Naive Interpretation der Galileischen Invarianz des TDSE

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Naive Interpretation der Galileischen Invarianz des TDSE

das Alter

Mir wurde heute von jemandem gesagt, der schlauer ist als ich selbst, dass die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in einer Dimension unter einer Galileischen Transformation von unveränderlich ist $(x,t)$ , nämlich unter

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} X^{'} = X + u T \\ T^{'} = T \end{cases} . \end{matrix}

$\begin{cases}x'=x+ut\\t'=t\end{cases}.\tag{1}$

Um dies zu überprüfen, habe ich mir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung eines freien Teilchens angesehen.

\begin{matrix} (2) & ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial T} = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} \end{matrix}

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\tag{2}$

Berechnung der Transformation der Differentialoperatoren über die Kettenregel:

{\begin{cases} \frac{\partial}{\partial X} = \frac{\partial T^{'}}{\partial X} \frac{\partial}{\partial T^{'}} + \frac{\partial X^{'}}{\partial X} \frac{\partial}{\partial X^{'}} = \frac{\partial}{\partial X^{'}} \\ \frac{\partial}{\partial T} = \frac{\partial T^{'}}{\partial T} \frac{\partial}{\partial T^{'}} + \frac{\partial X^{'}}{\partial T} \frac{\partial}{\partial X^{'}} = \frac{\partial}{\partial T^{'}} + u \frac{\partial}{\partial X^{'}} \end{cases}

$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial t'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial t'}+\frac{\partial x'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x'} = \frac{\partial}{\partial x'} \\ \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial t'}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t'}+\frac{\partial x'}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x'} = \frac{\partial}{\partial t'}+u\frac{\partial}{\partial x'} \end{cases}$

und alles wieder einstecken $(2)$ gibt den TDSE im relativ trägen Rahmen an $(x',t')$ .

\begin{matrix} (3) & ich ℏ (\frac{\partial ψ}{\partial T^{'}} + u \frac{\partial ψ}{\partial X^{'}}) = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{' 2}} \end{matrix}

$i\hbar\left(\frac{\partial\psi}{\partial t'}+u\frac{\partial\psi}{\partial x'}\right)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x'^2}\tag{3}$

Dies würde bedeuten, dass es einen zusätzlichen Begriff wie gibt $i\hbar u\frac{\partial\psi}{\partial x'}$ in der Gleichung, die eine Asymmetrie unter darstellt $(1)$ . Wir haben, dass besagter Term nicht Null ist (denn das würde bedeuten, dass die Wellenfunktion im relativen Bezugssystem ortsunabhängig ist, was eindeutig nicht der Fall ist). Offensichtlich habe ich hier etwas falsch verstanden - ist $(2)$ doch nicht galiläische Invariante?

tom

nette Frage - frage mich, ob das zeitabhängige nicht invariant ist, aber das zeitunabhängige SE ist.

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/56024/2451 und Links darin.

das Alter

@tom Die Zeitunabhängigkeit ist bei dieser Analyse sicherlich unveränderlich, da die Asymmetrie herrührt

\frac{\partial}{\partial t}

$\frac{\partial}{\partial t}$ und natürlich hängt die kostenlose TISE nur an

\frac{\partial}{\partial x}

$\frac{\partial}{\partial x}$ .

Ján Lalinský

Sie müssen sich verwandeln

ψ

$\psi$ auch, um die Schrödinger-Gleichung aus der Sicht des grundierten Rahmens zu erhalten.

Antworten (1)

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nette Frage - frage mich, ob das zeitabhängige nicht invariant ist, aber das zeitunabhängige SE ist.
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/56024/2451 und Links darin.
@tom Die Zeitunabhängigkeit ist bei dieser Analyse sicherlich unveränderlich, da die Asymmetrie herrührt $\frac{\partial}{\partial t}$ und natürlich hängt die kostenlose TISE nur an $\frac{\partial}{\partial x}$ .
Sie müssen sich verwandeln $\psi$ auch, um die Schrödinger-Gleichung aus der Sicht des grundierten Rahmens zu erhalten.

Nathan Schied · Answer 1

In Ihrer Ableitung haben Sie implizit angenommen, dass die Wellenfunktion ihre Werte nicht ändert, wenn Sie zum galiläischen verstärkten Rahmen gehen. Mit anderen Worten, Sie haben angenommen $\psi'(x', t') = \psi \bigl(x(x',t'), t(x',t') \bigr)$ . Dies ist jedoch nicht richtig.

Die Wellenfunktion kodiert Informationen über den Impuls eines Partikels. Wenn Sie also zu einem anderen Frame wechseln, muss sich die Wellenfunktion ändern, um den Impuls darzustellen, den das Partikel im neuen Frame hat. Bei einer ebenen Welle z. $\psi(x, t) = e^{i(kx - \omega t)}$ . Wenn Sie durch Geschwindigkeit beschleunigen $u$ , die Wellen $k, \omega$ muss sich ändern, um der neuen Dynamik und Energie zu entsprechen, wie $k' = k + mu/\hbar$ Und $\omega' = \hbar k'^2 / 2m$ . Es ist also nicht mehr dieselbe Funktion; es hat eine andere Wellenlänge und Frequenz, über die einfache Änderung der Koordinaten hinaus.

Mit anderen Worten, die Schrödinger-Gleichung ist Galileisch-invariant, nicht in dem Sinne, dass dieselbe Lösung nach einem Boost funktioniert, sondern in dem Sinne, dass es Lösungen gibt, die Wellen darstellen, die sich mit allen unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Ein Boost bildet eine Lösung mit ab $k, \omega$ zu einer anderen Lösung mit $k', \omega'$ . (Und für Lösungen, die keine ebenen Wellen sind, können wir die Fourier-Transformation verwenden, um sie in ebene Wellen zu zerlegen, jede zu verstärken und sie wieder zusammenzusetzen.)

Dieses Argument mag etwas unbefriedigend sein, da es auf physikalischer Intuition über die Bedeutung von Wellenlänge und Frequenz beruht und keine rein mathematische Ableitung ist. Ich frage mich, ob Sie es vielleicht rigoroser aus einigen Operator-algebraischen Überlegungen oder ähnlichem ableiten können.

Es gibt algebraische Überlegungen, die zu diesem Ergebnis führen, aber ziemlich technisch sind: die Struktur der zweiten Kohomologiegruppe der Lie-Algebra der Galileischen Gruppe. Eine berühmte Arbeit von Bargmann aus dem Jahr 1954 (glaube ich) klärte alles auf mathematischer Ebene :)
Ja, das kann man allgemeiner ableiten. Keine operatoralgebraischen Überlegungen erforderlich. Lassen $\psi$ mit einer beliebigen Phase transformieren $\psi'(x',t') = e^{i\alpha(x,t)}\psi(x+ut,t)$ . Dann isolieren $\alpha(x,t)$ indem darauf bestanden wird, dass die Schrödinger-Gleichung auch im neuen System gelöst wird. Dies sollte den zusätzlichen Begriff in OPs Beitrag aufheben.

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