Diskretisierung der Aktion für Feynman Path Integral

Question

Diskretisierung der Aktion für Feynman Path Integral

John Dumancic

Ich versuche zu verstehen, wie Pfadintegrale bei einem Lagrange berechnet werden. Ich verstehe, wie es für das freie Teilchen gemacht wird, aber ich bin verwirrt für andere Aktionen. Ich habe Probleme zu verstehen, wie man die Aktion in Teilintervalle zerlegt. Ich verstehe, wie man das für das freie Teilchen macht:

\begin{matrix} (1) & S = \frac{M}{2} \frac{(X_{B} - X_{A})^{2}}{T_{B} - T_{A}} \to \frac{M}{2} \sum_{ich = 1}^{N} \frac{(X_{ich + 1} - X_{ich})^{2}}{ϵ} \end{matrix}

$S=\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^2}{t_b-t_a}\to\frac{m}{2}\sum_{i=1}^N\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{\epsilon}\tag{1}$ Wo,

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ϵ & = T_{ich + 1} - T_{ich} \\ N ϵ & = T_{B} - T_{A} \\ T_{0} & = T_{A} \\ T_{N} & = T_{B} \\ X_{0} & = X_{A} \\ X_{N} & = X_{B} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \epsilon & = t_{i+1}-t_i \\ N\epsilon & = t_b - t_a \\ t_0 &= t_a \\ t_N & = t_b \\ x_0 &= x_a \\ x_N &= x_b \end{align}\tag{2}$ Ich habe jedoch Probleme zu verstehen, wie dies für allgemeinere Fälle zu tun ist. Zum Beispiel ist die klassische Aktion des harmonischen Oszillators

\begin{matrix} (3) & S = \frac{M ω}{2 Sünde ω T} ((X_{1}^{2} + X_{2}^{2}) \cos ω T - 2 X_{1} X_{2}) . \end{matrix}

$S=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right).\tag{3}$ Ich habe versucht, dies wie folgt diskret zu machen:

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} S = & \frac{M ω}{2 Sünde ω T} ((X_{1}^{2} + X_{2}^{2}) \cos ω T - 2 X_{1} X_{2}) \\ \to & \frac{M ω}{2 Sünde ω ϵ} \sum_{ich = 1}^{N} ((X_{ich + 1}^{2} + X_{ich}^{2}) \cos ω ϵ - 2 X_{ich + 1} X_{ich}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}S=&\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right)\cr \to&\frac{m\omega}{2\sin\omega\epsilon}\sum_{i=1}^N\left(\left(x_{i+1}^2+x^2_i\right)\cos\omega\epsilon-2x_{i+1}x_i\right).\end{align}\tag{4}$ Daher wird das Pfadintegral

\begin{aligned} U (X_{B}, T_{B}, X_{A}, T_{A}) = & lim_{ϵ \to 0} \frac{1}{A} \int \dots \iint \exp (\frac{ich}{ℏ} \frac{M ω}{2 Sünde ω ϵ} \sum_{ich = 1}^{N} ((X_{ich + 1}^{2} + X_{ich}^{2}) \cos ω ϵ - 2 X_{ich + 1} X_{ich})) \\ (5) & \times \frac{D X_{1}}{A} \frac{D X_{2}}{A} \dots \frac{D X_{N - 1}}{A} \end{aligned}

$\begin{align}U(x_b,t_b,x_a,t_a)=&\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{A}\int\cdots\iint\exp\left(\frac{i}{\hbar}\frac{m\omega}{2\sin\omega\epsilon}\sum_{i=1}^N\left(\left(x_{i+1}^2+x^2_i\right)\cos\omega\epsilon-2x_{i+1}x_i\right)\right)\cr &\times\frac{\mathrm{d}x_1}{A}\frac{\mathrm{d}x_2}{A}\cdots\frac{\mathrm{d}x_{N-1}}{A}\tag{5}\end{align}$

\begin{matrix} (6) & A = {(\frac{2 π ich ℏ ϵ}{M})}^{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

$A=\left(\frac{2\pi i\hbar\epsilon}{m}\right)^{\frac{1}{2}}.\tag{6}$

Als ich jedoch das Integral für auswertete $x_1$ , ich habe folgendes:

\begin{matrix} (7) & \sqrt{\frac{M Sünde ω ϵ}{2 ich π ℏ 2 ϵ^{2} ω \cos ω ϵ}} \exp (\frac{ich ω M}{2 ℏ Sünde (2 ω ϵ)} ((X_{0}^{2} + X_{2}^{2}) \cos 2 ω ϵ - 2 X_{0} X_{2})) . \end{matrix}

$\sqrt{\frac{m\sin\omega\epsilon}{2i\pi\hbar~2\epsilon^2\omega\cos\omega\epsilon}}\exp\left(\frac{i\omega m}{2\hbar \sin(2\omega\epsilon)}\left(\left(x_0^2+x_2^2\right)\cos2\omega\epsilon-2x_0x_2\right)\right).\tag{7}$ Im Vergleich zum eigentlichen Propagator, der unten steht, sehe ich, dass ich einige Dinge richtig gemacht habe, aber der Normalisierungsfaktor ist völlig falsch. Was habe ich falsch gemacht?

\begin{matrix} (8) & U (X_{B}, T_{B}, X_{A}, T_{A}) = \sqrt{\frac{M ω}{2 π ich ℏ Sünde ω T}} \exp (\frac{ich M ω}{2 ℏ Sünde ω T} ((X_{A}^{2} + X_{B}^{2}) \cos ω T - 2 X_{A} X_{B})) . \end{matrix}

$U(x_b,t_b,x_a,t_a)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega T}}\exp\left(\frac{im\omega}{2\hbar\sin\omega T}\left(\left(x_a^2+x_b^2\right)\cos\omega T -2x_ax_b\right)\right).\tag{8}$ PS Ich verwende Quantenmechanik und Pfadintegrale, Feynman und Hibbs, um dies zu lernen.

Antworten (2)

Diskretisierung der Aktion für Feynman Path Integral

Oktonion · Answer 1

Die Aktion, die in das Pfadintegral hineingeht, ist eine Funktion des Pfads $x(t)$ . Nämlich,

S [X (T)] = \int_{0}^{T} D T \frac{M}{2} ({\dot{X}}^{2} - ω^{2} X^{2})

$S[x(t)]=\int_0^T dt \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2-\omega^2 x^2\right)$ was sehr einfach diskretisiert werden kann

S = \frac{M}{2} \sum_{ich = 1}^{N} \frac{(X_{ich + 1} - X_{ich})^{2}}{ϵ} - ϵ ω^{2} X_{ich}^{2}

$S=\frac{m}{2}\sum_{i=1}^N\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{\epsilon}-\epsilon\omega^2 x_i^2$

Der $x$ Bei dieser Aktion handelt es sich nicht unbedingt um eine klassische Trajektorie, aber dies ist immer noch die Aktion, die in der klassischen Mechanik auftritt und über die Euler-Lagrange-Gleichung zur Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators führt.

Sie haben dieses Aktionsfunktional mit dem numerischen Wert des Aktionsfunktionals verwechselt, das auf dem klassischen Pfad ausgewertet wurde

S [X_{C l}] = \frac{M ω}{2 Sünde ω T} ((X_{1}^{2} + X_{2}^{2}) \cos ω T - 2 X_{1} X_{2})

$S[x_{cl}]=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right)$

Dies ist nur eine Zahl (wenn auch eine Zahl, die von Randbedingungen abhängt). Es gibt kein $x(t)$ darin auftaucht, sodass Sie es nicht variieren können, um Euler-Lagrange-Gleichungen zu erhalten, und Sie können es nicht in ein Pfadintegral integrieren.

QMechaniker · Answer 2

Soweit die einzelne Gaußsche $x_1$ Integration geht, OP macht das Richtige (bis auf mögliche Tippfehler) in Gl. (7). Allerdings seit dem Zeitinkrement
$\begin{matrix} (ich) & ϵ ≪ ω^{- 1} \end{matrix}$ $\epsilon~\ll~ \omega^{-1}\tag{i}$ soll klein sein (um Feynmans Fudge-Faktor zu berücksichtigen $1/A$ um gültig zu sein), haben wir unter der Quadratwurzel $\begin{matrix} (ii) & \frac{Sünde (ω ϵ)}{2 ϵ^{2} ω \cos (ω ϵ)} \approx \frac{1}{2 ϵ} \approx \frac{ω}{Sünde (ω 2 ϵ)}, \end{matrix}$ $\frac{\sin (\omega \epsilon)}{2\epsilon^2\omega\cos (\omega \epsilon)}~\approx~\frac{1}{2\epsilon}~\approx~\frac{\omega }{\sin (\omega 2\epsilon)}, \tag{ii}$ in Übereinstimmung mit Feynmans Formel (8) für den harmonischen Oszillator. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
Es ist möglich, das Ergebnis von 2 auf zu erweitern $N$ Zeitinkremente, siehe zB diesen Phys.SE Beitrag. Feynmans formale Konzeptionsidee ist es, die Off-Shell-Action zu ersetzen $I[x;t_a;t_b]$ im Pfad integral mit der diskretisierten Summe der On-Shell-Aktionen $\sum_{i=1}^N S(x_i,t_i;x_{i-1},t_{i-1})$ ; dann über alle Zwischenstellen integrieren $x_1, \ldots, x_{N-1}$ ; und nehmen Sie am Ende die Kontinuumsgrenze $N\to\infty$ .

Also war ich richtig, die klassische Aktion als diskret einzustecken, und es sollte nicht wie in der anderen Antwort gemacht werden?
@Tesseract, nein, obwohl die Antwort von Qmechanics hier vielleicht eine andere korrekte Art ist, das Pfadintegral zu behandeln, war meine Antwort richtig und so wird das Pfadintegral normalerweise behandelt.

Diskretisierung der Aktion für Feynman Path Integral

John Dumancic

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John Dumancic

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