Gibt es einen natürlichen Operator, der kanonisch zum Hamiltonoperator konjugiert ist?

Bekanntlich besagt die Heisenbergsche Unschärferelation, dass Ort und Impuls eine Unschärferelation erfüllen, die aus der kanonischen Kommutierungsrelation folgt

[ X ^ ich , P ^ J ] = ich ℏ δ ich J .
Es gibt auch die bekannte Energie-Zeit-Unschärferelation mit der kanonischen Kommutierungsrelation
[ H ^ , T ^ ] = ich ℏ .
Dies ist jedoch nicht so gut definiert, da der Zeitoperator kein Operator auf dem Hilbert-Raum ist, obwohl dies formal aus der Schrödinger-Gleichung folgt. Es ist bekannt, dass das Energie-Zeit-Unbestimmtheitsprinzip nicht so einfach ist wie das Orts-Impuls-Prinzip, aber gibt es einen natürlichen Operator, der kanonische Kommutierungsbeziehungen mit dem Hamilton-Operator erfüllt? Ich interessiere mich besonders für zweite quantisierte Hamiltonoperatoren, bei denen der Hamiltonoperator in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren geschrieben wird.

Aus Wikipedia heißt es, dass kanonisch konjugierte Variablen Fourier-Transformationen voneinander sind. Was würde das in diesem Zusammenhang bedeuten? Lässt sich das auf den Hamiltonian verallgemeinern? Gibt es einen Operator, der die "Fourier-Transformation" des Hamilton-Operators ist?

Antworten (2)

Eines der wahren Missverständnisse, auf die Menschen, die QM lernen – vielleicht jenseits eines einführenden Lehrbuchs – stoßen, ist, dass „ nach dem Satz von Pauli es keine Möglichkeit gibt, einen selbstadjungierten Operator zu konjugieren, der mit dem Hamilton-Operator auf die gleiche Weise konjugiert ist wie der Impulsoperator der Koordinatenoperator ". Grob gesagt „gibt es im QM keinen Zeitoperator“. Man kann diese Behauptung sogar unterstützen, indem man Paulis ursprüngliches Argument zitiert (S. 7 von hier: https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0609163.pdf – aber der Leser sei gewarnt, dieser Artikel enthält einige offensichtliche Fehler , wie die Quadratwurzel der Delta-Verteilung auf Seite 3!

Es überrascht daher nicht, dass das ursprüngliche Pauli-Argument, das so leicht in vielen Themen zu PhysSE vorgebracht wurde, nicht in der Sprache der Hilbert-Raumfunktionalanalyse geschrieben wurde. Diese wurde gerade von Marshall Harvey Stone in den USA und Johann von Neumann in Deutschland erfunden. [Als Randbemerkung kann ich nicht spekulieren, ob (der ansonsten großartige Physiker) Pauli die Funktionalanalysis von Neumann schließlich bis zu seinem Tod 1958 fließend beherrschte]. Tatsächlich war das Thema eines Zeitoperators in der Quantenphysik (daher Paulis Analyse) bis zum Aufkommen der operatorbasierten Stringtheorie und ihrer endlosen Möglichkeiten kein beliebtes (oder schien vergessen zu sein).

Die einzige mathematische Überprüfung des Satzes von Pauli und seiner Mängel, die ich empfehle, ist die von Eric Galapon hier: https://arxiv.org/abs/quant-ph/9908033 und einige weitere Kommentare hier: https://arxiv.org/abs /quant-ph/0303106 . Galapon zeigt, dass es unter besonderen Bedingungen einen Operator gibt, der kanonisch mit einem akzeptablen selbstadjungierten Hamiltonoperator (dem Operator der Ankunftszeit) konjugiert ist. Die Gesamtantwort auf die Frage im Titel lautet daher " Ja ". Dieses Ergebnis zu vernachlässigen und dennoch Paulis Argumentation und Schlussfolgerung voranzutreiben, ist falsch. Am Ende des Tages waren/sind also alle QM-Lehrbücher, die Paulis Argument ignorieren, richtig und verbreiten diesen oben genannten Irrglauben nicht.

Aber die sind für bestimmte Hamiltonianer, richtig? Paulis Argument gilt für begrenzte Hamiltonianer?
Es ist nicht erforderlich, dass ein Hamiltonoperator als Operator in QM/QFT beschränkt wird, sondern nur, dass sein Spektrum von unten beschränkt wird.

Wahrscheinlich nicht wegen des Satzes von Pauli. Ich sage nur "wahrscheinlich", weil ich nicht weiß, wie sich die Aufteilung der Rolle von Hamiltonian und Energie (der erstere definiert den Zeitübersetzungsoperator, letzterer der Operator mit einer unteren Grenze, der den Grundzustand definiert) auf Paulis Theorem auswirken würde.

Danke, das ist ein interessanter Punkt. Ich kannte den Satz von Pauli nicht. Ich werde dazu einige Nachforschungen anstellen. Wenn wir uns in einem Vielteilchensystem befinden, in dem die Energieeigenwerte halbkontinuierlich sind, könnte es einen Operator geben, der dem, was ich suche, "nahe" kommt?
@TeddyBaker Das Problem ist nicht die Kontinuität des Spektrums des Hamilton-Operators, das Problem ist die Untergrenze seines Spektrums.
Ok, ich habe es richtig markiert, auch wenn ich vielleicht etwas enttäuscht bin :)
Eigentlich frage ich mich auch, warum der Zeitoperator unbedingt selbstadjungiert sein muss. Das ist eine Annahme des Satzes, aber was wäre, wenn er gelockert wäre?
Ich vermute, dass die Eigenwerte real sein müssen, damit der Operator die Zeit verfolgen kann. Obwohl die imaginäre Zeit für thermodynamische Berechnungen interessant ist.
@TeddyBaker Die hermitische Anforderung wird auferlegt, da in QM eine Anforderung besteht, dass alle beobachtbaren hermitischen Operatoren entsprechen (obwohl nicht alle hermitischen Operatoren beobachtbar sind - bedenken Sie M ω X + P in einem einfachen harmonischen Oszillator zum Beispiel). Da die Zeit definitiv eine beobachtbare Größe ist, haben wir das Rätsel. Ich frage mich gerade, ob das Problem verschwindet, wenn die Zeit auch von unten begrenzt wird (wie in einigen Bildern des Urknalls).
@TeddyBaker Der Unterschied zwischen Hermitian und Anti-Hermitian ist ein Faktor von ich , also wäre es eine triviale Änderung der Kommutierungsbeziehung, von der ich ziemlich sicher bin, dass sie die Ergebnisse des Theorems nicht ändern würde.
Gibt es einen natürlichen Operator, der kanonisch zum Hamiltonoperator konjugiert ist?
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