Beweis, dass die elektronische Schrödinger-Gleichung keine geschlossenen analytischen Lösungen für >1 Elektron hat

In vielen Büchern wird behauptet, dass analytische geschlossene Lösungen der zeitunabhängigen elektronischen Schrödinger-Gleichung,

H ^ Ψ = E Ψ ,
für das Einelektronenproblem (z. B. Wasserstoffatom, Trennbarkeit von Kern- und Elektronenbewegung vorausgesetzt) ​​existieren, für Systeme mit mehr als einem Elektron solche Lösungen jedoch nicht existieren und daher Näherungsverfahren zur Lösung der Gleichung erforderlich sind.

Insbesondere beim Übergang von einem Einelektronensystem zu einem Zweielektronensystem mit festen Kernen ändert sich etwas, das eine geschlossene analytische Lösung der Gleichung nicht mehr möglich macht.

Dies hängt eindeutig mit der interelektronischen Wechselwirkung zusammen, da geschlossene analytische Lösungen für Systeme nicht wechselwirkender Teilchen möglich sind. Viele Quellen deuten darauf hin, dass das Viel-Elektronen-Problem "zu schwierig" ist, um es analytisch zu lösen, geben jedoch keine weiteren Details an. Dies wirft die Frage auf: Ist es so, dass geschlossene analytische Lösungen nicht existieren können oder dass sie existieren könnten, aber sehr schwer zu finden sind? Und wenn sie nicht existieren können, wie wird dies dann bestimmt?

Eine Lektion aus der jüngeren Geschichte: arxiv.org/abs/1203.5408
Ich bin auf ein Buch mit dem Titel "Schöne Modelle 70 Jahre exakt gelöster Quanten-Vielteilchenprobleme" gestoßen. Wahrscheinlich findest du dort einen Hinweis.
Ganz wichtig: „geschlossene Form“ und „analytisch“ sind umgangssprachlich im Grunde bedeutungslos. Was Sie meinen, ist "subjektiv einfacher Ausdruck in Bezug auf Funktionen, die ich mag". Ist die Sinusfunktion geschlossen? Es ist, wenn du es sagst, es ist nicht, wenn du sagst, es ist nicht. Der Sinus ist schließlich nur im Grenzbereich unendlich vieler Rechenoperationen berechenbar, aber wir haben ihm einen besonderen Namen gegeben. So können perfekt wohldefinierte Lösungen für wohlgestellte Differentialgleichungen für einige nicht "analytisch" sein, einfach weil sich niemand die Mühe gemacht hat, diesen Lösungen einen speziellen Namen zu geben.

Antworten (1)

Eine genauere mathematische Art, Ihre Frage zu stellen, lautet: gegebener (normalerweise unbegrenzter) selbstadjungierter Operator H auf einem Hilbertraum H , kann ich sein Spektrum charakterisieren?

"Geschlossene" Lösungen für die Gleichung zu finden, die Sie schreiben, bedeutet, Eigenfunktionen Ihres Operators zu finden H , möglicherweise zum Hilbertraum gehörend H (da Sie wollen, dass sie realisierbare Zustände sind). Mit anderen Worten bedeutet dies, dass Sie untersuchen, ob der Betreiber H hat ein diskretes Spektrum.

Manchmal ist es möglich zu beweisen, dass das Spektrum vollständig diskret ist, manchmal, dass es kein diskretes Spektrum gibt, aber normalerweise hat man sowohl diskrete als auch nicht-diskrete (wesentliche) Spektren: es hängt wirklich von der Form des Operators ab H . Es gibt ein laufendes, riesiges und gut etabliertes Feld der mathematischen Forschung zu diesem Thema, das als "Spektraltheorie" bezeichnet wird. Die „Bibel“ der mathematischen Physik, dh die Bücher von Reed und Simon , widmen diesem Thema einen ganzen Band (den vierten). Ich schlage vor, dass Sie die Kapitel VI, VII und VIII des ersten Bandes als allgemeine Einführung lesen, und was auch immer Sie wollen von Band 4 (insbesondere Abschnitte über gebundene Zustände und Eigenfunktionen), um eine Vorstellung von den mathematischen Schwierigkeiten bei der Analyse des Spektrums von Operatoren zu bekommen , und folglich ihre Eigenfunktionen.

Beweis, dass die elektronische Schrödinger-Gleichung keine geschlossenen analytischen Lösungen für >1 Elektron hat
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