Wie bewertet man Spinoperatoren in der zweiten Quantisierung für Slater-Determinanten mit gebrochener Spinsymmetrie?

Angenommen, wir haben die folgende Slater-Determinante:

| Ψ ⟩ = ∏ ich , ich ' A ich a + A ich ' β + | ⟩
Wo A ich a + erzeugt ein Elektron im Zustand ich mit Spin a und allgemein, ich ≠ ich ' . Ich möchte evaluieren ⟨ Ψ | S 2 | Ψ ⟩ unter Verwendung einer zweiten Quantisierung. Wir können das ausdrücken S 2 Betreiber als
S 2 = S − S + + S z ( S z + 1 )
mit
S − = ∑ P A P β + A P a S + = ∑ P A P a + A P β .
Seit | Ψ ⟩ ist eine Eigenfunktion von S z , auswerten ⟨ Ψ | S z | Ψ ⟩ Begriffe werden trivial und das Problem reduziert sich auf die Bewertung von ⟨ Ψ | S − S + | Ψ ⟩ . Bei der standardmäßigen eingeschränkten Hartree-Fock-Methode ich = ich ' und das ist leicht zu zeigen ⟨ Ψ | S − S + | Ψ ⟩ = 0 unter Verwendung der kanonischen Antikommutierungsbeziehungen. Wenn ich ≠ ich ' (unbeschränkt Hartree-Fock) das müssen wir haben ⟨ Ψ | S − S + | Ψ ⟩ = N β − Tr ( P Q ) (dies habe ich in Büchern überprüft) wo N β ist die Zahl von β Elektronen u P ich J = ⟨ Ψ | A J a + A ich a | Ψ ⟩ Und Q ich J = ⟨ Ψ | A J β + A ich β | Ψ ⟩ .

Meine Frage ist dann speziell, wie erhalten wir ⟨ Ψ | S − S + | Ψ ⟩ = N β − Tr ( P Q ) unter Verwendung der Antikommutierungsbeziehungen der zweiten Quantisierung? Wenn ich versuche, diese Antikommutierungsrelationen so zu verwenden, wie sie in Lehrbüchern stehen, bekomme ich nicht die richtige Antwort. Es ist klar, dass ich etwas falsch mache oder wenn eine besondere Überlegung berücksichtigt werden muss ich ≠ ich ' . Wenn mir jemand zeigen kann, wie man die zweite Quantisierung richtig verwendet, um hier die richtige Antwort zu erhalten, würde ich es sehr schätzen.

Antworten (1)

Ich habe nicht genug Ruf, um dies als Kommentar zu posten, was es sein sollte.

Sollte das Produkt nicht in Ihrer Definition von | Ψ ⟩ geh hinüber ich , ich ' ? Ist es beschränkt auf ich > ich ' ? Gibt es da eine Einschränkung a ≠ β ?

Können Sie Details zu der Lösung nennen, die Sie bisher ausprobiert haben?

BEARBEITEN

Wie Sie in Ihrem Kommentar sagen,

S − S + = A P β † A P a A Q a † A Q β .

Antipendeln die A P β † durch A P a A Q a † .

S − S + = A P a A Q a † A P β † A Q β .

Jetzt Antipendeln A Q a † durch A P a , aber vergessen Sie nicht die Möglichkeit, dass P = Q .

S − S + = ( δ Q P − A Q a † A P a ) A P β † A Q β ,
und du hast,
S − S + = A P β † A P β − A Q a † A P a A P β † A Q β .

Und du bist fertig.

Ja, die Summe ist vorbei ich , ich ' (Ich habe bearbeitet, um das widerzuspiegeln). Wir wollen die β Staaten anders sein als die a Staaten verursachen sonst die Ψ wäre eine Eigenfunktion von S 2 . Wir können haben N a ≠ N β aber wenn mir jemand zeigen kann, wie man das für den fall ausarbeitet N a = N β das ist gut. Was ich versucht habe, ist nur die Bewertung der Begriffe (Summierung über Indizes impliziert) S − S + = A P β + A P a A Q a + A Q β = P P Q Q P Q was nur das Tr( P Q ) Teil, also muss ich etwas falsch machen.
Entschuldigung, ich habe den letzten Teil meines letzten Kommentars durcheinander gebracht und kann ihn nicht erneut bearbeiten. Wenn ich den Antikommutator verwende { A P a + , A Q a } = P Q P Ich bekomme A P β + A P a A Q a + A Q β = 0 .
+1. Nützliche Antwort. Eine Frage bleibt für mich: Warum können wir in Ihrer dritten Gleichung oben schreiben? δ Q P statt P Q P ? Ich weiß, dass es eine Grundlage gibt, in der P Q P = δ Q P aber dann, wenn Sie diese Grundlage zur Bewertung verwenden A Q a + A P a A P β + A Q β , würden wir nicht einfach bekommen δ Q P ? Ich glaube, der Grund hier ist, dass Alpha- und Beta-Zustände unterschiedlich sind, also können wir sie nicht gleichzeitig diagonalisieren, ich habe Recht oder ist es aus einem anderen Grund?
Die dritte Zeile verwendet nur die Definition des Antikommutators, { A P a , A Q a † } = δ Q P . Dadurch können wir ersetzen A P a A Q a † von δ P Q − A Q a † A P a .
Wie bewertet man Spinoperatoren in der zweiten Quantisierung für Slater-Determinanten mit gebrochener Spinsymmetrie?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v