Ableitung des effektiven Hamilton-Operators bei niedriger Energie [Duplikat]

Question

Ableitung des effektiven Hamilton-Operators bei niedriger Energie [Duplikat]

Roger209

In der Quantenmechanik der Hamiltonoperator $H$ erfüllt die Schrödinger-Gleichung

H ψ = E ψ .

$H\psi = E\psi.$ Nehme an, dass

P

$P$ ist ein Projektionsoperator, und

Q = 1 - P

$Q=1-P$ . Der niederenergetisch effektive Hamiltonoperator ist

H_{e F F} = H_{P P} + \frac{H_{P Q} H_{Q P}}{E - H_{Q Q}} .

$H_{eff} = H_{PP} + \frac{H_{PQ}H_{QP}}{E-H_{QQ}}.$ Meine Methode dazu ist eine Kombination aus zwei algebraischen Gleichungen. Kürzlich fand ich eine gute Arbeit (L. Petersen

e t a l .

$et~~al.$ Ein einfaches Tight-Binding-Modell der Spin-Bahn-Aufspaltung von sp-abgeleiteten Oberflächenzuständen), dessen Autoren erklärten, dass man erhalten kann (Gl. 13)

P \frac{1}{ϵ - H} P = \frac{1}{ϵ - H_{e F F}}

$P\frac{1}{\epsilon-H}P = \frac{1}{\epsilon-H_{eff}}$ aus einem Standardsatz der linearen Algebra. Hier frage ich mich nur, dass "was das Standardtheorem ist"? Bitte informieren Sie mich über das ausgelassene Detail in dem obigen Papier.

Wolpertinger

Mögliches Duplikat von Den effektiven Hamiltonian in einem bestimmten Unterraum finden

Jahan Claes

Der "Standardsatz" in der linearen Algebra ist die Formel zum Invertieren von a

2 \times 2

$2\times 2$ Block von Matrizen . Siehe meine Antwort hier für die detaillierte Herleitung.

Antworten (1)

Ableitung des effektiven Hamilton-Operators bei niedriger Energie [Duplikat]

Mögliches Duplikat von Den effektiven Hamiltonian in einem bestimmten Unterraum finden
Der "Standardsatz" in der linearen Algebra ist die Formel zum Invertieren von a $2\times 2$ Block von Matrizen . Siehe meine Antwort hier für die detaillierte Herleitung.

udrv · Answer 1

Sagen Sie die Zeitentwicklung für Hamiltonian $H$ wird von gegeben $U(t) = \exp(-iHt)$ und die entsprechende Entwicklung auf der Unterstützung von $P$ Ist

P U (T) P = P \exp (- ich H T) P = \exp (- ich H_{eff} T) \equiv U_{eff} (T)

$PU(t)P = P\exp(-iHt)P = \exp(-iH_\text{eff}t) \equiv U_\text{eff}(t)$

vorausgesetzt $H_\text{eff}$ existiert. Die gewünschte Identität folgt aus

\begin{matrix} (1) & lim_{η \to 0} \int_{0}^{\infty} D T U (T) e^{ich (ϵ + ich η) T} = \frac{ich}{ϵ - H} . \end{matrix}

$\lim_{\eta \rightarrow 0} \int_0^\infty dt \; U(t) e^{i (\epsilon + i \eta) t} = \frac{i}{\epsilon - H} \, . \tag{1}$

Bewirbt sich $P$ zu beiden Seiten von Gl. $(1)$ gibt

\begin{matrix} (2) & lim_{η \to 0} \int_{0}^{\infty} D T P U (T) P e^{ich (ϵ + ich η) T} = P \frac{ich}{ϵ - H} P . \end{matrix}

$\lim_{\eta \rightarrow 0} \int_0^\infty dt \; P U(t) P e^{i (\epsilon + i \eta) t} = P\frac{i}{\epsilon - H}P \, . \tag{2}$

Dann mit $PU(t)P = U_\text{eff}(t)$ auf der linken Seite von Gl. $(2)$ wir bekommen

\begin{matrix} (3) & lim_{η \to 0} \int_{0}^{\infty} D T U_{eff} (T) e^{ich (ϵ + ich η) T} = P \frac{ich}{ϵ - H} P . \end{matrix}

$\lim_{\eta \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty} dt \; U_\text{eff}(t) e^{ i (\epsilon + i \eta) t} = P \frac{i}{\epsilon - H}P \, . \tag{3}$

Verwenden Sie nun Gl. $(1)$ aber mit dem effektiven anstelle des vollständigen Hamiltonoperators, um die linke Seite von Gl. $(3)$ . Das Ergebnis ist

\frac{1}{ϵ - H_{eff}} = P \frac{1}{ϵ - H} P

$\frac{1}{\epsilon - H_\text{eff}} = P\frac{1}{\epsilon - H}P$ wie angegeben.

Oh, hätte sein sollen $\Rightarrow$ = "impliziert". Danke für die Fixierung. Die Art und Weise, wie Sie die Antwort neu angeordnet haben, könnte einen Anfänger jedoch dazu bringen, sich über die Beziehung zwischen der 1. und 2. Gleichheit nach dem Integral über PU(t)P zu wundern.
Du hast Recht, die Art und Weise, wie ich es neu arrangiert habe, war nicht klar. Ich hoffe die neue Version ist ok.
@udrv Ich mag das Argument, aber es ignoriert die Energieabhängigkeit von $H_\textrm{eff}$ ?

Ableitung des effektiven Hamilton-Operators bei niedriger Energie [Duplikat]

Roger209

Wolpertinger

Jahan Claes

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udrv

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udrv

Daniel Sank

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