Sind die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zeitabhängig?

Im Schrödinger-Bild sind die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wie jeder andere Operator zeitunabhängig, solange Sie keine zeitvariablen externen Felder haben. Im Heisenberg-Bild sollten sie wie jeder andere Operator zeitabhängig sein.

Dies ist physikalisch intuitiv. Der Erstellungsoperator zur Zeit$t$Ist

$$a^\dagger(t) = e^{- i H t} a^\dagger(0) e^{i H t}$$ was bedeutet, dass es jeweils ein Teilchen erzeugt $t$in der Vergangenheit, anstatt ein Partikel jetzt. In einem harmonischen Oszillator entwickeln sich die Zustände beispielsweise nur durch Phasen, sodass das Erhöhen zu einem früheren Zeitpunkt nur das Ergebnis ändert, das Sie durch eine Phase erhalten. deshalb $a^\dagger(t)$ist halt mal ne phase $a^\dagger(0)$Dort. In einer Wechselwirkungsfeldtheorie, bei der das von Ihnen erzeugte Teilchen zerfallen oder mit anderen Teilchen interagieren kann, $a^\dagger(t)$wäre zu diesem Zeitpunkt eine sehr komplizierte Kombination aus Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren $t = 0$. So dramatische Zeitabhängigkeit der $a^\dagger(t)$ist physikalisch nicht überraschend; es bedeutet, dass Dinge passieren können.

Es gibt noch einen verwirrenden Punkt: In der freien relativistischen Quantenfeldtheorie entwickeln sich die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Impulsraum einfach über Phasen. Es ist üblich, diese Phasen in der Definition des Quantenfeldes herauszuziehen,

$$\phi(x) = \int \frac{d\mathbf{p}}{(2\pi)^3 \sqrt{2 E_p}} (a_{\mathbf{p}} e^{-ipx} + a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{ipx})$$ so dass wir Faktoren von erhalten $e^{\pm ipx}$, Wo $px = p^\mu x_\mu$ist offensichtlich Lorentz-invariant, und die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind hier einfach konstant. Dies gilt auch für eine Wechselwirkungstheorie, weil wir typischerweise im Wechselwirkungsbild arbeiten, wenn sich alle Operatoren so verhalten, wie sie es in der freien Theorie tun. Ich glaube jedoch nicht, dass die meisten Bücher über nichtrelativistische Feldtheorie (dh kondensierte Materie) dies tun, also pass auf!

Erstens hängen Vernichter- und Erzeugungsoperatoren sogar für den einfachen harmonischen Oszillator vom Positionsoperator ab, so dass die Koordinatenabhängigkeit keine Überraschung sein sollte. Die zweite Quantisierung wird auf ein Quantenfeld angewendet. Die Feldkonfiguration in der Raumzeit ist der Freiheitsgrad im klassischen System und dieser wird in einen Operator umgewandelt. Dieser Operator muss mindestens auf Erwartungswertebene die zeitliche und räumliche Abhängigkeit der Feldkonfiguration vermitteln. Mit anderen Worten, der Erwartungswert des Feldes in einem gegebenen Zustand gibt Auskunft über die Wahrscheinlichkeit, eine gegebene Konfiguration zu beobachten.

Ich verstehe nicht, warum der Vergleich zweier völlig unterschiedlicher Hamiltonoperatoren, einer anscheinend für das freie Feld und der andere für ein wechselwirkendes Feld (oder Feld in Gegenwart einer äußeren Kraft), einen scheinbaren Widerspruch hervorrufen würde. Die Wechselwirkung bewirkt, dass das von den Operatoren beschriebene System Energie gewinnt/verliert und den Zustand ändert. Vermutlich, wenn die Wechselwirkung auf ein anderes Feld mit einem entsprechenden Satz von Operatoren zurückzuführen ist, dann wird im größeren System etwas konserviert, Energie, topologische Ladung usw. Alles, was passiert, ist also, dass sich der Gesamtzustand so ändert, dass sich das ändert Bewahren Sie die Erhaltungssätze wie bei einer klassischen Kollision mit harten Körpern.

Was die Darstellung betrifft, so sieht es so aus, als ob Sie sich in einer Impuls- oder Besetzungszahldarstellung befinden und die 4-Koordinatenabhängigkeit im k-Raum nicht offensichtlich ist. Dies ist ein gewisser Vorteil bei der Beschreibung der Felddynamik, anstatt zu versuchen, ein Bild zu zeichnen, das den gesamten Raum und die gesamte Zeit ausfüllt, zeichnen wir nur die k-Raum-Darstellung desselben Zustands, was für freie Felder in einem kohärenten Zustand viel einfacher ist . Es gibt eine Feldversion von x und p. Da der p-Operator die Ableitung in Bezug auf x ist, wäre der Feld-p-Operator in der Konfigurationsdarstellung eine Art Ableitung in Bezug auf die Feldkonfigurationen (wahrscheinlich eine Variationsableitung). Dieser Operator erstreckt sich über alle Koordinatenwerte.

Bei zeitabhängigen Operatoren ist die Gesamtzeitableitung des Operators gleich dem Kommutator dieses Operators mit dem Hamilton-Operator (der aus den Giftklammern der klassischen Mechanik stammt) plus der partiellen Ableitung des Operators in Bezug auf die Zeit. Die Teilmessungen "explizit" Zeitabhängigkeit. Die Gesamtzeitableitung des Systems kann aufgrund der impliziten Zeitabhängigkeit auch ohne explizite Zeitabhängigkeit ungleich Null sein.