Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren

In unserem heutigen Vortrag haben wir zwei Arten von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren vorgestellt.

Ich möchte mich auf den antisymmetrischen Fall beschränken:

Der erste Betreiber A k † schafft einen Staat | k ⟩ und die Aktion ist gegeben durch

A k † | 1 , . . . , N ⟩ = N + 1 | k , 1 , . . . , N ⟩ , Wo | 1 , . . . , N ⟩ waren antisymmetrisierte Zustände(!) (Schieferdeterminanten).

Jetzt, ein paar Minuten später, wechselte unser Dozent zum Begriff der Berufszahlen und führte für ein N J ist die Besetzung des Staates k

A k † | N 1 , . . , N k , . , . . ⟩ = ( − 1 ) N β N β + 1 | N 1 , . . . , N k + 1 , . . ⟩ , Wo | N 1 , . . , N k , . , . . ⟩ soll ein Element des Fock-Raums sein und N k := ∑ ich = 1 k − 1 N ich .

Jetzt ist mein Problem damit, dass beide Operatoren anscheinend einen neuen Zustand k erzeugen, aber ich verstehe nicht, warum sie sich so unterschiedlich verhalten (der erste bringt mir a N + 1 , während der zweite etwas ganz anderes macht, obwohl beide nur einen neuen Zustand erzeugen k .

Ich meine, ich finde beide irgendwie plausibel, aber irgendwie scheinen sie sich zu widersprechen.

Wenn etwas unklar ist, lassen Sie es mich bitte wissen.

Antworten (1)

Ich denke, Sie haben Ihren Dozenten entweder falsch verstanden oder er hat eine sehr schlechte und ungewöhnliche Schreibweise verwendet. Ich würde den Ausdruck beanspruchen A k † | 1 , . . . , N ⟩ = N + 1 | k , 1 , . . . , N ⟩ ist einfach falsch, wenn man es in den üblichen Schreibweisen versteht.

Es ist unklar, was der Staat | 1 , . . . , N ⟩ bezeichnet. Jetzt ist meine beste Vermutung, dass es sich um die Notation „erste Quantisierung“ handelt und dass die Modi 1 , 2 , … , N sind alle von einem Fermion besetzt (da Sie antisymmetrisch erwähnen). Aber wenn es fermionisch ist, wäre es nur physikalisch erlaubt, wenn Sie es zusätzlich antisymmetrisieren. S − | 1 , . . . , N ⟩ . Dies ist umständlich und implizit, wenn es in der Besetzungszahldarstellung in zweiter Quantisierung geschrieben wird, was der Hauptgrund ist, warum diese Notation nützlich ist.

Ein weiteres Problem ist die Aktion des Erstellungsoperators A k † auf deinen Zustand. Ist es fermionisch, so ist der Ausdruck im Allgemeinen auch nicht wahr, da der Zustand vernichtet wird, wenn ein Teilchen diesen Modus bereits einnimmt, dh wenn l ≤ N . Außerdem der Faktor N + 1 (Wo N riecht jetzt nach Besetzungszahl und nicht nach Modusindex) kann bei Fermionen weggelassen werden, da es immer entweder 0 oder 1 ist. Das Vorzeichen muss auch bei Fermionen (wie Sie im zweiten Absatz richtig schreiben) beim Schreiben beachtet werden einen solchen Ausdruck mit einem Leiteroperator.

Ich hoffe für Sie alle und Ihre Kommilitonen, dass dies nur eine Anhäufung vieler Tippfehler ist, da sonst jemand, der sich das ausgedacht hat, einige grundlegende Prinzipien nicht verstanden hat.

Zum zweiten Absatz: Das ist etwas besser, aber der richtige Ausdruck wäre

A k † | N 1 , . . , N k , . , . . ⟩ = ( − 1 ) N k ( 1 − N k ) | N 1 , . . . , N k + 1 , . . ⟩
für Fermionen. Auf diese Weise der Vorfaktor ( 1 − N k ) kümmert sich um die Vernichtung des Staates, wenn N k = 1 bevor Sie darauf einwirken.

Sie sagten, dass dies nur definiert ist, wenn wir zusätzlich antisymmetrisieren, aber wie ich in meiner Frage zu sagen versucht habe: Diese Zustände sind tatsächlich antisymmetrisierte Zustände. Macht die erste Gleichung für Sie jetzt mehr Sinn?
Der Zustand kann definiert werden, aber kein gültiger fermionischer Zustand ohne Antisymmetrisierung. Leider macht es für mich immer noch keinen Sinn, da ich den Zustand nicht kenne | 1 , . . . , N ⟩ soll bezeichnen.
Üblicherweise beginnt man für einen Vielteilchenzustand in der ersten Quantisierung mit einer Menge von M Einzelteilchenorbitale | 1 ⟩ , … , | M ⟩ (von denen jeder ein gültiger Einzelteilchenzustand ist). Eine Staatengrundlage für N Teilchen ist dann gegeben durch | ich 1 ⟩ , … , | ich N ⟩ , wo jeder ich N ist ein Zustandsindex für die N -tes Teilchen. Danach können Sie für Fermionen antisymmetrisieren.
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