Satz von Hamiltonian Noether in der klassischen Mechanik [Duplikat]

Question

Satz von Hamiltonian Noether in der klassischen Mechanik [Duplikat]

Physik
Symmetrie
Noethers-theorem
Naturschutzgesetze
Klassische-mechanik
Hamilton-formalismus

bolbteppa

Diese Frage hat hier bereits eine Antwort:

Eine Art Noether-Theorem für den Hamilton-Formalismus 2 antwortet

Wie denkt man über Noethers Theorem im klassischen mechanischen Hamiltonschen Formalismus nach und wendet es an?

Aus der Lagrange-Perspektive besagt der Noether-Satz (in 1-D) , dass die Menge

\sum_{ich = 1}^{n} \frac{\partial L.}{\partial (\frac{d y_{ich}}{d x})} \frac{\partial y_{ich}^{*}}{\partial ε} - - [\sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial L.}{\partial (\frac{d y_{j}}{d x})} \frac{d y_{j}}{\partial x} - - L.]] \frac{\partial x^{*}}{\partial ε}

ist erhalten, wenn der Lagrange $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L (x, y_{i}, y_{i}^{'})$ $L. (x, y_{ich}, y_{ich}^{'})$ ist unter einer kontinuierlichen Ein-Parameter-Gruppe von infinitesimalen Transformationen der Form invariant

T. (x, y_{ich}, ε) = (x^{*}, y_{ich}^{*}) = (x^{*} (x, y_{ich}, ε), y_{ich}^{*} (x, y_{ich}, ε) .

Aus der Handlungsperspektive besagt der Satz von Noether die Gleichheit der 1-Formen:

L. (x, y_{ich}, y_{ich}^{'}) d x = \sum_{j = 1}^{n} p_{ich} d y_{j} - - H. d x = L. (x^{*}, y_{ich}^{*}, y_{ich}^{' *}) d x^{*} = \sum_{ich = 1}^{n} p_{ich} d y_{ich}^{*} - - H. d x^{*}

Dies kann verwendet werden, um (additive) Symmetrien gut zu bestimmen.

Wie verwende ich diesen Formalismus, um den Hamiltonschen Noether-Satz in einem allgemeinen Kontext zu verstehen? Ich werde normalerweise eine Behauptung sehen, dass $d A / d t = [H, A]$ $d A / d t = [H, A]$ $d A / d t = [H, A]$ $d A / d t = [H, A]$ $d A / d t = [H, A]$ $d A / d t = [H, A]$ $d A / d t = [H, A]$ $d A / d t = [H, A]$ $d EIN /. d t = [H., EIN]]$ ist der Satz von Hamiltonian Noether, und ich kann dies im Zusammenhang mit meiner obigen Beschreibung von Noether nicht verstehen. Dies scheint die Poisson-Klammern als Teil von Noether von dem abzuleiten, was ich oben entwickelt habe, aber ich kann nicht viel Sinn daraus machen, um ehrlich zu sein. Ich bin sicher, dass die Antwort die lokale Tangentenvektorstruktur der Lie-Algebra verknüpfen soll die globale Lie-Gruppentransformation im Lagrange, aber zu sagen, dass in Worten eine Sache ist, in Mathematik eine andere.

Beachten Sie, dass diese (und andere) alten Stapelpfosten die Frage nicht beantworten:

Verweise:

Bergmann - Einführung in die Relativitätstheorie, Anhang

Christoph

das Schlüsselwort, nach dem gesucht werden muss, wäre "Momentkarte"; siehe zB ncatlab.org/nlab/show/…

Qmechanic ♦

Diese Frage ist im Wesentlichen ein Duplikat von physics.stackexchange.com/q/69271/2451

bolbteppa

Die Antwort, nach der ich gesucht habe, ist in Greiners Feldquantisierungsbuch enthalten, wenn jemand interessiert ist.

ACuriousMind ♦

Könnten Sie dann Ihre Antwort posten ? Ich bin mir nicht mal sicher, was Ihre Frage hier wirklich ist - da in der Tat

\partial_{t} A = {H, A}

\partial_{t} A = {H, A}

\partial_{t} A = {H, A}

\partial_{t} A = {H, A}

\partial_{t} A = {H, A}

\partial_{t} A = {H, A}

\partial_{t} A = {H, A}

\partial_{t} A = {H, A}

\partial_{t} EIN = {H., EIN}}

, die Noether-Ladung

A

A

EIN

Das Erzeugen der Symmetrie bleibt fast per Definition einer Symmetrie erhalten. Für den Satz von Noether als Hamilton-Aktionsprinzip hat Qmechanic ein geeignetes Duplikat verknüpft.

Qmechanic ♦

Welche Seite in Field Quantization von Greiner et. al.?

Antworten (1)

Satz von Hamiltonian Noether in der klassischen Mechanik [Duplikat]

das Schlüsselwort, nach dem gesucht werden muss, wäre "Momentkarte"; siehe zB ncatlab.org/nlab/show/…
Diese Frage ist im Wesentlichen ein Duplikat von physics.stackexchange.com/q/69271/2451
Die Antwort, nach der ich gesucht habe, ist in Greiners Feldquantisierungsbuch enthalten, wenn jemand interessiert ist.
Könnten Sie dann Ihre Antwort posten ? Ich bin mir nicht mal sicher, was Ihre Frage hier wirklich ist - da in der Tat $\partial_{t} A = {H, A}$ $\partial_{t} A = {H, A}$ $\partial_{t} A = {H, A}$ $\partial_{t} A = {H, A}$ $\partial_{t} A = {H, A}$ $\partial_{t} A = {H, A}$ $\partial_{t} A = {H, A}$ $\partial_{t} A = {H, A}$ $\partial_{t} EIN = {H., EIN}}$ , die Noether-Ladung $A$ $A$ $EIN$ Das Erzeugen der Symmetrie bleibt fast per Definition einer Symmetrie erhalten. Für den Satz von Noether als Hamilton-Aktionsprinzip hat Qmechanic ein geeignetes Duplikat verknüpft.

JonHerman · Answer 1

Der Satz von Noether in der Hamiltonschen Mechanik sagt dasselbe wie der Satz von Noether in der Lagrange-Umgebung unter der Legendre-Transformation.

Ein Hamilton-System ist ein Triple $(M, ω, H)$ $(M, ω, H)$ $(M, ω, H)$ $(M, ω, H)$ $(M, ω, H)$ $(M, ω, H)$ $(M., ω, H.)$ wo $(M, ω)$ $(M, ω)$ $(M, ω)$ $(M, ω)$ $(M., ω)$ ist eine symplektische Mannigfaltigkeit und $H$ $H$ $H.$ ist der Hamiltonianer. Sie definieren eine kontinuierliche Symmetrie in der Hamilton-Einstellung als Vektorfeld $V$ $V$ $V.$ das bewahrt beides $ω$ $ω$ $ω$ und $H$ $H$ $H.$ . Das ist wenn $θ_{t}$ $θ_{t}$ $θ_{t}$ $θ_{t}$ $θ_{t}$ ist der Fluss von $V$ $V$ $V.$ , dann $θ_{t}^{*} ω = ω$ $θ_{t}^{*} ω = ω$ $θ_{t}^{*} ω = ω$ $θ_{t}^{*} ω = ω$ $θ_{t}^{*} ω = ω$ $θ_{t}^{*} ω = ω$ $θ_{t}^{*} ω = ω$ $θ_{t}^{*} ω = ω$ $θ_{t}^{*} ω = ω$ und $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H = H$ $θ_{t}^{*} H. = H.$ .

Eine konservierte Menge ist nur eine reibungslose Funktion, mit der Poisson pendelt $H$ $H$ $H.$ . Das ist eine Funktion $G : M \to R$ $G : M \to R$ $G : M \to R$ $G : M \to R$ $G :: M. \to R.$ so dass ${G, H} = 0 = {H, G}$ ${G, H} = 0 = {H, G}$ ${G, H} = 0 = {H, G}$ ${G, H} = 0 = {H, G}$ ${G, H} = 0 = {H, G}$ ${G, H} = 0 = {H, G}$ ${G, H.}} = 0 = {H., G}}$ .

Der Satz von Noether besagt, dass diese in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung stehen.

Es tut mir leid, aber (ganz und gar meine Schuld) ich sehe absolut keine Beziehung zwischen dieser und der Beschreibung von Noether in meinem Beitrag, außer dass Sie sagen, dass der Tangentenvektor die Ableitung dessen ist, was ich nenne $T$ $T$ $T.$ ist der Generator einer Symmetrie von $H$ $H$ $H.$ (Aus irgendeinem Grund verstehe ich nicht warum). In meiner (und Gelfands) Aussage von Noether berührt die Symmetrie nicht einmal den Hamilton-Operator, und Poisson-Klammern erscheinen einfach aus dem Nichts. Ich denke, es könnte eine nette Verbindung geben, wenn es eine allgemeine Version von Heisenbergs Gleichungen in der Variationsrechnung gibt:

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Christoph

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