Wie finde ich die durchschnittliche kinetische Energie und die durchschnittliche potentielle Energie eines Wasserstoffelektrons im Grundzustand?

Wie finde ich die durchschnittliche kinetische Energie und die durchschnittliche potentielle Energie eines Wasserstoffelektrons im Grundzustand?

In meinem modernen Physikunterricht schließen wir die 3D-Schrödinger-Gleichung ab, und ich bin mehr als ein bisschen verloren. Vor ein paar Kapiteln haben wir etwas über Operatoren gelernt, und ich habe eine Gleichung für diese beiden Dinge in 1D . Es sieht aus wie

⟨ K ⟩ = ∫ ψ K ψ D X ,
Wo
K = − H 2 2 M ∂ 2 ∂ X 2 .

So,

  • Wie mache ich das für 3D, und ist das überhaupt das, was ich hier machen möchte?
Ja, Sie müssen dieses Integral machen, aber der Ke-Operator in 3D beinhaltet ∇ 2 statt nur eine x-Ableitung
Du bist auf dem richtigen Weg. Warum starten Sie nicht einfach in die Berechnung und bauen Ihre Operatoren aus ihren klassischen Analoga auf? Manchmal ist es hilfreich, während des Lernprozesses ein paar Mal zu schlagen und zu scheitern.
@Ashley Ich denke, das muss ein sein ℏ in der Definition von K es sei denn, Sie arbeiten mit komischen Einheiten. Du kannst ändern H Zu ℏ indem Sie anstelle \hbarvon eingeben h.
Neben ⟨ K ⟩ = ∫ ψ K ψ D X gewesen sein sollte ⟨ K ⟩ = ∫ ψ ∗ K ψ D X Sie können dies auch ändern, indem Sie \int \psi K \psizu ändern\int \psi^* K \psi

Antworten (3)

Eine Methode ist die Anwendung/Beweis des Virialsatzes : für ein Potential der Form v ( R ) ∝ R P (für das Wasserstoffatom P = − 1 ),

⟨ T ⟩ N = P 2 ⟨ v ⟩ N
für die N -ten Energieeigenzustand.

Verwenden Sie dies zusammen mit

E N = ⟨ E ⟩ N = ⟨ T ⟩ N + ⟨ v ⟩ N
Und
E N = E 1 N 2 ,           E 1 = − 1 2 a 2 M e C 2 = − 13.6   e v .

Ich möchte Ihnen die Schönheit von 3D QM nicht verderben, besonders wenn Sie es selbst erkunden möchten. Ich dachte jedoch, ich würde Ihnen einige Ratschläge geben, wie Sie den Übergang von 1D zu 3D angehen können.

Denken Sie bei 1D-QM zunächst einmal darüber nach, was es bedeutet, auf der x-Achse zu stehen. Wer entscheidet, welche Achse die x-Achse und welche Achse die y- oder z-Achse ist? Das bedeutet, dass zwischen diesen Achsen eine Symmetrie bestehen muss, dh. der Betreiber K kann kein Operator sein wie K = X ^ + j ^ 2 wenn es eine solche Symmetrie zwischen den Achsen gibt. Außerdem der 3D-Operator K muss auf den 1D-Operator reduziert werden, den Sie oben angegeben haben, wenn Sie den 3D-Operator als 1D betrachten. Beachten Sie auch, dass Ihre Gleichung dimensional konsistent sein muss.

Der Erwartungswert dieses Operators ist ebenfalls sehr einfach. Sie müssen nur etwas im Integral anpassen und das ist alles.

Wenn Sie eine detailliertere Erklärung wünschen, geben Sie dies in den Kommentaren an und ich werde meine Antwort bearbeiten oder Ihre Frage im Kommentarbereich entsprechend beantworten.

Sie können auch verwenden, dass die Verschiebung des Energieeigenwerts aufgrund einer Störung erster Ordnung der Erwartungswert der Störung im ungestörten Zustand ist. Wenn Sie den Term der kinetischen Energie mit multiplizieren λ und der potentielle Energieausdruck durch μ , haben Sie im Wesentlichen den gleichen Hamiltonoperator, sodass Sie die Grundzustandsenergie ohne großen Aufwand aufschreiben können. Die Derivate wrt λ Und μ gibt Ihnen dann die beiden gewünschten Erwartungswerte.

Wie finde ich die durchschnittliche kinetische Energie und die durchschnittliche potentielle Energie eines Wasserstoffelektrons im Grundzustand?
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