Kann die klassische Aktion für ein Elektron in einem konstanten Magnetfeld für verschiedene Zeitwerte periodisch unendlich sein?

Die Bewegung in der$x$,$y$Ebene folgt einem Kreis. Dieser Kreis soll einen Radius haben$R$. Die Bewegungsgleichung folgt aus der Lorentzkraft

$$\boldsymbol{F} = \frac{e}{c} \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}.$$

Die Kraft ist zentripetal, also ist ihre Größe$mv^2/R$, und die Bewegungsgleichung ist

$$\frac{m v^2}{R} = \frac{eBv}{c}.$$

Daher bewegt sich das Teilchen im Kreis mit Geschwindigkeit

$$v = \frac{e B R}{m c},$$

und die Periode für einen Zyklus in der$x$,$y$Flugzeug ist

$$\Delta t = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2 \pi m c}{e B} = \frac{2\pi}{\omega}.$$

Ganzzahlige Vielfache dieser Periode sind genau die Werte von$T$wofür$\tan(\omega T/2) = 0$. Betrachten Sie nun den besorgniserregenden Begriff in der klassischen Handlung:

$$\frac{\omega/2}{\tan(\omega T/2)} \left( (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 \right).$$

Wenn$T = n\Delta t = 2\pi n/\omega$, dieser Term divergiert nicht unbedingt, weil das Teilchen zu seinem Ausgangspunkt zurückgekehrt ist, wo$x_a = x_b$Und$y_a = y_b$, also nähert sich dieser Begriff tatsächlich der unbestimmten Form$0/0$.

Um diese unbestimmte Form zu vereinfachen, wählen wir Koordinaten so, dass$t_a = 0$Und$t_b = T$, und die Bewegung nimmt die Form an

$$x(t) = \cos(\omega t), \quad y(t) = \sin(\omega t).$$

Dann

$$\begin{align} (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 &= (\cos(\omega T)-1)^2 + \sin(\omega T)^2 \\ &= 2 - 2 \cos(\omega T). \end{align}$$

Daher ist der Begriff in der Aktion

$$\frac{\omega}{2} \frac{2 - 2 \cos(\omega T)}{\tan(\omega T/2)} = \omega\sin(\omega T),$$

was für alle endlich ist$T$. Das Problem, das Sie identifiziert haben$T = 2\pi n/\omega$ist nur eine entfernbare Diskontinuität, keine tatsächliche Divergenz.