Gibt es einen rigorosen Ansatz für das Wasserstoffatom?

Gemäß dem Buch von David Griffiths über Quantenmechanik wird beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für das Elektron des Wasserstoffatoms die in der Schrödinger-Gleichung erscheinende Potentialfunktion ausgedrückt als

v = − e 2 4 π ϵ 0 R .

Ich denke, dass dies unangemessen ist, da wir a priori nicht wissen, dass die in der Schrödinger-Gleichung erscheinende Potentialfunktion durch die klassische Formel von Coulomb bestimmt wird. Gibt es eine strengere Methode, mit der wir die Potentialfunktion bestimmen können, die in der Schrödinger-Gleichung des Elektrons im Wasserstoffatom innerhalb der nicht-relativistischen Quantenmechanik erscheint?

Aus welchen Annahmen willst du das "ableiten"? Die Hamiltonoperatoren/Lagrangeoperatoren der Physik werden im Wesentlichen immer erraten , sowohl im klassischen als auch im Quantenfall.
Allerdings sind renormierbare Lagrangianer in QFT stark eingeschränkt. QFT ist jedoch noch weit davon entfernt, streng zu sein.
Also erraten wir den Hamiltonoperator und prüfen dann, ob die Vorhersagen bezüglich der Observablen mit dem Experiment übereinstimmen. In diesem Fall funktioniert die Vermutung, dass es das klassische Potential selbst sein könnte, gut, wenn es experimentell getestet wird. Hab ich recht?
Es gibt strengere Methoden für Wasserstoff, aber sie gehen über die Schrödinger-Gleichung hinaus: Sie berücksichtigen die Relativitätstheorie und lösen die Dirac-Gleichung für dieses Atom, was zu wesentlich genaueren Ergebnissen führt. Die Verbesserung des Coulomb-Potentials ist in diesem Zusammenhang eine Sackgasse.

Antworten (2)

In einem Kommentar haben Sie auf die Relevanz von Anpassungsexperimenten hingewiesen, ich werde darauf ein wenig eingehen. Wir erwarten, dass das quantenmechanische Potenzial „dasselbe“ wie das klassische ist (wenn auch natürlich zu einem Operator befördert), sonst kann das Quantenmodell weder das klassische Modell noch seine theoretische Motivation oder seine empirischen Erfolge vor der Quantenphase wiederherstellen .

Zum Beispiel funktioniert das nicht nur empirisch erfolgreich R − 2 Kraft folgen aus dem Gaußschen Gesetz, aber es ist auch eine von nur zwei Möglichkeiten der zentralen Kraft, die klassischerweise zu stabilen elliptischen Bahnen führt. (Die andere Wahl hat eine gewisse Anwendbarkeit auf kovalente Bindungen .) Offensichtlich kreisen Elektronen nicht "wirklich" in der Quantenansicht, aber ein Quantenäquivalent von Bertrands Theorem schränkt das Potenzial für Elektronen ein, die auf unbestimmte Zeit in der Nähe des Kerns bleiben, ohne hinein- oder wegzuspiralen .

Es gibt auch einige Post-Quanten-Beweise, die eine rechtfertigen R − 1 Potenzial. Zum Beispiel ein R − N Potenzialwert von N kann mit dem Virialsatz aus den Eigenenergien berechnet werden .

Das effektive nichtrelativistische, „klassische“ Potential kann aus der Quantenelektrodynamik durch Fourier-Transformation des renormierten Photonenpropagators abgeleitet werden, wie in Tony Zees Buch „Quantum Field Theory in a Nutshell“, Abschnitt I.5, erklärt.

Mir ist ein Buch von A. Zee bekannt. Können Sie den genauen Titel angeben?
@ Elektrodynamist Fertig
Ist das nicht das Buch von A. Zee?
@ Elektrodynamist "A." und „Tony“ sind zwei verschiedene Abkürzungen für seinen Vornamen „Anthony“.
Gibt es einen rigorosen Ansatz für das Wasserstoffatom?
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