Die Eichinvarianz des Wahrscheinlichkeitsstroms

Beachten Sie, dass der Wahrscheinlichkeitsstrom in Gegenwart eines EM-Felds gegeben ist durch

$$\mathbf{j}=\frac{1}{2m}\left(\psi^{*}\mathbf{p}\psi-\psi\mathbf{p}\psi^{*}-2q\mathbf{A}\psi^{*}\psi\right)$$

Wie Sie eine lokale Phasenverschiebung bemerken

$$\psi^{\prime}=e^{iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi$$

führt zu einer Eichtransformation des Vektorpotentials

$$\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\nabla\chi$$

Das Einsetzen dieser in den Ausdruck für den Wahrscheinlichkeitsstrom ergibt

$$\begin{multline} \mathbf{j}^{\prime}=\frac{1}{2m}\left(e^{-iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi^{*}\mathbf{p}e^{iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi-e^{iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi\mathbf{p}e^{-iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi^{*}\right.\\\left.-2q\mathbf{A}e^{-iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi^{*}e^{iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi-2q\nabla\chi(\mathbf{r},t) e^{-iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi^{*}e^{iq\chi(\mathbf{r},t)/\hbar}\psi\right) \end{multline}$$

Betrieb mit$\mathbf{p}\rightarrow-i\hbar\nabla$Man erhält

$$\begin{multline} \mathbf{j}^{\prime}=\frac{1}{2m}\left(\psi^{*}\left(-i\hbar\right)\nabla\psi+\psi^{*}\psi\frac{iq}{\hbar}(-i\hbar)\nabla\chi(\mathbf{r},t)-\psi\left(-i\hbar\right)\nabla\psi^{*}\right.\\\left.-\psi^{*}\psi\left(-\frac{iq}{\hbar}\right)(-i\hbar)\nabla\chi(\mathbf{r},t)-2q\mathbf{A}\psi^{*}\psi-2q\nabla\chi(\mathbf{r},t)\psi^{*}\psi\right) \end{multline}$$

Aussortieren erhält man

$$\mathbf{j}^{\prime}=\frac{1}{2m}\left(\psi^{*}\mathbf{p}\psi-\psi\mathbf{p}\psi^{*}-2q\mathbf{A}\psi^{*}\psi\right)=\mathbf{j}$$ somit ist der Wahrscheinlichkeitsstrom eichinvariant.