Woher kommen Massenpolarisationsterme im Vielteilchen-Hamiltonoperator? Warum werden sie manchmal weggelassen?

Ich habe noch nie davon gehört und es scheint ziemlich seltsam zu sein, aber ich habe eine Vermutung, dass das das einzig Vernünftige zu sein scheint, das vor sich gehen könnte. Die kinetische Energie eines Teilchens hängt definitiv nicht (grundsätzlich) davon ab, was ein anderes Teilchen tut. Es hängt nur indirekt durch Wechselwirkungen (dh Potentiale oder Eichfelder) von den anderen Teilchen ab. Der Autor muss an eine Art Born-Oppenheimer-ähnliche Annäherung denken, bei der eine Teilmenge von Wechselwirkungen im Voraus berücksichtigt oder festgelegt wird, wobei Korrelationen zwischen den verbleibenden Freiheitsgraden verbleiben. Also hier ist meine Vermutung, was passiert.

Wenn Sie zwei Teilchen gleicher Masse mit Impulsen haben$\vec{p}_1,\vec{p}_2$dann ist die Gesamtenergie

$$H = \frac{\vec{p}_1^2}{2m} + \frac{\vec{p}_2^2}{2m} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2).$$

Führen Sie nun die Summe ein$\vec{P}=\vec{p}_1+\vec{p}_2$und relative Dynamik$\vec{p}=(\vec{p}_1-\vec{p}_2)/2$dann wird der Hamiltonian

$$H = \frac{\vec{P}^2}{2M} + \frac{\vec{p}^2}{2\mu} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2),$$

Wo$M=2m$ist die Gesamtmasse und$\mu=m/2$die reduzierte Masse. Wenn Sie nun den relativen Impuls vernachlässigen, weil die beiden Teilchen starr gebunden sind und sich immer zusammen bewegen, dann erhalten Sie

$$H \approx \frac{\vec{P}^2}{2M} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2).$$

Wenn Sie schließlich wieder einwechseln, erhalten Sie einen Kreuzbegriff$\propto \vec{p}_1\cdot\vec{p}_2$der im Artikel erwähnten Art und der Masse$M$bezieht sich in der Tat auf die Masse eines Konglomerats aus mehreren Teilchen. Sie können dies auch tun, wenn das Potenzial so groß ist, dass Sie das Massenschwerpunkt- und Relativbewegungsproblem trennen und das Relativbewegungsproblem alleine lösen können. Und diese Idee sollte sich direkt auf die erstrecken$N$Partikelfall. Das überlasse ich dir.

Der Massenpolarisationsterm entsteht, wenn wir auch die Bewegung des Kerns berücksichtigen (oder mit anderen Worten, ihm eine endliche Menge an Masse geben). Die kinetische Energie eines Atoms mit einem Massekern$M$und aufladen$Ze$Und$N$Elektronen der Masse$m$und aufladen$-e$kann geschrieben werden als:

$$T=-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{R_0}^2+\sum_{i=1}^N \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{R_i}^2\right)$$ wobei wir die Koordinaten des Kerns mit bezeichnet haben $R_0$und die Elektronen mit $R_i$.

Bewegen Sie sich nun zum Rahmen des Massenmittelpunkts. wir definieren neue Koordinaten$(\vec R,\vec r_1,\vec r_2,\dots,\vec r_N)$, Wo:

$$\vec R=\frac{1}{M+Nm}(M\vec{R_0}+m\vec{R_1}+\dots+m\vec {R_N})$$ ist der Schwerpunkt, und $$\vec{r_i}=\vec{R_i}-\vec{R_0}$$ sind die relativen Koordinaten. Aus den beiden obigen Gleichungen kann man leicht nachprüfen, dass: $$\nabla_{R_0}=\frac M{M+Nm}\nabla_R-\sum_{i=1}^N \nabla_{r_i}$$ $$\nabla_{R_i}= \frac{m}{M+Nm}\nabla_R+\nabla_{r_i}$$ Daher werden wir haben: $$\nabla_{R_0}^2=\left(\frac{M}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2-\frac{2M}{M+Nm}\sum_{i=1}^N \nabla_R . \nabla_{r_i}+\left(\sum_{i=0}^N\nabla_{r_i}\right)^2$$ $$\nabla_{R_i}^2=\left(\frac{m}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2+\frac{2m}{M+Nm} \nabla_R . \nabla_{r_i}+\nabla_{r_i}^2$$

Wenn wir diese nun wieder in die Ausgangsgleichung einsetzen, erhalten wir:

$$\begin{align} T=&-\frac{\hbar^2}{2M}\left(\left(\frac{M}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2-\frac{2M}{M+Nm}\sum_{i=1}^N \nabla_R \cdot \nabla_{r_i}+ \left(\sum_{i=0}^N\nabla_{r_i}\right)^2\right)+\\ &\quad\sum_{i=1}^N\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\left(\frac{m}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2+\frac{2m}{M+Nm} \nabla_R . \nabla_{r_i}+\nabla_{r_i}^2\right)\right)\\ =&-\frac{\hbar^2}{2(M+Nm)^2}(M+Nm)\nabla_R^2-\frac{\hbar^2}{2M}\sum_{i,j=1}^n\nabla_{r_i}\cdot\nabla_{r_j}-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_{i=1}^n\nabla_{r_i}^2\\ =& -\frac{\hbar^2}{2(M_{tot})}\nabla_R^2-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_{i=1}^n\nabla_{r_i}^2 -\frac{\hbar^2}{2M}\sum_{i,j=1}^n\nabla_{r_i}\cdot\nabla_{r_j} \end{align}$$ wobei der letzte der Massenpolarisationsterm ist.