Gibt es einen Grund, warum die Lagrange-Funktion zufällig im Pfadintegral auftaucht?

Ich habe diese Ableitung gesehen, in der sie mit dem Schrödinger-Gleichungspropagator beginnen und eine Auflösung der Identität zwischen jedem Term einführen. Und bumm! Der Lagrange zeigte sich in der Phase. Aber warum?

Ich hätte es einfach als "Es ist, was es ist" akzeptiert, wenn die Lagrange-Funktion nicht eine wichtige Größe wäre, die aus einer völlig anderen Formulierung der klassischen Mechanik stammt.

So wie es aussieht, hat der Lagrangian jetzt zwei Beziehungen zum Hamiltonian. Eine davon ist die Legendre-Transformation. Die andere ist die Lagrange-Funktion, die zufällig im Pfadintegral auftaucht. Also noch einmal ... warum taucht die Lagrange-Funktion zufällig im Pfadintegral auf?

BEARBEITEN Um genauer zu sein, gibt es eine Ableitung des Pfadintegrals, die einen generischen Hamiltonian verwendet H ( X , P ) für den Propagator und zeigt, dass die Legendre-Transformation von H muss in der Phase auftauchen?

Oder ist es nur ein Zufall, dass es dem Hamiltonianer so geht P 2 2 M + v ( X ) ?

Was ist im nCatLab- Eintrag nicht klar?
@JeanbaptisteRoux Manchmal , wenn wir einen Beweis lesen, fühlt sich die Antwort wie ein Unfall an.
@JeanbaptisteRoux Siehe die Bearbeitung
Die Antwort auf Ihre Frage in der Bearbeitung lautet ja. Siehe Weinbergs The Quantum Theory of Fields, Kapitel 9. Insbesondere Abschnitt 9.3. Natürlich empfehle ich das ganze Kapitel, aber die ersten drei Abschnitte beantworten Ihre Frage.
@JG Es ist nicht die gleiche Art von "Unfall". Hier besteht das Problem darin, dass wir die Lagrange-Funktion aus der klassischen Mechanik definieren, die aus der Quantenmechanik hervorgeht, die nach der ersteren gelehrt wird. Bequemer wäre es, die Lagrangian, genauer gesagt die Wirkung, als Exponent im Wegintegral zu definieren .

Antworten (2)

Das Pfadintegral existiert für beliebige Hamiltonoperatoren zumindest in seiner Hamiltonoperatorform (wobei wir über beide integrieren Q ( T ) Und P ( T ) ), siehe Weinbergs QFT-Buch, Kapitel 9.1. die das Pfadintegral herleitet, ohne irgendwelche Annahmen über die Struktur von zu treffen H . Vorausgesetzt, dass H = P 2 + v ( Q ) ist eine gängige vereinfachende Annahme, die einige lästige Argumente umgeht, aber nicht notwendig ist.

Die Lagrange-Version - wo wir nur über den Lagrange-Pfad integrieren Q ( T ) - erfordert die Annahme eines quadratischen Impulses, aber in beiden Fällen ist die Phase e ich S , dh die Wirkung unserer Theorie als Funktion entweder eines Hamilton- oder eines Lagrange-Pfades.

Die Frage "Warum ist der Exponent eine Legendre-Transformation?" ist daher ein Ablenkungsmanöver - der Exponent ist nur die Aktion. Der Grund für das Auftreten der Aktion liegt darin, dass der klassische Pfad (zumindest intuitiv) derjenige sein muss, der das Integral dominiert, und die klassischen Pfade genau stationäre Punkte der Aktion sind, daher die Punkte, an denen sich die Phase am langsamsten ändert. Wenn wir ein Integral über eine Phase erhalten wollen, dann sollte der Exponent dieser Phase eine Funktion wie die klassische Aktion sein, bevor Sie irgendwelche Berechnungen durchführen, ausschließlich nach dem Prinzip des klassischen Grenzwerts / Korrespondenzprinzips / wie auch immer Sie es nennen möchten diese Heuristik.

Wenn Sie akzeptieren, dass die klassische Aktion das Integral des Lagrange (und damit das Integral der Legendre-Transformation des Hamilton-Operators) ist, passiert hier nichts Mysteriöseres (siehe diese Frage für Diskussionen darüber, was eine Legendre-Transformation tatsächlich tut).

Die Aktion zeigt sich also, weil es die Quantität ist, die den klassischen Weg „bevorzugt“. Und die Lagrange-Funktion ist per Definition nur ihre zeitliche Ableitung. Aber würden Sie nicht sagen, dass der Grund, warum die Aktion den klassischen Pfad überhaupt „bevorzugt“, daran gebunden ist, dass er das Integral der Legendre-Transformation des Hamilton-Operators ist? Ich meine ... das ist die Mathematik, die das Prinzip der stationären Aktion "kodiert".
@EggMan Natürlich hängt alles zusammen, aber es ist Geschmackssache, welche der Aussagen der klassischen Mechanik "Axiome" und welche "abgeleitete" Aussagen sind. Ich sage nur, dass es nichts wirklich „Quantenhaftes“ an der Action gibt, die sich dort zeigt.

Der Grund für die Überschneidung

(1) ⟨ Q F , T F | Q ich , T ich ⟩   ∼   ∫ Q ( T ich ) = Q ich Q ( T F ) = Q F D Q   D P   exp ⁡ [ ich ℏ S [ Q , P ] ] ,
ist durch den Hamiltonschen Phasenraumpfad gegeben, der integral mit der Hamiltonschen Wirkung ist
(2) S [ Q , P ]   =   ∫ T ich T F D T   [ P Q ˙ − H ( Q , P ) ] ,
folgt im Wesentlichen aus 2 Tatsachen:

  1. Die unitäre Zeitentwicklung wird durch den Hamilton-Operator gesteuert.

  2. Die Symplektik P Q ˙ Begriff folgt aus dem P Q Überlappungsformel

    (3) ⟨ P , T ∣ Q , T ⟩   =   1 2 π ℏ exp ⁡ [ P Q ich ℏ ] .

Siehe z. B. meine Phys.SE-Antwort hier für weitere Einzelheiten zur Korrespondenz zwischen

(4) Operatorformalismus ⟷ Pfadintegralformalismus

Um schließlich vom Hamilton-Pfadintegral zum Lagrange-Pfadintegral zu gelangen, führen Sie die Impulsintegrationen durch.

Aber die Durchführung der Impulsintegration für das Pfadintegral ergibt die Legendre-Transformation nur, wenn wir p^2 im Hamiltonian haben (vielleicht ein paar andere Fälle, aber nicht allgemein). Diese Entsprechung scheint also irgendwie mit dem „Zufall“ verbunden zu sein, dass die kinetische Energie p^2 ​​ist, nicht wahr?
@lalala: Die (möglicherweise singuläre) inverse Legendre-Transformation funktioniert im Prinzip (zumindest semiklassisch ) auch für Impulsabhängigkeit höherer Ordnung. In der Praxis wissen wir natürlich nicht, wie wir explizit andere Pfadintegrale als Gaußsche Pfadintegrale und deren Störungen ausführen sollen.
Gibt es einen Grund, warum die Lagrange-Funktion zufällig im Pfadintegral auftaucht?
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