Was sind die Haupthindernisse bei der Lösung des Vielteilchenproblems in der Quantenmechanik?

Lassen Sie mich zunächst sagen, dass die$N$-Körper-Problem in der klassischen Mechanik ist rechnerisch nicht schwierig, sich einer Lösung anzunähern. Es ist einfach so, dass es im Allgemeinen keine analytische Lösung in geschlossener Form gibt, weshalb wir uns auf die Numerik verlassen müssen.

Für die Quantenmechanik ist das Problem jedoch viel schwieriger. Denn in der Quantenmechanik muss der zur Darstellung des Systems benötigte Zustandsraum alle möglichen Überlagerungen von Teilchen darstellen können. Während die Anzahl der orthogonalen Zustände in der Größe des Systems exponentiell ist, hat jeder eine zugehörige Phase und Amplitude, was selbst bei der grobkörnigen Diskretisierung zu einer doppelt exponentiellen Anzahl möglicher Zustände führt, die erforderlich sind, um es darzustellen. In Quantensystemen braucht man also$O(2^{2^n})$Variablen, um jeden möglichen Zustand des Systems angemessen zu approximieren, versus nur$O(2^n)$erforderlich, um ein analoges klassisches System darzustellen. Da können wir vertreten$2^m$Staaten mit$m$Bits, um den klassischen Zustandsraum darzustellen, brauchen wir nur$O(n)$Bits, gegen$O(2^n)$Bits, die benötigt werden, um das Quantensystem direkt darzustellen. Aus diesem Grund wird angenommen, dass es unmöglich ist, einen Quantencomputer in Polynomzeit zu simulieren, aber die Newtonsche Physik kann in Polynomzeit simuliert werden.

Die Berechnung von Grundzuständen ist noch schwieriger als die Simulation der Systeme. Tatsächlich ist das Auffinden des Grundzustands eines klassischen Hamilton-Operators im Allgemeinen NP-vollständig , während das Auffinden des Grundzustands eines Quanten-Hamilton -Operators QMA-vollständig ist . (Andererseits sind Grundzustände in gewissem Maße weniger relevant, da die Systeme, für die der Grundzustand (zumindest auf einer QC) rechnerisch schwer zu berechnen ist, auch nicht effizient kühlen.)

Die Antwort ist ziemlich einfach – das klassische N-Körper-Problem hat seine Lösung in$6N$1D-Funktionen der Zeit, das Quanten-N-Körper-Problem hat seine Lösung in einer komplexen Funktion, aber$3N$-dimensional (Spin und ähnliches nicht mitgezählt). Dann ist es kein Wunder, warum man analytische Lösungen nur für triviale Probleme finden oder zumindest machen kann$N$riesig und Flucht in die statistische Mechanik. Und ja, das ist hier nur das Problem der mathematischen Komplexität.
Aus der Sicht der Modellierung erscheint eine exakte Lösung auch hoffnungslos, mit nur einer Speicherkomplexität von$\mathcal{O}(K^{3N})$.

Für den Rest der Antwort beschränke ich mich auf die Quantenchemie/Materialwissenschaft, da dies die am stärksten ausgebeutete Region ist – das heißt, wir sprechen jetzt über Atome. Erstens haben Atome kleine und sehr schwere Kerne, die daher als nahezu stationäre Quellen elektrostatischen Potentials behandelt werden können; dies reduziert das Problem auf Elektronen (ca. Born-Oppenheimer). Nun gibt es zwei Hauptrouten zu folgen: Hartree-Fock oder Dichtefunktionaltheorie.
In HF stellt man die Vielkörper-Webfunktion grob als Kombination einiger Standardbasisfunktionen dar - dann kann man ihre Beiträge optimieren, um minimale Energie zu erhalten, und dennoch den erweiterten Hamilton-Operator verwenden, um die Auswirkungen einer solchen Annäherung anzupassen. In der DFT reduziert eine von Hohenberg-Kohn-Theoremen angeregte Webfunktion mit vielen Körpern auf das Elektronenwahrscheinlichkeitsdichtefeld (3-dimensional) und dementsprechend die Terme der Shroedinger-Gleichung auf Dichtefunktionale (und dort werden Näherungen angewendet). Als nächstes kann es entweder als dieses 3D-Feld oder auf Kohn-Sham-Weise gelöst werden, was ziemlich genau Hartree-Fock für DFT ist (eine repräsentiert Dichte mit Basisfunktionen). Die Leute machen hier manchmal etwas Analytisches, aber das sind meistens Theorien, die erstellt wurden, um rechnerische Ansätze zu unterstützen.

Und schließlich Ihre letzte Frage: Diese Näherungsmethoden (aber immer noch ab initio - es gibt dort keine experimentellen Parameter) sagen Dinge wie chemische Reaktionen, verschiedene Spektren und andere messbare Größen voraus; Genauigkeit ist jedoch problematisch. Die Biologie ist aufgrund einer Zeitskala meist außer Reichweite; zumindest gibt es hybride Methoden, die in der Lage sind, beispielsweise die klassische Simulation der Proteinbewegung mit der Quantensimulation der Bindungsstelle zu mischen, wenn diese so weit zusammengedrückt wird, dass so etwas wie eine quantenähnliche enzymatische Reaktion stattfinden kann.

Auf einer abstrakteren Ebene ist das Problem Linearität versus Nichtlinearität. Es ist einfach, eine Reihe von linearen Gleichungen zu lösen, und sie liefern immer eine analytische Antwort. Nichtlineare Gleichungen erzeugen jedoch ein chaotisches Verhalten, das in den meisten Fällen nicht verallgemeinert werden kann.

Beispielsweise umfasst das 3-Körper-Newtonsche Problem 2C3 = 3 nichtlineare Gleichungen; die Nichtlinearität kommt von der r ² -Beziehung. Und 3 nichtlineare Beziehungen sind die Mindestanforderung für ein chaotisches System.

In ähnlicher Weise beinhaltet die Quantenmechanik eine große Anzahl nichtlinearer Gleichungen - bei einem Satz von 3 Elektronen stoßen sich alle über eine nichtlineare Beziehung gegenseitig ab, und das mit noch größerer Komplexität als das Newtonsche Problem, bei dem alle Dinge bekannt und bestimmbar sind.

Die einfache Antwort ist also, dass das Problem Mathematik ist, die für den allgemeinen Fall nicht gelöst werden kann, was sich aus der Physik ergibt, und dass der Quantenfall tatsächlich schlimmer ist als der klassische.

Zusätzlich zu dem, was mbq gesagt hat, könnte es interessant sein zu wissen, dass die Dinge in der relativistischen Quantenmechanik wirklich lustig werden, dh die Klein-Gordon- und die Dirac-Gleichung verwenden (aber ohne die "zweite" Quantisierung der Quantenfeldtheorie ). Dort gibt es eine Wellenfunktion pro Teilchensorte , also egal wie viele Teilchen einer Sorte man betrachtet, das einzige, was sich ändert, ist das Feld selbst . Sie erhalten nur mehr Freiheitsgrade, indem Sie tatsächlich eine andere Art von Partikeln hinzufügen. Da Fermionen Spinors benötigen, können Sie natürlich mit anderen Rechenproblemen enden ...

Die Vielteilchengleichung ist immens schwer zu untersuchen, sowohl klassisch als auch quantenmechanisch. Der verstorbene John Pople von der Northwestern University erhielt 1998 einen Nobelpreis für seine numerischen Modelle der Wellenfunktionen von Atomen, mit denen er eine theoretische Grundlage für ihre chemischen Eigenschaften entwickelte. Hier ist ein Link:

http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1998/