Eichinvarianz

In der Schrödinger-Gleichung lautet die Aussage der elektromagnetischen Eichinvarianz, dass Observablen nicht vom elektromagnetischen Eichmaß abhängen. Das heißt, wenn wir lassen:

∂ T ψ ( X , T ) = H ^ ψ ( X , T )
A ' ≡ A + ∇ λ
v ' ≡ v − ∂ λ ∂ T

Dann

∂ T ψ ( X , T ) = H ^ ' ψ ( X , T )

wird auch die gleichen Erwartungswerte geben, wo H ^ ' das hängt von den modifizierten Potentialen ab.

Oft sehe ich jedoch, dass Autoren mehr Aufmerksamkeit darauf lenken, dass man die Schrödinger-Gleichung in der gleichen Form wie das Original umschreiben kann, vorausgesetzt, die Wellenfunktion transformiert sich auch um einen lokalen Phasenfaktor:

ψ ' ( X , T ) ≡ exp ⁡ ( − ich λ ) ψ ( X , T ) .

Warum genau ist diese „Forminvarianz“ von Bedeutung und wie hängt sie damit zusammen, dass Observablen (zB elektrische und magnetische Felder, Erwartungswerte) durch die Wahl des Eichmaßes nicht verändert werden? Ich habe das Gefühl, dass manchmal impliziert wird, dass die Fähigkeit, eine transformierte Gleichung in derselben Form wie das Original zu schreiben, impliziert, dass sie eichinvariant ist . Naiverweise könnte man annehmen, dass Sie beobachtbare Unterschiede lediglich „wegdefiniert“ haben, indem Sie Ihre Wellenfunktion transformiert haben.

Wenn diese Frage immer noch schlecht definiert und semantisch ist, werde ich sie einfach schließen.

Können Sie ein Beispiel dafür geben, wie der Ausdruck „Forminvarianz bei Eichtransformation“ verwendet wird?
Dies scheint vor allem eine semantische Frage zu sein, die schwer zu beantworten ist, weil der Kontext fehlt. Ich habe noch nie "Forminvarianz bei Eichtransformation" gehört, und die Verwendung der Schrödinger-Gleichung und "lokalen Phase" impliziert, dass Sie über eine bestimmte Eichinvarianz sprechen möchten, da der Begriff der Eichinvarianz allgemeiner ist als "lokale Phasen". oder in der Tat Quantenphysik. Schließlich bin ich mir nicht sicher, nach welchen Implikationen Sie im zweiten Punkt fragen - wie schlimm eine gebrochene Eichsymmetrie ist, hängt wiederum vom Kontext ab und davon, wodurch sie gebrochen wird.

Antworten (1)

Eichinvarianz bedeutet, dass etwas bezüglich einer Eichtransformation invariant ist. Eichtransformationen sind Transformationen von Größen, typischerweise des Eichfelds A μ , entsprechend

A μ → A μ + ∂ μ F
Wo F ist ein Skalarfeld. Hier zeige ich den einfachsten Fall für eine abelsche Symmetrie. Der nicht-Abelsche Fall ist etwas komplizierter, aber die Idee dahinter ist ähnlich.

Eichtransformationen sind mit einer Eichsymmetrie einer Theorie verbunden (normalerweise in Form einer Lagrange-Funktion ausgedrückt). Eine solche Symmetrie wird durch eine kontinuierliche Gruppe (Lie-Gruppe) dargestellt, wie die U(1)-Lie-Gruppe für den abelschen Fall oder SU(2) usw. für die nicht-abelschen Fälle.

Obwohl Eichinvarianz der allgemein verwendete Begriff ist, kann man zwischen Invarianz und Kovarianz unterscheiden. Im ersteren Fall handelt es sich in der Regel um eine Größe, die nach einer Eichtransformation unverändert bleibt. Man kann auch sagen, dass es sich als Singulett unter der Eichsymmetrie umwandelt. Kovarianz (nicht zu verwechseln mit der Verwendung für konvariante im Gegensatz zu kontravarianten Indizes) wird normalerweise für einen Ausdruck wie eine Gleichung verwendet, wo sie besagt, dass der Ausdruck seine Form nach der Eichtransformation beibehalten hat. Dies ist dasselbe wie Forminvarianz.

Eichsymmetrien sind lokale Symmetrien, was bedeutet, dass die Transformation von Punkt zu Punkt variieren kann (der Skalar F ist eine Funktion von Raum und Zeit). In ist keine Raum-Zeit-Symmetrie wie Translations- oder Rotationsinvarianz. Infolgedessen transformieren Eichtransformationen keine Orts- und Impulsvektoren.

Alle physikalisch messbaren Größen sind eichinvariant. Deshalb das elektrische Feld E und das Magnetfeld H sind eichinvariant und direkt messbar, während das magnetische Vektorpotential (Eichfeld) A , die nicht eichinvariant ist, kann nicht direkt gemessen werden.

Zusätzlich :

Lassen Sie mich zunächst darauf hinweisen, dass if ψ interagiert dann mit dem Eichfeld ψ müsste auch unter der Eichtransformation transformieren. Andernfalls wäre der Wechselwirkungsterm nicht invariant.

Die Forminvarianz hat eine etwas andere Bedeutung als die Invarianz beobachtbarer Größen, aber es gibt eine gewisse Beziehung. Forminvarianz besagt, dass der formale Ausdruck einer Theorie nicht von der Transformation abhängt. Dies kommt daher, warum diese Transformationen überhaupt eine Symmetrie der Theorie darstellen.

Ich kenne eher den Ausdruck einer Theorie im Sinne der Lagrange-Funktion. Wenn die Lagrange-Funktion eine bestimmte Symmetrie hat, was bedeutet, dass sie in Bezug auf einen bestimmten Satz von Transformationen für alle darin enthaltenen Felder forminvariant ist, dann sagt sie mir wirklich, dass sich die Natur auf eine Weise verhält, die von diesen Transformationen nicht beeinflusst wird.

Das kann man nun mit der Invarianz beobachtbarer Größen in Beziehung setzen. Wenn die Natur von diesen Transformationen nicht betroffen ist, sollten die beobachtbaren Größen in dieser Theorie auch nicht von diesen Transformationen betroffen sein. Daher führt (oder impliziert) die Forminvarianz der Theorie zur Eichinvarianz der beobachtbaren Größen.

Es mag den Anschein haben, dass, wenn die Natur von diesen Transformationen nicht betroffen ist, diese Symmetrietransformationen nur ein Artefakt unserer schlechten Fähigkeit sind, eine bessere Möglichkeit zur Formulierung der Theorie zu finden. Symmetrien haben jedoch erhebliche Auswirkungen auf die Eigenschaften einer Theorie. Um ein Beispiel zu nennen: Wegen der Eichsymmetrie ist die Masse des Photons null. Ohne diese Symmetrie hätte es keinen Grund dafür gegeben, dass die Masse Null ist und sie wäre im Allgemeinen nicht Null gewesen.

Hoffe das beantwortet deine Frage.

Da steckt viel Wahrheit drin, aber leider beantwortet es meine Frage nicht wirklich; Ich werde es überarbeiten, da ich denke, dass es unklar ist
Ich habe versucht, die Essenz Ihrer Frage einzufangen, aber nachdem ich die Antwort geschrieben hatte, hatte ich das Gefühl, dass das, was ich geschrieben habe, wahrscheinlich dasselbe ist wie viele andere Antworten, die man hier finden kann. Ich bin mir also nicht sicher, ob ich genau weiß, was Sie fragen.
Zu beschäftigt, um die Überarbeitung vorzunehmen?
Frage umgeschrieben/überarbeitet.
Das ist aber eine gute, ordentliche Antwort :).
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