Leiten Sie die Lagrange-Funktion ab, die die freie Schrödinger-Gleichung aus der Galilei-Invarianz ergibt

Question

Leiten Sie die Lagrange-Funktion ab, die die freie Schrödinger-Gleichung aus der Galilei-Invarianz ergibt

Physik
Quantenmechanik
Galileische Relativität
lagrangescher Formalismus
Schrödinger-Gleichung
Variationsprinzip

Quantenpeitsche

Die Lagrange-Dichte

L (Ψ, Ψ^{*}) = ich ℏ \dot{Ψ} Ψ^{*} + \frac{ℏ^{2}}{2 M} Ψ Δ Ψ^{*}

$L(\Psi, \Psi^*)=i \hbar \dot{\Psi} \Psi^* + \frac{\hbar^2}{2m} \Psi \Delta \Psi^*$ ergibt die Schroedinger-Gleichungen für

Ψ

$\Psi$ Und

Ψ^{*}

$\Psi^*$ . Können wir diese Lagrange-Dichte herleiten, wenn wir nur quadratische Terme und Galilei-Invarianz als Bedingungen für die Dichte aufstellen? Natürlich kann die Ableitung bis zu totalen Ableitungstermen erfolgen, die die Physik nicht verändern.

Quantenpeitsche

@Qmechanic: Ich habe gerade herausgefunden, dass die Gleichung selbst unter galileischen Transformationen nicht unveränderlich ist, daher gibt es meiner Meinung nach keine Möglichkeit, die Lagrange-Dichte aus diesen Annahmen abzuleiten.

QMechaniker

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Ja. Die Quintessenz, die ich daraus bekomme, ist, dass sich die Gleichung ändern wird, wenn ich nicht auch die Wellenfunktion transformiere. (

x^{'} = x - v t

$x' = x - v t$ ) allein reicht nicht aus.

QMechaniker

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Antworten (1)

Leiten Sie die Lagrange-Funktion ab, die die freie Schrödinger-Gleichung aus der Galilei-Invarianz ergibt

@Qmechanic: Ich habe gerade herausgefunden, dass die Gleichung selbst unter galileischen Transformationen nicht unveränderlich ist, daher gibt es meiner Meinung nach keine Möglichkeit, die Lagrange-Dichte aus diesen Annahmen abzuleiten.
Ja. Die Quintessenz, die ich daraus bekomme, ist, dass sich die Gleichung ändern wird, wenn ich nicht auch die Wellenfunktion transformiere. ( $x' = x - v t$ ) allein reicht nicht aus.

Adam · Answer 1

Galileische Invarianz erzwingt nur die Kombination $i\partial_t-\frac{\triangle}{2m}$ zu jeder Macht. Dies bedeutet, dass die Aktion

\int_{T, X} \sum_{N} ψ^{*} {(ich \partial_{T} - \frac{△}{2 M})}^{N} ψ,

$\int_{t,x} \sum_n \psi^*\left(i\partial_t-\frac{\triangle}{2m}\right)^n\psi,$ ist unveränderlich. Sie benötigen zusätzliche Einschränkungen (wie "Einfachheit", was auch immer das bedeutet, oder Vergleich mit experimentellen Daten), um die Lagrange-Dichte des OP zu erhalten.

Kommentar zur Antwort (v1): Treffen Sie Vermutungen darüber, wie $\psi$ verhält sich unter Galilei-Transformationen?

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