1D Infinite Square Well: Box nimmt plötzlich an Größe zu. Wie behandeln Sie das?

Question

1D Infinite Square Well: Box nimmt plötzlich an Größe zu. Wie behandeln Sie das?

Joda

Ich arbeite mich gerade durch John S. Townsends Buch „A Fundamental Approach to Modern Physics“ (ISBN: 978-1-891389-62-7). Aufgabe 3.12 (S.111) handelt vom 1D unendlichen quadratischen Brunnen. Die Box weist die Potentialbarrieren auf $x=0$ Und $x=L$ .

v (X) = {\begin{cases} \infty & X < 0 \\ 0 & 0 \leq X \leq L \\ \infty & X > L \end{cases}

$V\left(x\right) = \begin{cases} \infty & x < 0 \\ 0 & 0 \leq x \leq L \\ \infty & x > L \end{cases}$

Der Text besagt folgendes:

Ein Massenteilchen $m$ befindet sich im Zustand niedrigster Energie (Grundzustand) des unendlichen potentiellen Energiebrunnens. Zum Zeitpunkt $t=0$ die Wand befindet sich an $x=L$ plötzlich in eine Position zurückgezogen wird $x=2L$ . Diese Änderung erfolgt so schnell, dass sich die Wellenfunktion augenblicklich nicht ändert. ( $a$ ) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung der Energie die Grundzustandsenergie der neuen Quelle liefert.

Die Antwort auf diese Frage beinhaltet das erneute Lösen der TISE, das Anwenden neuer Randbedingungen und das erneute Normalisieren der Wellenfunktion. Dann projizieren wir die neue Wellenfunktion auf die alte und berechnen die Überlappung der beiden Wellenfunktionen (Anfangs- und Endwellenfunktion).

Ich kann keine Diskussion zu diesem speziellen Problem finden, die es mir ermöglichen würde, meinen Weg zur Berechnung einer Überlappung zwischen der anfänglichen und der endgültigen Wellenfunktion zu begründen. Auf keinen Fall. Wenn ich keinen Hintergrund in linearer Algebra habe und in der Lage wäre, die Notwendigkeit vorherzusehen, das eine auf das andere zu projizieren und irgendwie logisch zu der Antwort zu finden, sehe ich keine Möglichkeit, dass ein Student ohne Erfahrung mit Quantenphysik dies tun würde in der Lage, dies selbst zu lösen. Ich musste Google verwenden, bis ich die Lösung für ein ähnliches Problem fand.

Oder vielleicht ist QM einfach nicht selbstverständlich für mich. In dieser Art von Kursen ist viel Problemlösung erforderlich, damit wir eine gewisse "Intuition" darüber entwickeln, was als Ergebnisse zu erwarten ist, was zu tun ist usw. Ich verstehe immer noch nicht ganz die Logik hinter der Lösung des Problems .

Phänomenologisch befindet sich ein Teilchen in der Box. Dann verbreitert sich die Kiste plötzlich auf die doppelte Größe. Die Wellenfunktion ändert sich jedoch nicht. Obwohl das Teilchen eine größere Box hat, in der es sich bewegen kann, berücksichtigt die anfängliche Wellenfunktion diesen zusätzlichen Raum nicht und wäre gleich Null, wenn $x>L$ . Daher würde ich nicht erwarten, dass sich das Teilchen viel in die neue Region hinauswagt, wenn wir nur die anfängliche Wellenfunktion verwenden würden. Oder ist das Problem, dass sich das Teilchen tatsächlich dorthin wagt (seit $V(x)=0$ , und es ist physikalisch erlaubt), aber wir haben dies bei unserer Normalisierung der Funktion nicht berücksichtigt? Es macht also keinen Sinn, irgendeine Eigenschaft des Teilchens mit der "anfänglichen" Wellenfunktion zu berechnen, da dies einfach die falsche Wellenfunktion für den neuen Brunnen ist?

Neue Ideen und Gedanken

Okay, also muss ich das Integral auswerten

C_{1} = \int_{- \infty}^{\infty} ψ_{1} (X) Ψ (X) D X

$c_1 = \int\limits_{- \infty}^{\infty} \psi_1 (x) \Psi (x) dx$

Wo $\psi_1$ ist die theoretische Wellenfunktion für ein Teilchen in der gesamten Box, also von $0$ Zu $2L$ , Und $\Psi$ ist die Wellenfunktion für das eigentliche Teilchen, also von $0$ Zu $L$ .

Jetzt kann ich dieses Integral in zwei Teile aufteilen:

C_{1} = \int_{- \infty}^{\infty} ψ_{1} (X) Ψ (X) D X = \int_{0}^{L} ψ_{1} (X) Ψ (X) D X + \int_{L}^{2 L} ψ_{1} (X) Ψ (X) D X

$c_1 = \int\limits_{- \infty}^{\infty} \psi_1 (x) \Psi (x) dx = \int\limits_{0}^{L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx + \int\limits_{L}^{2L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx$

Wir sehen das, da die Wellenfunktion des eigentlichen Teilchens nicht definiert ist $x>L$ , der zweite Term wird Null sein - das heißt, die Wellenfunktion wird für normiert $0<x<L$ , und die Randbedingungen sorgen dafür $\Psi \rightarrow 0$ Wenn $x=0$ Und $x=L$ . Somit wird das Integral über reduziert

\begin{aligned} C_{1} & = \int_{0}^{L} ψ_{1} (X) Ψ (X) D X \\ = \int_{0}^{L} \sqrt{\frac{1}{L}} Sünde (\frac{π X}{2 L}) \sqrt{\frac{2}{L}} Sünde (\frac{π X}{L}) D X \\ = \frac{\sqrt{2}}{L} \int_{0}^{L} Sünde (\frac{π X}{2 L}) Sünde (\frac{π X}{L}) D X \\ = \frac{4 \sqrt{2}}{3 π} \\ \Rightarrow C_{1}^{2} & = \frac{32}{9 π^{2}} \\ C_{1}^{2} & \approx 0,36 \end{aligned}

$\begin{align*} c_1 &= \int\limits_{0}^{L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx \\ &= \int\limits_{0}^{L} \sqrt{\frac{1}{L}} \sin \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) dx \\ &= \frac{\sqrt{2}}{L} \int\limits_{0}^{L} \sin \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) dx \\ &= \frac{4 \sqrt{2}}{3 \pi} \\ \Rightarrow c_1^2 &= \frac{32}{9 \pi ^2} \\ c_1^2 & \approx 0.36 \end{align*}$

Ich denke, vielleicht liegt meine Schwierigkeit beim "Visualisieren" des Problems darin, dass ich den Ausdruck für nicht vollständig verstehe $c_n^2$ , und wie dies die Wahrscheinlichkeit für die Messung des Energieniveaus ergibt $n$ .

Ich weiß, das sieht so aus, als würde ich abschweifen, und vielleicht bin ich das auch, aber ich hoffe, Sie verstehen meine Verwirrung. Ich freue mich über jede Hilfe!

Antworten (4)

1D Infinite Square Well: Box nimmt plötzlich an Größe zu. Wie behandeln Sie das?

Ruslan · Answer 1

...es keinen Sinn macht, irgendeine Eigenschaft des Teilchens mit der "ursprünglichen" Wellenfunktion zu berechnen, da dies einfach die falsche Wellenfunktion für den neuen Brunnen ist?

Die Wellenfunktion kann nicht "falsch für den Brunnen" sein. Ihre Wellenfunktion ist nur eine Anfangsbedingung für die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung. So würde es sich entwickeln, wenn Sie die zeitabhängige Gleichung lösen (ich ignoriere hier die Normalisierung):

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wir sehen das, da die Wellenfunktion des eigentlichen Teilchens nicht definiert ist $x>L$ ...

Die Wellenfunktion ist für alle definiert $x\in\mathbb R$ . Es ist nur null außerhalb $(0,L)$ weil das Potenzial dort unendlich ist.

der zweite Term ist Null

Dies bleibt jedoch wahr, aufgrund dessen, was ich oben gesagt habe.

auf die Wellenfunktion wird normiert $0<x<L$

Tatsächlich ist die Wellenfunktion wieder normalisiert Periode . Es ist für die gesamte reelle Linie und Null außerhalb des Brunnens definiert. Wenn Sie also mit dem Integral über dem Brunnen normalisiert haben, ist es dasselbe, als ob Sie darüber integriert hätten $\mathbb R$ . Wenn dies nicht so wäre, würde Ihre "Normierung für irgendeinen Bereich" keinen Sinn machen, dh es wäre überhaupt keine Normalisierung.

Ihre weitere Berechnung sieht für mich in Ordnung aus.

Ich denke, vielleicht liegt meine Schwierigkeit beim "Visualisieren" des Problems darin, dass ich den Ausdruck für nicht vollständig verstehe $c^2_n$ , und wie dies die Wahrscheinlichkeit für die Messung des Energieniveaus ergibt $n$ .

Dass dies die Wahrscheinlichkeit für die Messung des Energieniveaus ergibt $n$ ist als Born-Regel bekannt . Sie finden eine Projektion Ihrer tatsächlichen Wellenfunktion auf den Eigenzustand der Energie, nämlich den Ein-Zustand $n$ . Nach der Born-Regel ist seine Größe im Quadrat die Wahrscheinlichkeit, dass das System gemessen wird, um in diesem Eigenzustand zu erscheinen.

Die Tatsache, dass Sie nur die unveränderte ursprüngliche Wellenfunktion für Berechnungen verwendet haben, obwohl sie sich im Laufe der Zeit fast sofort drastisch ändert, ist, dass sich trotz ihrer Form ihre Koeffizienten ändern $c_n$ ändern eigentlich nur ihre Phase wie

C_{N} \propto \exp (- \frac{ich}{ℏ} E_{N} T),

$c_n\propto\exp\left(-\frac i\hbar E_nt\right),$

aber in der Größe gleich bleiben – weil das Potential unabhängig von der Zeit ist. So können Sie nach einiger Zeit die Energie messen und erhalten immer noch das gleiche Ergebnis.

Eric Winkel · Answer 2

Ich würde die Bewegung der Wand vergessen. Das Potential ist der unendliche quadratische Brunnen der Breite $2L$ (Potenzial ist $\infty$ Abgesehen von der Region $0 < x < 2L$ , wo ist es $0$ ) und die Wellenfunktion ist

Ψ (X, T) = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} ψ_{N} (X) \exp (- \frac{ich E_{N} T}{ℏ}),

$\Psi\left(x,t\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right) \exp\left(-\frac{iE_n t}{\hbar}\right),$ Wo

ψ_{n} (x) = \sqrt{1 / L} \sin (n π x / 2 L)

$\psi_n\left(x\right) = \sqrt{1/L} \sin\left(n \pi x / 2L\right)$ ist der

n

$n$ -ten stationären Zustand, und

E_{n} = n^{2} π^{2} ℏ^{2} / (8 m L^{2})

$E_n = n^2 \pi^2 \hbar^2 / \left(8 m L^2\right)$ ist seine Energie.

Um die Koeffizienten zu bestimmen $c_n$ , wir multiplizieren $\Psi\left(x,0\right)$ von $\psi_m^*\left(x\right)$ , integrieren und verwenden Sie die Orthonormalität der stationären Zustände:

\int_{0}^{2 L} D X ψ_{M}^{*} (X) Ψ (X, 0) = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} \int_{0}^{2 L} D X ψ_{M}^{*} (X) ψ_{N} (X) = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} δ_{M N} = C_{M}

$\int_0^{2L} dx \ \psi^*_m\left(x\right) \Psi\left(x,0\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \int_0^{2L} dx \ \psi^*_m\left(x\right) \psi_n\left(x\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n\delta_{mn} = c_m$ Wenn dieser letzte Schritt verwirrend ist, denken Sie daran, dass er der Verwendung der Orthonormalität kartesischer Einheitsvektoren entspricht

{\hat{e}}_{i} ∙ {\hat{e}}_{j} = δ_{i j}

$\hat{\bf e}_i \bullet \hat{\bf e}_j = \delta_{ij}$ um die Komponenten zu bestimmen

V_{i}

$V_i$ eines dreidimensionalen Vektors

V

$\bf V$ indem man das Skalarprodukt mit nimmt

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ :

V ∙ {\hat{e}}_{i} = (\sum_{j} V_{j} {\hat{e}}_{j}) ∙ {\hat{e}}_{i} = \sum_{j} V_{j} δ_{j i} = V_{i}

${\bf V} \bullet \hat{\bf e}_i = \left(\sum_j V_j \hat{\bf e}_j\right) \bullet \hat{\bf e}_i = \sum_j V_j \delta_{ji} = V_i$ .

Wie auch immer, jetzt nutzen wir die Tatsache, dass die anfängliche Wellenfunktion $\Psi\left(x,0\right)$ ist der Grundzustand des unendlichen quadratischen Brunnens der Breite $L$ , welches ist $\sqrt{2/L} \sin\left(\pi x/L\right)$ für $0 < x < L$ Und $0$ ansonsten. Also (beachten Sie die Änderung des Integrationsbereichs),

C_{N} = \frac{\sqrt{2}}{L} \int_{0}^{L} D X Sünde (\frac{N π X}{2 L}) Sünde (\frac{π X}{L}) = \frac{\sqrt{2}}{π} \int_{0}^{π} D u Sünde (\frac{N u}{2}) Sünde (u),

$c_n = \frac{\sqrt{2}}{L} \int_0^{L} dx \ \sin\left(\frac{n \pi x}{ 2L}\right) \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_0^{\pi} du \ \sin\left(\frac{n u}{2}\right) \sin\left(u\right),$ oder

C_{1} = \frac{\sqrt{2}}{π} \int_{0}^{π} D u Sünde (\frac{u}{2}) Sünde (u),

$c_1 = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_0^{\pi} du \ \sin\left(\frac{u}{2}\right) \sin\left(u\right),$ wie Sie.

d_b · Answer 3

Es scheint, als ob das, was Sie vermissen, ein sehr grundlegender Bestandteil der Quantenmechanik ist – die Born-Regel. Wenn wir etwas Beobachtbares messen $A$ , das finden wir $A$ nimmt Werte in den Eigenwerten an $a_i$ des entsprechenden Betreibers $A$ . Die Born-Regel sagt uns das für ein System, das zunächst im Zustand ist $\left|\psi\right>$ , die Wahrscheinlichkeit, das System im Eigenzustand zu finden $\left|a_i\right>$ dem Eigenwert entspricht $a_i$ Ist $\left|\left<a_i|\psi\right>\right|^2$ . In der mathematischen Standardschreibweise ist dies $\left|(a_i,\psi)\right|^2$ , das Skalarprodukt zwischen den beiden Zuständen. In der Ortsbasis sind die Zustände Wellenfunktionen, und wir können ihr inneres Produkt explizit schreiben als $\int\,dx\, \phi_i(x)\psi(x)$ .

Marco Ocram · Answer 4

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine an einem Teilchen durchgeführte Messung die Grundzustandsenergie liefert, ist proportional zur Überlappung zwischen der Anfangswellenfunktion und der Grundzustandseigenfunktion. Sie müssen also nur das Überlappungsintegral zwischen dem Anfangszustand und dem Endzustand berechnen. Ob Sie über den gesamten erweiterten Brunnen integrieren oder nur über seinen ursprünglichen nicht erweiterten Bereich, wird für das Ergebnis keinen Unterschied machen, da die ursprüngliche Wellenfunktion im erweiterten Bereich überall Null ist.

1D Infinite Square Well: Box nimmt plötzlich an Größe zu. Wie behandeln Sie das?

Joda

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Ruslan

Eric Winkel

d_b

Marco Ocram

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