Die Holstein-Primakoff-Darstellung (Näherung)

Ich habe eine Frage zur Holstein-Primakoff-Vertretung .

In der HP-Darstellung definieren wir die Spinoperatoren in Form von bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.

S J + = 2 S − N J A J S J − = A J † 2 S − N J S J z = S − N J

Wo A J Und N J sind Operatoren. Wenn wir die Magnon-Dispersionsbeziehung ableiten, gehen wir davon aus, dass

⟨ N J ⟩ ⟨ S z ⟩ ≪ 1

was in Ordnung ist. Soweit ich verstehe, bedeutet dies nur, dass wir davon ausgehen, dass die meisten Spins in die z-Richtung zeigen. Wenn wir jedoch bei der Herleitung weiter gehen, führen wir eine Reihenentwicklung ein N J / S , so dass dh

S J + = 2 S 1 − N J 2 S + . . . ≈ 2 S 1 − N J 2 S

Hier verstehe ich das nicht. Sagen Sie, dass wir in einer Drehung sind 1 / 2 -System. In diesem Fall können wir für einen Ort höchstens 1 Magnonenanregung haben und S = ± 1 / 2 , also für jeden einzelnen Standort N J / 2 S ist nicht viel kleiner als eins.

Meine Frage ist dann, wie können wir begründen, dass die Serienerweiterung bei den Betreibern an jedem einzelnen Standort sinnvoll ist? Werden die Beiträge der einzelnen Seiten zusammengerechnet keinen Beitrag leisten, weil

⟨ N J ⟩ ⟨ S z ⟩ ≪ 1

oder habe ich was falsch verstanden?

Alle mögliche Gedanken würden viel geschätzt.

Antworten (2)

Die Annahme ist, dass der Spin S ist ein großer Parameter. Eine Vermutung, die offenbar nicht gilt S = 1 / 2 . Die Erweiterung ist drin 1 / S , die als nahe Null angenommen wird.

S J + = 2 S − N J A J † = 2 S 1 − N J 2 S A J † ≈ 2 S ⋅ ( 1 − N J 4 S ) A J †
Der zweite Begriff, der Ordnung ist S − 1 / 2 , wird vernachlässigt.

Vorausgesetzt S groß zu sein, kommt einer semiklassischen Annäherung gleich. In dieser Grenze wird die relative Unsicherheit der Spinoperatoren verschwindend klein. (Verwenden Sie die Spinalgebra, um dies zu sehen.)

Δ S ich Δ S J S 2 ⟶ 0
Die Arbeitshypothese ist, dass niederenergetische Anregungen als kleine Abweichungen um den vollständig ausgerichteten Grundzustand realisiert werden. Für kleine Schleudern, z S = 1 / 2 Es gibt keine Möglichkeit, nur geringfügig von sagen wir mal abzuweichen S ich z = + 1 / 2 Womit wir wieder bei Ihrem Einwand/Bemerkung wären, dass die Erweiterung im „Small-Spin“-Limit nicht gültig ist.

Vielen Dank für die Antwort. Es scheint also, dass ich nicht wirklich verstanden habe, was S ist. Wenn wir an jedem Platz in einem Gitter ein Elektron haben, ist S nicht 1/2. Oder ist S die Summe aller Spins, sodass bei N gefüllten Gitterpunkten S = N*(1/2)?
@camzor00 S ist der Spin auf jeder Seite. Wenn Sie zum Beispiel eine Kette von Teilchen mit Spin 1/2 (Elektronen) betrachten, dann S = 1 / 2
Okay, also ist dieses Modell nicht auf ein Gitter (oder eine Kette) von Elektronen anwendbar? Ist das nicht das, was wir normalerweise im Zusammenhang mit kondensierter Materie betrachten? Ich entschuldige mich dafür, dass ich langsam bin, aber ich denke, ich bin immer noch verwirrt darüber, für welche physikalischen Systeme diese Annäherung gültig ist.
@camzor00 Ja. Es ist nicht klar, warum diese Erweiterung für Spin 1/2 gelten sollte. Anscheinend funktioniert es überraschend gut in 2 und 3 Dimensionen. Es mag Techniken geben, die besser für 1d-Low-Spin-Systeme geeignet sind, aber dazu muss ich Sie auf die Literatur verweisen, da ich alles andere als ein Experte bin.
@camzor00 Wenn meine Antwort für Sie hilfreich war, ziehen Sie bitte eine positive Bewertung in Betracht. Danke schön.

Ausgehend von der Analogie, dass der Bosonen-Erzeugungsoperator eine Up-Spin-Stelle aus dem ferromagnetischen Grundzustand in einen Down-Spin umwandelt, könnte man sagen, dass der Zahlenoperator die „Down-Spinness“ des Gitterpunkts misst. Nun gibt es in einem allgemeinen Hamiltonian keine Einschränkung, dass die Wellenfunktion an der Stelle entweder Up-Spin oder Down-Spin ist. Das passiert nur, wenn wir mit dem Pauli-Z-Operator messen. Es könnte eine Quanten(superposition) oder eine klassische Mischung aus Up-Spin und Down-Spin sein. Das kleine Verhältnis von Zahlenoperator zu S= 1/2 bedeutet, dass die Abweichung des Spins im Grundzustand von oben nach unten sehr klein ist. Mit anderen Worten, die Amplitude der Spinabweichung ist ziemlich klein. Daher scheint es in Berechnungen zu gelten.

Diese Antwort unterscheidet sich von der letzten darin, dass kleine Abweichungen im Zahlenoperator möglich sind, da die Wellenfunktion nur eine Überlagerung mit einem kleinen Teil des Abwärtsspins sein kann. Es gibt also keine mathematische Inkonsistenz in dieser Annahme für S = 1/2. Die Magnon-nicht-wechselwirkenden Spinwellen hängen entscheidend von diesen ab.

Damit ist die Frage nicht beantwortet. Sobald Sie über einen ausreichenden Ruf verfügen , können Sie jeden Beitrag kommentieren . Geben Sie stattdessen Antworten an, die keine Klärung durch den Fragesteller erfordern . - Aus Bewertung
Beantwortet es nicht die Frage? Das Verhältnis kleiner mittlerer Zahlenoperatoren zu S bedeutet ausreichend "kleine" Abweichungen in der lokalen Wellenfunktion vom Grundzustand.
Lesen Sie den Kommentar bis zum Ende: "das erfordert keine Klärung durch den Fragesteller". Vielleicht enthält Ihre Antwort relevante Informationen, aber sie könnte ein bisschen mehr Beweise oder zumindest Hinweise auf nützliche Dokumentationen gebrauchen, um Ihre Behauptung zu untermauern.
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