Quantenmechanik als klassische Feldtheorie

Sie könnten Quanteneffekte sicherlich nicht mit einer klassischen Behandlung dieses Lagranges wiederherstellen. Wenn Sie die Quantenmechanik aus dem von Ihnen geschriebenen Lagrange-Feld wiederherstellen möchten, können Sie sich entweder auf den Einzelteilchensektor des Fock-Raums konzentrieren oder eine Weltlinienbehandlung in Betracht ziehen. Um mehr über letzteres zu erfahren, schlagen Sie in Siegels Online-QFT-Buch „Fields“ [hep-th/9912205] oder in Strasslers „Field Theory without Feynman Diagrams“ [hep-ph/9205205] nach, um Anwendungen der Technik zu finden.

Können wir die normale, nichtrelativistische Quantenmechanik als klassisches Gebiet ansehen?

Ja, Sie können die Wellenfunktion anzeigen$\psi(x,t)$als ein gewöhnliches komplexwertiges Feld im Geiste, sagen wir, der klassischen Elektrodynamik. Dieses Feld beschreibt die Quantenmechanik eines einzelnen Elektrons, aber es ist klassisch in dem Sinne, dass es sich um eine gewöhnliche Funktion handelt$\psi(x,t) : \mathbb R^3\times\mathbb R \to \mathbb C$.

Wie gewohnt kann man mit dem Lagrange viel Spaß haben. Zum Beispiel können Sie feststellen, dass es dort ein (globales)$U(1)$Symmetrie$\psi \mapsto e^{iθ}\psi$und wende den Satz von Noether an. Sie finden eine Kontinuitätsgleichung für die Größe$\psi^*\psi$, die wir üblicherweise als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren.

Natürlich ist die Schrödinger-Gleichung auf die nicht-relativistische Physik beschränkt, also fing man an, nach einem relativistischen Äquivalent zu suchen. Diracs gleichnamige Gleichung sollte genau das sein: eine Gleichung für ein klassisches Feld, das ein quantenmechanisches Elektron lorentzkovariant beschreibt. Natürlich sollte es ein Äquivalent der Wahrscheinlichkeitsdichte geben$\psi^*\psi$, was immer positiv ist, aber egal wie man es dreht, das hat einfach nicht funktioniert, nicht einmal für die Dirac-Gleichung.

Die Lösung für dieses Problem ist, dass Elektronen nicht isoliert leben, sie sind identische Teilchen und über das Pauli-Ausschlussprinzip miteinander verbunden. Dirac konnte seine Gleichung nur unter Berücksichtigung einer variablen Anzahl von Elektronen verstehen. Hier ist das klassische Feld angesiedelt$\psi$muss in ein Quantenfeld überführt werden $\Psi$, ein Prozess, der als zweite Quantisierung bekannt ist . ("Erste Quantisierung" bezieht sich darauf, dass das klassische Feld$\psi$beschreibt bereits ein quantenmechanisches Teilchen.)

Es stellt sich heraus, dass eine zweite Quantisierung auch notwendig ist, um bestimmte Korrekturen an der gewöhnlichen Schrödinger-Gleichung zu erklären. In diesem Licht das klassische Feld$\psi$ist wirklich eine Annäherung, da sie den Einfluss einer variablen Anzahl von Teilchen vernachlässigt.

Der Prozess, eine variable Anzahl von Partikeln zu berücksichtigen, ist eigentlich ganz ordentlich. Wenn Sie von einem auf zwei Teilchen gehen, müssten Sie ein klassisches Feld betrachten$\psi(x_1,x_2)$das hängt von zwei Variablen ab, den Teilchenpositionen. Geht zu$N$Teilchen, hätten Sie ein Feld$\psi(x_1,\dots,x_N)$abhängig von so vielen Variablen. Sie können alle Partikel auf einmal erhalten, indem Sie ein Feld mit Operatorwerten betrachten$\Psi(x)$stattdessen, wodurch ein Partikel an der Position erzeugt wird$x$. Es stellt sich heraus, dass Sie nur ersetzen können$\psi$durch$\Psi$in der Lagrangefunktion, um die richtigen Bewegungsgleichungen für alle Teilchen auf einmal zu erhalten.

Leider muss ich hier aufhören, weitere Details zur zweiten Quantisierung und Quantenfeldtheorie würden den Rahmen dieser Antwort sprengen.

Was die Literatur betrifft, fand ich Sakurais Advanced Quantum Mechanics als eine sehr klare, wenn auch etwas langatmige Einführung in die Quantenfeldtheorie, die dort ansetzt, wo die Schrödinger-Gleichung aufgehört hat.

Ich bin kein Experte auf klassischen Gebieten, aber ich denke, Sie haben dort keine Verschränkung, das heißt, es gibt keinen Unterschied zu einem einzelnen Teilchen, aber es gibt einen großen Unterschied zu mehr als einem.

Tatsächlich nimmt die wahre Lagrangedichte für die Schrödinger-Gleichung diese ab

und die Aktion wird

Ein Lagrangian für die Schrödinger-Gleichung hat nur im Zusammenhang mit der Quantenfeldtheorie eine Bedeutung, wenn Sie eine zweite Quantisierung der Schrödinger-Wellenfunktion durchführen. Dies gilt auf vielen Gebieten und vor allem in der kondensierten Materie und ganz allgemein in der Vielteilchenphysik. In diesem Fall müssen Sie diese Gleichung auf die Pauli-Gleichung verallgemeinern und mit Spinor- und Antikommutierungsregeln arbeiten, um gewöhnliche Materie zu beschreiben.

Dann gilt die probabilistische Interpretation für die Zustände im Fock-Raum für das betrachtete Vielteilchenproblem.

Tongs Vorlesungsnotizen behandeln dies ausführlich. Insbesondere ist Ihr Lagrangian leicht aus einem komplexen Skalarfeld zu erhalten, das der Klein-Gordon-Gleichung im nicht-relativistischen Grenzfall gehorcht. Dieser Lagrangian führt zwar zu einem konservierten Nöther-Strom der gleichen Form wie der von Schrödinger, aber dies hat nicht die Interpretation der konservierten Wahrscheinlichkeit, weil$\psi \psi^*$ist nicht die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass sich ein Teilchen zu einer bestimmten Zeit an einer bestimmten Position befindet. Um QM zu erhalten, müssen Sie das Feld quantisieren, die Wellenfunktion als Überlagerung von Positionszuständen einzelner Teilchen konstruieren und dann die Hamilton- und die Schrödinger-Gleichung erhalten.