Kohärente Zustandspfadintegrale von harmonischen Oszillatoren

Ich studiere die Notizen von Ben Simons in diesem Link ( http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/tp3.html ). Ich befinde mich derzeit in Vorlesung 16 (Anwendungen und Verbindungen). Das entsprechende Lehrbuch ist Condensed Matter Field Theory (Kap. 4). Die erste Seite leitet die Zustandssumme für den harmonischen Oszillator über eine Parametrisierung her

$$\psi(\tau) = \sqrt{\frac{m\omega}{2 \hbar}}\left(q(\tau) + \frac{ip(\tau)}{m\omega} \right).$$ Das bedeutet, dass $$\bar{\psi}(\tau) = \sqrt{\frac{m\omega}{2 \hbar}}\left(q(\tau) - \frac{ip(\tau)}{m\omega} \right).$$

Dies wird in Vorlesung 16 (Seite 1) bestätigt, wenn der Autor zeigt

$$\hbar \omega \bar{\psi}\psi = \frac{m\omega^2}{2}\left(q^2 + \frac{p^2}{m^2\omega^2}\right).$$

Die pdf-Vorlesung behauptet, dass die Partitionsfunktion geschrieben werden kann als:

$$Z = \int D[\bar{\psi},\psi]exp\left[-\int_{0}^{\beta}(\bar{\psi}\partial_\tau\psi + \hbar \omega\bar{\psi}\psi)\right] = \int D[p,q] exp\left[-\int_{0}^\beta d\tau\left(\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{\hbar}\right)\right].$$

Mein Ziel ist es, diese Gleichheit zu beweisen. Dazu habe ich die Parametrisierungen von ersetzt$\psi$Und$\bar{\psi}$und festgestellt, dass die Aktion integral in$e^{-action}$sein

$$\int_0^\beta \frac{m\omega}{\pi \hbar} \bigg[q\dot{q} + \frac{i\dot{p}q}{m\omega} - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2} + \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\bigg].$$

Unter Verwendung der partiellen Integration im zweiten Term erhielt ich:

$$\int_0^\beta \frac{m\omega}{\pi \hbar} \bigg[ \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} - \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + q\dot{q} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2}\bigg].$$

Einige Teile dieses Integrals sind gleich dem in Vorlesung 16 pdf behaupteten Ausdruck. Das scheint darauf hinzudeuten

$$D[p,q] = D[\bar{\psi}, \psi]exp\left[\frac{m\omega}{\pi \hbar}\left(- \frac{ip\dot{q}}{m\omega} + q\dot{q} + \frac{p\dot{p}}{m^2\omega^2}\right)\right].$$ Allerdings weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll. Kann jemand erklären, warum die folgende Gleichheit gilt?

$$Z = \int D[\bar{\psi},\psi]exp\left[-\int_{0}^{\beta}(\bar{\psi}\partial_\tau\psi + \hbar \omega\bar{\psi}\psi)\right] = \int D[p,q] exp\left[-\int_{0}^\beta d\tau\left(\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 - \frac{ip\dot{q}}{\hbar}\right)\right].$$