Stellt T(x)T(x)T(x) eine ccc-Zahl oder einen Operator in der zweiten Quantisierung dar?

Es gibt zwei verschiedene Arten von Operatoren, die Sie im Auge behalten müssen. Eine Art von Operatoren betrifft diejenigen, die auf den Hilbert-Raum des Quantenfelds wirken (normalerweise als Fock-Raum bezeichnet). Die andere Art sind die Operatoren, die auf komplexe Funktionen einwirken, wie die Differenzierung, Multiplikation und der Laplace-Operator.

Gemeint ist dort das$T(x)$ist kein Operator, der im Hilbertraum des Quantenfeldes wirkt. Es ist ein Operator, der auf komplexe Funktionen einwirkt (und erweitert wird, um formal auf Quantenfelder einzuwirken). In der Berechnung, die Sie zeigen, müssen Sie nicht behandeln$T(x)$als Zahl müssen Sie nur davon ausgehen, dass es sich um einen Differentialoperator in den Funktionen handelt. Im Folgenden bezeichne ich die Anwendung von$T(z)$In$\psi(z)$(als Differentialoperator) durch$T(z)[\psi(z)]$. Achten Sie besonders darauf$T(z)$unterscheidet nur Operatoren, die von der Variablen abhängen$z$(beeinflusst nicht$\psi(x)$, zum Beispiel). Die Berechnung lautet dann

$$[\hat{\psi}(x),\hat{H}] = [\hat{\psi}(x), \int d^3 z \hat{\psi}^\dagger(z) T(z) \hat{\psi}(z)] \\ = \int d^3 z\left([\hat{\psi}(x), \hat{\psi}^\dagger(z) ] T(z) \hat{\psi}(z) + \hat{\psi}^\dagger(z)[\hat{\psi}(x), T(z)]\hat{\psi}(z) + \hat{\psi}^\dagger(z) T(z)[\hat{\psi}(x), \hat{\psi}(z)]\right)\\ = \int d^3 z\left(\delta(x-z) T(z) \hat{\psi}(z) + \hat{\psi}^\dagger(z)\hat{\psi}(x)T(z)[\hat{\psi}(z)]- \hat{\psi}^\dagger(z)T(z)[\hat{\psi}(x)\hat{\psi}(z)] + \hat{\psi}^\dagger(z) T(z)[\hat{\psi}(x) \hat{\psi}(z)]-\hat{\psi}^\dagger(z)\hat{\psi}(x) T(z)[\hat{\psi}(z)]\right).$$

Nun liefert der erste Term das gewünschte Ergebnis von$T(x)\hat{\psi}(x)$, aber in den anderen Termen haben Sie einen Differentialoperator, der in Bezug auf differenziert$z$, so dass die Funktionen von$x$sind nicht betroffen. Das ist,$T(z)[\hat{\psi}(x) \hat{\psi}(z)]=\hat{\psi}(x) T(z)[\hat{\psi}(z)]$. Damit heben sich die Restlaufzeiten auf.