Die Schrödinger-Gleichung als Euler-Lagrange-Gleichung

1. Wie JamalS in seiner Antwort richtig feststellt :

   • Quantenaktionen in QFT sind erlaubt$\hbar$-Abhängigkeit.

   • Wenn wir nur ein stationäres Aktionsprinzip für den TDSE wollen und das Aktionsfunktional nur als mathematisches Werkzeug ohne physikalische Konsequenzen jenseits der EL-Gleichungen betrachten , dann ist das$\hbar$- Abhängigkeit spielt keine Rolle.

2. Vielleicht wird das Unbehagen von OP mit Mahans TDSE-Ableitung jedoch durch die folgende tiefere Frage angespornt:

   Wie wir den richtigen semiklassischen Grenzwert erhalten$^1$und Schleifenerweiterung$^2$eines zweiten quantisierten Wegintegrals$^3$

   $$Z~=~\int\! {\cal D}\frac{\psi_2}{\sqrt{\hbar}}{\cal D}\frac{\psi_2^{\ast}}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S\right),\tag{1}$$ wenn die Schrödinger-Aktion$S$kommt drauf an$\hbar$, so dass verschiedene Teile der Aktionen$S$Skalen/werden im semiklassischen Limes inhomogen unterdrückt$\hbar\to 0$?

   Das ist eine gute Frage. Die Antwort ist, dass es implizite versteckte gibt$\hbar$-Abhängigkeit, dh man sollte die Variablen neu skalieren

   $$\psi~=~\frac{\psi_2}{\sqrt{\hbar}},\qquad m~=~\hbar m_2,\qquad U~=~\hbar U_2,\tag{2}$$ um einen Klassiker zu erhalten ($\hbar$-unabhängige) Aktion$^4$ $$\begin{align} S~=~&\int \! \mathrm{d}t ~\mathrm{d}^3r \left( i\hbar \psi^{\ast}\dot{\psi}-\frac{\hbar^2}{2m} |\nabla\psi|^2 -U|\psi|^2 \right)\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\int \! \mathrm{d}t ~\mathrm{d}^3r \left( i \psi_2^{\ast}\dot{\psi}_2-\frac{1}{2m_2} |\nabla\psi_2|^2 -U_2|\psi_2|^2 \right) ,\end{align}\tag{3}$$ und um eine Korrekturschleifenerweiterung wiederherzustellen.

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$^1$Für die semiklassische Grenze siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

$^2$Für die$\hbar$/loop-expansion, siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

$^3$Hier bezieht sich der Index 2 auf eine richtig normalisierte, zweitquantisierte Formulierung.

$^4$Schwartz, Abschnitt 22.1, p. 395, weist darauf hin, dass die Kopplungskonstante$\frac{1}{m}$hat eine negative Massendimension und entspricht daher einer nicht renormierbaren Kopplung.

Erstens kann man sich das eher als mathematisches denn als physikalisches Verfahren vorstellen. Am Ende konstruiert man einfach eine funktionale,

deren Extremisierung,$\delta S = 0$führt auf die Schrödinger-Gleichung. Lagrangians enthalten jedoch$\hbar$sind keine Seltenheit. In der Quantenfeldtheorie kann man effektive Aktionen aus der Berechnung von Feynman-Diagrammen konstruieren, die Faktoren von haben können$\hbar$, außerhalb natürlicher Einheiten.