Das Matrixelement eines normal geordneten Operators

Gleichung (1.137) in Negele und Orland gibt die folgende Identität für einen normal geordneten Operator$A(a_i^\dagger,a_i)$:

$$\langle \phi|A(a_i^\dagger,a_i)|\phi'\rangle=A(\phi_i^*,\phi'_i)e^{\sum \phi_i^*\phi'_i}$$

Für die kohärenten (Bosonen-)Zustände$|\phi\rangle=e^{\sum\phi_ia^\dagger_i}|0\rangle$. Wenn ich versuche, dies zu beweisen, bekomme ich einen Faktor von 1/2 im Exponenten. Ich nehme ein einfaches Beispiel$A=a_i^\dagger a_i$zu versuchen und meinen Fehler zu finden. Zuerst definiere ich$\eta'=\sum \phi'_ia_i^\dagger$, und verwenden Sie die Identität

$$a_i\eta'^n=n\phi'_i\eta'^{n-1}+\eta'^n a_i.$$

Dann kann ich zeigen

$$a_i|\phi'\rangle=(e^{\eta'}a_i+\phi'_ie^{\eta'})|0\rangle$$

Ein Begriff davon tötet das Vakuum, wie ich gezeigt habe

$$\langle \phi |a^\dagger_i a_i|\phi'\rangle=\langle 0| \phi^*_i\phi'_ie^{\eta^*}e^{\eta'}|0\rangle$$

Dann möchte ich die Baker-Campbell-Hausdorf-Formel verwenden. Der Kommutator

$$\begin{equation} [\eta^*,\eta']=[\sum\phi^*_ia_i,\sum\phi_ja^\dagger_j]=\sum[\phi^*_ia_i,\phi_i'a_i^\dagger]+\sum_{i\neq j}[\phi^*_ia_i,\phi_ja^\dagger_j]=\sum\phi_i^*\phi'_i,\qquad (1) \end{equation}$$ und wenn Sie alles durch das zweite Semester pendeln und das Vakuum töten. Da dies ein Skalar ist, ergibt die BCH-Formel

$$\ln(e^{\eta^*}e^{\eta'})=\eta^*+\eta'+\frac{1}{2}\sum\phi_i^*\phi_i'$$

Ordnen Sie die Summe neu, potenzieren Sie, töten Sie etwas mehr Vakuum und ich bekomme den richtigen Ausdruck, aber mit einem Faktor von 1/2!

Was mache ich falsch? Meine erste Vermutung ist in Gleichung (1), vielleicht gibt es eine Doppelzählung, die ich nicht sehe, aber Sie können Dinge schreiben wie

$$[\sum,\sum]=[1,\sum]+[2,\sum]+...=[1,1]+[1,\sum_{\neq 1}]+[2,2]+[2,\sum_{\neq 2}]+...$$ $$=\sum[i,i]+\sum_{i\neq j}[i,j].$$