ungültig werden, wenn sich die verlinkte Seite ändert. - Aus Bewertung
Entschuldigung, ich wollte es als Kommentar in die anderen Antworten schreiben, was im Wesentlichen das Video tut, aber ich habe noch nicht genug Reputation :(. Ich werde in der Antwort eine superschnelle Zusammenfassung machen, wann immer ich kann.

Beweis der Messinvarianz der Schrödinger-Gleichung

Iwan

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