Skaleninvarianz in der (2+1)D nichtrelativistischen Feldtheorie

Kontext : Ich lese eine Abhandlung mit dem Titel „ Nonrelativistic field-theoretic scale anomaly “ über die Skaleninvarianz in der nichtrelativistischen Feldtheorie.

Die Lagrange-Dichte für das Skalarfeld ist gegeben durch

$$\mathcal{L} = i\phi^\dagger\partial_t\phi+\frac{1}{2}\phi^\dagger\nabla^2\phi-\frac{v_0}{4}\phi^\dagger\phi^\dagger\phi\phi.\tag{2.5}$$

Skalentransformation : Die Skalentransformation ist gegeben durch,

$$\begin{align} \boldsymbol{x}&\rightarrow e^\alpha \boldsymbol{x}\\ t&\rightarrow e^{2\alpha}t\\ \phi&\rightarrow e^{-\alpha}\phi. \end{align}\tag{3.1}$$

Mit diesen Skalentransformationen heißt es in dem Papier

$$\begin{align} \delta\phi &= (1+\boldsymbol{x}\cdot\nabla+2t\partial_t)\phi\tag{3.2}\\ \delta\mathcal{L}&=(4+\boldsymbol{x}\cdot\nabla+2t\partial_t)\mathcal{L}.\tag{3.4} \end{align}$$

Frage : Meine Frage bezieht sich auf die Ableitung der Gleichungen für$\delta\phi$Und$\delta\mathcal{L}$. Ich gehe davon aus, dass die Gleichungen den Skalenparameter weggelassen haben$\alpha$was in den meisten Zeitungen und Büchern üblich ist. Ich konnte die erste Gleichung herleiten, endete aber mit einem negativen Vorzeichen davor. Eine kurze Herleitung dazu:

$$\begin{align}\delta \phi &= \phi'(x,t)-\phi(x,t)\\ &= \phi'(x',t')-\phi(x,t)-[\phi'(x',t')-\phi'(x,t)]\\ &= -\alpha(1+\boldsymbol{x}\cdot\nabla+2t\partial_t)\phi \end{align}$$ wo ich die Bedingungen bis zur ersten Bestellung eingehalten habe$\alpha$und die Skalierungstransformationsgleichungen verwendet. Meine Frage ist jedoch, wie ich die Gleichung für bekomme$\delta \mathcal{L}$? Gibt es einen kurzen Weg, dies zu tun? Ich habe versucht $$\delta \mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta(\partial_\mu\phi)+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi$$ und die Transformationen verwendet, aber ich erhalte nicht das gewünschte Ergebnis. Jede Hilfe ist willkommen.