Wo ist der Spin in der Schrödinger-Gleichung eines Elektrons im Wasserstoffatom?

In meinem aktuellen Quantenmechanikkurs haben wir (glaube ich?) die Wellengleichungen für die zeitunabhängigen stationären Zustände des Wasserstoffatoms vollständig hergeleitet.

Uns wird gesagt, dass das Pauli-Ausschlussprinzip eine Folge davon ist, dass zwei Elektronen nicht dieselbe Wellengleichung teilen können.

In unserer abgeleiteten Gleichung hatten wir jedoch nichts einschließlich des Spins. Wir haben definiert ψ ( R , θ , ϕ ) als ψ N , l , M ( R , θ , ϕ ) = R N , l ( R ) Y l , M ( θ , ϕ ) , Wo Y l , M ( θ , ϕ ) = F l , M ( θ ) e ich M ϕ . Wir wurden dann wohldefiniert gegeben R N , l Und F l , M die die partiellen Differentialgleichungen in der Schrödinger-Gleichung erfüllt.

Nirgendwo in unserem Finale ψ finden wir irgendetwas, das je nach einem vierten Freiheitsgrad variiert, ganz zu schweigen von einem, der sich so verhält M S sollen.

Vermisse ich den Punkt des Pauli-Ausschlussprinzips? Gibt es einen Teil der Lösungen für ψ dass ich es nicht verstehe?

EDIT: Ich beziehe mich auf eine H − Ion, wo es zwei Elektronen mit jeweils eigener Wellengleichung gibt. Stellen wir uns den Fall vor, dass beide die gleichen Quantenzahlen n,l,m, aber unterschiedlichen Spin haben M S , wären ihre Wellengleichungen nicht genau gleich und daher nicht zulässig?

Ich denke, dass die Lösungen, die Sie zeigen, nur für "wasserstoffähnliche" Atome gut sind, also solche mit nur einem Elektron . In den Zwei-Elektronen-Fällen gibt es eine Wechselwirkung zwischen den einzelnen Elektronen, und die Lösung muss geschrieben werden ψ ( R 1 , θ 1 , ϕ 1 , R 2 , θ 2 , ϕ 2 ) .
@dmckee Wird in diesem Fall Spin angezeigt?

Antworten (4)

Was Sie aufgeschrieben haben, ist der räumliche Teil der Elektronenwellenfunktion. Der Spin-Zustand ist nicht enthalten. Die volle Wellenfunktion des Elektrons umfasst sowohl den räumlichen Teil als auch den Spinteil. Manchmal wird in Büchern über Quantenmechanik die vollständige Elektronenwellenfunktion als Tensorprodukt der Raum- und Spinorteile geschrieben, manchmal sieht man sie einfach als eine nach der anderen geschrieben. Manchmal sieht man es einfach so geschrieben | N , l , M l , S , M S ⟩ . Ich bin mir nicht sicher, welches Buch Sie verwenden.

Als Sie die Lösungen der TISE für den Hamilton-Operator des Wasserstoffatoms hergeleitet haben, haben Sie wahrscheinlich die relativistischen Korrekturen, Feinstruktur-Wechselwirkungen und Hyperfein-Wechselwirkungen vernachlässigt, sodass Sie nur das Coulomb-Potential übrig haben. Da das Coulomb-Potential nicht vom Elektronenspin abhängt, könnten Sie diesen Teil der Wellenfunktion ignorieren. (Mit anderen Worten, da die Spin-Operatoren alle mit der kommutieren 1 / R Potential, die Spin-Eigenzustände sind alle Eigenzustände der 1 / R Hamiltonian, also ist es koscher, einfach hineinzuwerfen | S , M S ⟩ Sachen danach).

Schrödingers Gleichungen erzählen also im Grunde nicht die ganze Geschichte?
@Justin: Schroedingers Gleichung kann gute Arbeit leisten, aber Sie müssen die spinabhängigen Potentiale sowie das Coulomb-Potential einbeziehen.
Ich wiederhole, was dmckee gesagt hat: Die Schrödinger-Gleichung erzählt zwar die vollständige (nichtrelativistische) Geschichte, aber es liegt am Benutzer, alles in den Hamilton-Operator zu schreiben und sicherzustellen, dass der Zustandsvektorraum alles über das System enthält. In diesem Fall haben Sie den Hamilton-Operator (wie oben erläutert) so angenähert, dass er nur den Coulomb-Term enthält, und Sie haben einen vereinfachten Vektorraum verwendet, der die räumliche Wellenfunktion, aber nicht die Spinor-Wellenfunktion enthält. Das ist OK für den Hamiltonian, den Sie verwendet haben, da er nicht vom Spin abhängt.
Also im Grunde die v ( R ) Term der von uns gelösten Schrödinger-Gleichung nur eine Annäherung war?
Ich weiß nicht, Justin L. Warum schreiben Sie nicht den Hamilton-Operator (oder die Schrödinger-Gleichung) auf, den Sie verwendet haben?

Eine Beschreibung des Elektronenspins und des Pauli-Ausschlussprinzips muss über die Schrödinger-Gleichung hinaus zur spinorwertigen Dirac-Gleichung gehen.

Ich erinnere mich nicht sehr gut an meinen Atomphysikkurs, aber auf der Ebene Ihrer Analyse denke ich, dass Sie die Regel der beiden parallelen Spinorbitale explizit hinzufügen.

Für eine Diskussion zu diesem Thema ist die Wikipedia-Seite hilfreich.

Sie haben wahrscheinlich die nicht-relativistische Schroendinger-Gleichung gelöst, die nur drei Quantenzahlen ergibt, dh n, l, ml. Die Eigenschaft des Spins ergibt sich aus den relativistischen Effekten. Die Gleichung wurde von Dirac ausgearbeitet.

Damit das Pauli-Prinzip explizit gesehen/implementiert wird, muss man mindestens zwei Elektronen haben. Bei H ist das nicht der Fall.

Ich beziehe mich auf eine H − Ion, wo es zwei Elektronen mit jeweils eigener Wellengleichung gibt. Stellen wir uns den Fall vor, dass beide die gleichen Quantenzahlen n,l,m, aber unterschiedlichen Spin haben M S , wären ihre Wellengleichungen nicht genau gleich?
Nein, wir haben eine Gleichung für eine Wellenfunktion, die von zwei Argumenten abhängt ψ ( X 1 , X 2 ) . Die Gesamtwellenfunktion (einschließlich Spinvariablen) muss dann auf diesen Argumenten antisymmetrisch sein.
Wo ist der Spin in der Schrödinger-Gleichung eines Elektrons im Wasserstoffatom?
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