Ableitung des Lagrange-Pfadintegrals vom Hamilton-Pfadintegral

Question

Ableitung des Lagrange-Pfadintegrals vom Hamilton-Pfadintegral

1MegaMan1

Meine Frage bezieht sich auf die beiden Versionen des Pfadintegrals, Hamiltonian und Lagrangian, die in den meisten Ableitungen der Pfadintegral-Quantenmechanik auftauchen, aber speziell in diesem Fall die Ableitung, die in Altland und Simons S. 98-101.

Sie betrachten den Verbreiter $\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle$ , diskretisieren den Pfad und den Zeitentwicklungsoperator $U$ hinein $N$ Schritte und fügen Sie viele Identitäten des Formulars ein $\int dx |x \rangle\langle x|$ Und $\int dp |p \rangle\langle p|$ um zu einem Ausdruck für den Propagator zu gelangen, der gegeben ist durch:

\begin{matrix} (1) & ⟨ X_{F}, T_{F} | U (T_{F}; T_{ich}) | X_{ich}, T_{ich} ⟩ = \int D X \exp [\frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} (P \dot{Q} - H (P, Q))] mit H = T + v \end{matrix}

$\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{Dx} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_0^t dt' ( p \dot q - H(p,q) ) \right] \ \ \text{with} H = T+V \tag{1}$

bei dem die $\mathcal{Dx}$ steht für ein Pfadintegral über BEIDE $p$ Und $q$ , dh $\mathcal{Dx} = \lim_{N \to \infty} dq_1...dq_N dp_1...dp_N$ . Sie nennen dies das Hamiltonian/Phase Space Path Integral und dies scheint die Standardmethode zu sein, es abzuleiten, wenn man sich verschiedene Literatur ansieht.

Dann ziehen sie eine Verbindung zum klassischen Hamiltonian und Lagrangeian wo $L = p\dot{q} - H(p,q)$ und davon inspiriert machten sie sich daran, ein Lagrange-Pfadintegral zu finden. Beschränkung auf Hamiltonoperatoren quadratisch in $p$ sie führen die durch $p$ Integrale von $\mathcal{Dx}$ und finden Sie ein Pfadintegral mit einem Ausdruck im Exponenten, der als klassischer Lagrange identifiziert werden kann:

\begin{matrix} (2) & ⟨ X_{F}, T_{F} | U (T_{F}; T_{ich}) | X_{ich}, T_{ich} ⟩ = \int D Q \exp [\frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} L (Q, \dot{Q})] mit L = T - v \end{matrix}

$\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{Dq} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_0^t dt' L(q,\dot{q}) \right] \ \ \text{with} \ \ L = T - V \tag{2}$

die sie passend das Lagrange-/Konfigurationsraumpfad-Integral nennen , was auch der Standardweg zu seiner Ableitung zu sein scheint.

Meine Frage ist:

Da wir während der Ableitung alle Operatoren ersetzt haben $\hat p$ Und $\hat q$ mit "Istwerten" entlang eines Pfades im Phasenraum, warum können wir das nicht einfach direkt identifizieren $L = p\dot{q} - H(p,q)$ und anwenden, was wir von der Lagrange-Mechanik gelernt haben, um sofort zu schreiben $L = T-V$ in Gl. (1) ohne das Umständliche tun zu müssen $p$ Integrale? Offensichtlich würde uns dies etwas anderes geben als Gl. (2):

\begin{matrix} (3) & ⟨ X_{F}, T_{F} | U (T_{F}; T_{ich}) | X_{ich}, T_{ich} ⟩ = \int D X \exp [\frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} (L (Q, \dot{Q})] \end{matrix}

$\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{Dx} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_0^t dt' ( L(q,\dot q ) \right] \tag{3}$

AccidentalFourierTransform

Lagrange

= L (q, \dot{q}) \neq

$=L(q,\dot q)\neq$ Hamiltonsche Lagrangedichte

= L_{H} (q, p) := p \dot{q} - H (q, p)

$=L_H(q,p):=p\dot q-H(q,p)$ .

QMechaniker

Kleiner Kommentar zum Beitrag (v2): Die LHS von Gl. (1)-(3) bei Altland & Simons ist

⟨ q_{f}, t_{f} | U (t_{f}; t_{i}) | q_{i}, t_{i} ⟩

$\langle q_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | q_i, t_i \rangle$ nicht

⟨ x_{f}, t_{f} | U (t_{f}; t_{i}) | x_{i}, t_{i} ⟩

$\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle$ .

lalala

Wenn Sie die dp-Integration im Pfadintegral durchführen, erhalten Sie nur 1/2 m xdot^2, wenn H = p^2/2m + V(x) (was ein Gaußsches Integral ist). Überraschenderweise gibt es einen Unterschied für General H.

Quillo

verwandt: physical.stackexchange.com/q/637531/226902 und physical.stackexchange.com/q/134714/226902

Antworten (2)

Ableitung des Lagrange-Pfadintegrals vom Hamilton-Pfadintegral

Lagrange $=L(q,\dot q)\neq$ Hamiltonsche Lagrangedichte $=L_H(q,p):=p\dot q-H(q,p)$ .
Kleiner Kommentar zum Beitrag (v2): Die LHS von Gl. (1)-(3) bei Altland & Simons ist $\langle q_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | q_i, t_i \rangle$ nicht $\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle$ .
Wenn Sie die dp-Integration im Pfadintegral durchführen, erhalten Sie nur 1/2 m xdot^2, wenn H = p^2/2m + V(x) (was ein Gaußsches Integral ist). Überraschenderweise gibt es einen Unterschied für General H.
verwandt: physical.stackexchange.com/q/637531/226902 und physical.stackexchange.com/q/134714/226902

QMechaniker · Answer 1

Nun, es gibt eine Menge Gründe. Nennen wir nur einige:

Im Feynman-Pfadintegral sollte man über alle Historien/Off-Shell-Konfigurationen summieren und nicht nur die stationären Werte einfügen.
Wenn wir vom Lagrange-Pfadintegral ausgehen, müssten wir auf physikalischer Strengeebene den Ad-hoc-Feynman-Fudge-Faktor von Hand einfügen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Andererseits lässt sich dieser Fudge-Faktor sauber aus dem Hamiltonschen Pfadintegral über den Gaußschen erklären $p$ -Integrationen.
Die Lagrangesche kinetische Energie ist subtiler als ihr Hamiltonsches Gegenstück aufgrund der Zeitordnungsvorschrift, vgl. zB diese Phys.SE-Antwort.

TBissinger · Answer 2

Ich denke, das Hauptproblem ist das, was Sie bereits in Ihrem letzten Absatz angesprochen haben. Der Integrand, das ist der $e^{iS}$ Teil, ist nicht das einzige Ergebnis einer Ableitung einer Pfadintegralformel. Eine weitere ebenso wichtige Zutat, die hergeleitet werden muss, ist das Wegmaß ${\cal D}q$ oder ${\cal D}x$ .

Es ist durchaus möglich, von einer Formulierung zur anderen zu gehen, aber Sie müssen sich etwas mehr Mühe geben, als stumpf in den Integranden einzufügen. Wenn Sie eine Aussage wie schreiben $L = p\dot{q} - H(p,q)$ , ist etwas Vorsicht geboten. Sie können nicht überlegen $\dot{q}$ in dieser Beziehung eine unabhängige Variable zu sein. Sie müssen die Legendre-Transformation verwenden, um aus dem Variablenpaar zu gelangen $(q,\dot{q})$ zum Paar $(q,p)$ , wie $p(q,\dot{q}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q,\dot{q})$ oder seine Umkehrung.

Damit geht man von der Bahn einer angehobenen Kurve aus $(q(t),\dot{q}(t))$ zu einem Phasenraumpfad $(q(t),p(t))$ , ändern Sie die Koordinaten, was zu einer Änderung des Integrationsmaßes führt ${\cal D}x$ Zu ${\cal D}q$ . Es ist etwas umständlich, diese Transformation ganzzahliger Maße allein durch die Maße zu beschreiben, daher ist es normalerweise einfacher, die Ableitung nur zweimal für zwei verschiedene Sätze von Variablen durchzuführen.

Mathematisch ist dies ähnlich wie die Tatsache, dass Sie die Jacobi-Determinante einbeziehen müssen, wenn Sie Koordinaten in einer Normalen ändern $n$ -dimensionales Integral

\int_{Φ (Ω)} D X^{N} F (X) = \int_{Ω} D j^{N} | det D Φ (j) | F (Φ (j)) .

$\int_{\Phi(\Omega)}\textrm{d}x^n\, f(x) = \int_{\Omega}\textrm{d}y^n\, |\det D\Phi(y)|f(\Phi(y)).$

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