Physikalische Bedeutung der Legendre-Transformation

Question

Physikalische Bedeutung der Legendre-Transformation

Physik
Thermodynamik
Klassische-mechanik
Hamilton-formalismus
Lagrange-formalismus

gsAllan

Ich würde gerne wissen, welche physikalische Bedeutung die Legendre-Transformation hat , wenn es welche gibt. Ich habe es in der Thermodynamik und der klassischen Mechanik verwendet und es schien nur eine Änderung der Koordinaten?

Vladimir Kalitvianski

Siehe arxiv.org/abs/0806.1147 .

Tim

Siehe auch physicstravelguide.com/advanced_tools/legendre_transformation

Zhuoran He

Obwohl es oft verwendet wird, ist es möglicherweise nicht immer so brav. Beispielsweise,

d (\frac{x^{3}}{3}) = x^{2} d x .

Man kann eine Legendre-Transformation durchführen, um die Variable von zu ändern

x

x

x

zu

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

mit

d (\frac{x^{3}}{3}) - - d (x^{2} \cdot x) = x^{2} d x - - x^{2} d x - - x d x^{2},

was sich dann auf reduziert

d (- - \frac{2}{3} x^{3}) = - - x d x^{2} .

Obwohl dies global immer noch eine korrekte Differenzierungsbeziehung ist

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- - 2 x^{3} /. 3

ist keine Funktion von

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

weil gegeben

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

die Funktion

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- - 2 x^{3} /. 3

kann immer zwei Werte für annehmen

x \neq 0

x \neq 0

x \neq 0

.

Antworten (3)

Physikalische Bedeutung der Legendre-Transformation

Siehe auch physicstravelguide.com/advanced_tools/legendre_transformation
Obwohl es oft verwendet wird, ist es möglicherweise nicht immer so brav. Beispielsweise, $d (\frac{x^{3}}{3}) = x^{2} d x .$ Man kann eine Legendre-Transformation durchführen, um die Variable von zu ändern $x$ $x$ $x$ zu $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ mit $d (\frac{x^{3}}{3}) - - d (x^{2} \cdot x) = x^{2} d x - - x^{2} d x - - x d x^{2},$ was sich dann auf reduziert $d (- - \frac{2}{3} x^{3}) = - - x d x^{2} .$ Obwohl dies global immer noch eine korrekte Differenzierungsbeziehung ist $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- - 2 x^{3} /. 3$ ist keine Funktion von $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ weil gegeben $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ die Funktion $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- - 2 x^{3} /. 3$ kann immer zwei Werte für annehmen $x \neq 0$ $x \neq 0$ $x \neq 0$ .

Luboš Motl · Answer 1

Sehen

http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation#Applications

In der theoretischen Physik werden die grundlegenden oder definierenden mathematischen Eigenschaften der Legendre-Transformation verwendet, um zwischen einer Form der Energie - oder "Potential", wie die verallgemeinerten Energien in der Thermodynamik genannt werden - zu einer anderen zu wechseln.

Dies ist wichtig, um zwischen dem Lagrange in der abstrakten Mechanik zu wechseln, die davon abhängt $x, v$ $x, v$ $x, v$ (Positionen und Geschwindigkeiten) zum Hamiltonianer, der wahren Energie, die davon abhängt $x, p$ $x, p$ $x, p$ .

In der Thermodynamik ist die Anzahl der Anwendungen und "Schaltertypen" noch höher. Sie können durch Legendre-Transformation in Bezug auf verschiedene Variablen von Energie zu Enthalpie oder Helmholtz-freier Energie oder Gibbs-freier Energie übergehen. Die Transformation geht hin und her. Wie das Wikipedia-Beispiel erklärt, gibt es andere nützliche Variablen, in Bezug auf die Sie Legendre-transformieren können, einschließlich Ladung und Spannung.

Sie können die Legendre-Transformation als "bloße" Neudefinition von Variablen betrachten - aber deshalb ist sie in der Praxis so wichtig. In Wirklichkeit sind die verschiedenen Arten der Beschreibung des Systems, die sich durch eine Legendre-Transformation unterscheiden, "gleich grundlegend" oder "gleich natürlich". Daher ist es oft nützlich, mit allen vertraut zu sein und die Beziehung zwischen ihnen zu kennen. Die Beziehung wird durch die Legendre-Transformation gegeben.

-1: "gleich grundlegend" oder "gleich natürlich" sind alle reversiblen Variablenänderungen. Praktisch sind solche, die helfen, neue Variablen zu trennen und / oder die Gleichungen in eine "lösbare" Form zu bringen. Wenn ein Problem in der Lagrange-Form nicht gelöst wird, bleibt es in der Hamilton-Form so.
@Vladimir: Sie sind alle gleichermaßen grundlegend, da die Formulierungen völlig gleichwertig sind (natürlich müssen die üblichen Bedingungen für Konvexität usw. erfüllt sein). Auf diese Weise können Sie entscheiden, welche Formulierung für das jeweilige Problem die beste ist. Aber genau das hat auch Luboš gesagt, damit ich nicht verstehe, womit Sie nicht einverstanden sind ...

Wouter · Answer 2

Legendre-Transformationen werden häufig in der Thermodynamik (zum Umschalten zwischen verschiedenen unabhängigen Variablen) und in der klassischen Mechanik (zum Umschalten zwischen den Lagrange- und Hamilton-Formalismen) verwendet. Aber Sie fragen zu Recht: Was genau ist eine Legendre-Transformation? Woher kommt das? Was bringt es zum Laufen?

In der (1D) klassischen Mechanik zum Beispiel: Wenn wir einen Lagrange haben $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L. (q, \dot{q} [, t]])$ , warum können wir eine Variable definieren

p = \frac{\partial L.}{\partial \dot{q}}

und erwarten, in der Lage zu sein, eine neue Funktion zu konstruieren (der Hamiltonianer )

H. (q, p [, t]]) = p \dot{q} - - L. (q, \dot{q} [, t]])

das verhält sich gut? Welche Beziehung besteht zwischen beiden Funktionen?

Schauen wir uns den Lagrange und den Hamilton als Beispiel an. Ich werde es ziemlich abstrakt / allgemein halten, aber die Notation von Lagrangian / Hamiltonian kann helfen, die Dinge konkreter und klarer zu machen.

Eine Sache, die ich jedoch tun werde, ist, die explizite Zeitabhängigkeit wegzulassen. Es ist für unsere Analyse nicht wichtig und meistens gibt es tatsächlich keine explizite Zeitabhängigkeit. Außerdem werde ich bezeichnen $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ weniger Wert auf die Beziehung zu legen $q$ $q$ $q$ , da es für die Legendre-Transformation nicht wichtig ist.

Was brauchen wir also für eine Legendre-Transformation?

Zunächst benötigen wir zwei Variablen $v$ $v$ $v$ , $p$ $p$ $p$ das sind einwertige Funktionen voneinander. Ein anderer Weg, dies auszudrücken, ist der $p$ $p$ $p$ muss eine monotone Funktion von sein $v$ $v$ $v$ und umgekehrt. Abbildung 1 zeigt ein Beispiel für eine solche Funktion.

v und p sind einwertige Funktionen voneinander
Abbildung 1. Beispiel einer einwertigen Beziehung zwischen $v$ $v$ $v$ und $p$ $p$ $p$ .

Für solche Variablen ist es immer möglich, ein Funktionspaar mit der Eigenschaft zu konstruieren, dass die Differenzierung einer der Funktionen in Bezug auf eine der Variablen die zweite Variable ergibt. Entsprechend ergibt die Ableitung der zweiten Funktion in Bezug auf diese zweite Variable die erste Variable.

In unserem Beispiel der klassischen Mechanik können wir die Funktionen für unsere beiden Variablen konstruieren $v$ $v$ $v$ und $p$ $p$ $p$ sind die Lagrange $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L. (q, v)$ und der Hamiltonianer $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H. (q, p)$ . $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ Sie erfüllen (per Definition) die unterschiedlichen Beziehungen

\begin{aligned} \frac{\partial L.}{\partial v} & = p \\ \frac{\partial H.}{\partial p} & = v \end{aligned}

Warum funktioniert es?

Warum können wir solche Funktionen konstruieren? Schauen Sie sich Abbildung 1 noch einmal an. Die Art und Weise, wie das Diagramm aufgebaut ist, sieht aus wie ein Diagramm von $p$ $p$ $p$ als Funktion von $v$ $v$ $v$ . Also, wenn wir diese Funktion zwischen integrieren $0$ $0$ $0$ und etwas Wert $v$ $v$ $v$ (in der Grafik gezeigt), die Antwort, die wir erhalten, ist der orangefarbene Bereich unter der Kurve. Dieses Integral ist unsere erste Funktion! In der Tat, wenn wir zur Notation unseres klassischen Beispiels zurückkehren (ich werde das weglassen $q$ $q$ $q$ Abhängigkeit von nun an):

L. (v) = \int_{0}^{v} p (v^{'}) d v^{'}

da

\frac{\partial L.}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} \int_{0}^{v} p (v^{'}) d v^{'} = p .

Betrachten wir nun die Kurve in Abbildung 1 als $v$ $v$ $v$ als Funktion von $p$ $p$ $p$ (Drehen Sie die Grafik um, wenn dies für Sie klarer wird.) Wir können eine ähnliche Argumentation anstellen. Diesmal integrieren wir zwischen $0$ $0$ $0$ und $p$ $p$ $p$ wo $p$ $p$ $p$ wurde ausgewählt, um unserem früheren zu entsprechen $v$ $v$ $v$ . $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ Dieses Integral ist unsere zweite Funktion; In Bezug auf unser klassisches 1D-Beispiel:

H. (p) = \int_{0}^{p} v (p^{'}) d p^{'} .

Möglicherweise haben Sie bemerkt, dass wir ein Rechteck mit den Integralen (und damit den beiden Funktionen) beschrieben haben $L$ $L$ $L.$ und $H$ $H$ $H.$ ). Dieses Rechteck hat eine Gesamtfläche von $p \cdot v$ $p \cdot v$ $p \cdot v$ . Wir haben aber auch die Oberfläche in zwei Teilen berechnet: Grün und Orange. Die Summe von beiden muss daher gleich sein $p v$ $p v$ $p v$ . Dies ergibt die Legendre-Transformation

L. (v) + H. (p) = p v

oder

H. (p) = p v - - L. (v)

.

Wie funktioniert eine Legendre-Transformation in der Praxis?

Hier ist ein 3-Stufen-Plan:

Beginnen Sie mit Ihrer ersten Funktion, z $L (v)$ $L (v)$ $L. (v)$ . $[$ $[$ $[$ oder $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U. (S.)$ für ein thermodynamisches Beispiel $]$ $]$ $]$ $]]$
Finden Sie die konjugierte Variable durch Differenzierung:
$p = \frac{\partial L.}{\partial v} [T. = \frac{\partial U.}{\partial S.}]]$
Konstruieren Sie die zweite Funktion
$H. (p) = p \cdot v - - L. (v) [(- - F. (T.)) = T. \cdot S. - - U. (S.)]]$
und fügen Sie die konjugierte Variable ein, wo immer Sie können, dh ersetzen $v$ $v$ $v$ $[S]$ $[S]$ $[S]$ $[S]$ $[S.]]$ mit dem Ausdruck $v (p)$ $v (p)$ $v (p)$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S. (T.)]]$ während des gesamten Ausdrucks.

Teilweise aus Abbildung 1 sollte nun klar sein, dass sich die beiden Funktionen nicht nur im Allgemeinen voneinander unterscheiden, sondern die Dinge aus einer anderen Perspektive beschreiben (wir mussten die Kurve in Abbildung 1 einmal als Funktion betrachten $p (v)$ $p (v)$ $p (v)$ und einmal als Funktion $v (p)$ $v (p)$ $v (p)$ ). Die Funktionen ergänzen sich und ihre enge Beziehung wird durch eine Legendre-Transformation bestimmt.

$^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ Dies sind auch Funktionen von $q$ $q$ $q$ , aber das ist nicht wichtig. Sie können Funktionen einer beliebigen Anzahl unterschiedlicher Variablen sein, obwohl ihre Liste der Variablen mit Ausnahme von offensichtlich dieselbe ist $v$ $v$ $v$ und $p$ $p$ $p$ . In der Tat ändert die Legendre-Transformation keine der anderen Abhängigkeiten. Wenn dies jetzt nicht klar ist, sollte dies im weiteren Verlauf dieser Erklärung der Fall sein.

$^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ Beachten Sie, dass hier die Einwertigkeit der Beziehung zwischen $v$ $v$ $v$ und $p$ $p$ $p$ Wird benötigt. Wenn $v (p)$ $v (p)$ $v (p)$ war eine Parabel zum Beispiel, dann würde es Unklarheiten darüber geben, über welche $p$ $p$ $p$ entspricht dem $v$ $v$ $v$ wir verwendeten.

Dies ist die klarste Erklärung, die ich je gesehen habe. Vielen Dank

Nick Alger · Answer 3

Es ist an sich keine "physische" Intuition, aber ich finde die konvexe Analyse der Legendre-Transformation am aufschlussreichsten.

Eine konvexe Menge wird eindeutig durch ihre unterstützenden Hyperebenen bestimmt, und die Legendre-Transformation ist eine Codierung der konvexen Hülle des Epigraphs einer Funktion in Bezug auf die unterstützenden Hyperebenen. Wenn die Funktion konvex und differenzierbar ist, entsprechen die unterstützenden Hyperebenen an jedem Punkt der Ableitung, sodass die Legendre-Transformation eine Neukodierung der Informationen einer Funktion in Bezug auf ihre Ableitung ist.

Hier sind einige Links, die das Konzept veranschaulichen:

http://jmanton.wordpress.com/2010/11/21/introduction-to-the-legendre-transform/ (ausführliche Erklärung)

http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/NAIA07/naia07_h3_slides.pdf (rechnerische Perspektive)

http://maze5.net/?page_id=733 (grafische / visuelle Erklärung auf meiner Website. Nicht so fortgeschritten, aber mit vielen Bildern)

Dies ist eine wahre und nützliche Sichtweise, aber entscheidend ist nicht, warum die Transformation eine Involution ist.

Physikalische Bedeutung der Legendre-Transformation

gsAllan

Vladimir Kalitvianski

Tim

Zhuoran He

Antworten (3)

Luboš Motl

Vladimir Kalitvianski

Marek

Wouter

Was brauchen wir also für eine Legendre-Transformation?

Warum funktioniert es?

Wie funktioniert eine Legendre-Transformation in der Praxis?

Ranza

Nick Alger

Jess Riedel

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