Prinzip der kleinsten Wirkung (Klassische und Quantentheorie)

I) Meine erste Frage wäre: "Warum sollten klassische Systeme dem Prinzip der kleinsten Wirkung gehorchen?" Wenn wir den Propagator in der Quantenphysik herausfinden, finden wir die Amplitude gleich der Summe über alle möglichen Pfade, gewichtet mit der Phase$e^{iS/\hbar}$. Dann kommt man zu dem Schluss, dass$\frac{\partial S[q]}{\partial q}$muss wann verschwinden$\hbar \rightarrow 0$. Ich würde also annehmen, dass das klassische Prinzip der kleinsten Wirkung nichts anderes als ein Sonderfall einer allgemeineren quantenmechanischen Pfad-Integral-Formulierung ist. Ist das gut?

II) Zweitens, wenn wir die Herleitung durchgehen, wie wir darauf kommen, dass die Phase mit einem Pfad verbunden ist$e^{iS[q]/\hbar}$, beginnend mit dem ersten Prinzip, beobachten wir, dass die folgenden Annahmen eine sehr entscheidende Rolle spielen:

1. Der Impulsraum ist vollständig, dh$\sum |p\rangle \langle p| = 1$.

2. Das System ist ein Hamiltonsches System,

   2a. Der Hamiltonoperator ist nicht ausschließlich zeitabhängig.

   2b. Kinetischer Energieoperator ist von der Form$\hat{P}^2/2m$.

(Habe ich noch etwas übersehen?) Obwohl viele interessierende Systeme diesen Annahmen leicht folgen, bin ich besonders neugierig auf 2b. Wie würde sich ein System, das gegen 2b verstößt, unter dem klassischen Grenzwert verhalten (können wir überhaupt ein solches System haben?), oder was würde mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung passieren.

Wenn also (2) vollständig erfüllt ist, was in den meisten Fällen der Fall ist, kann man dann sagen, dass "das Prinzip der kleinsten Wirkung funktioniert, weil der Phasenraum ein vollständiger Raum ist"?