Schwarzschild-Geometrie in Schwarzschild-Koordinaten ( t , r , θ , ϕ ) ist zeitsymmetrisch
d s 2 = - ( 1 - 2 G M. c 2 r ) c 2 d t 2 + ( 1 - 2 G M. c 2 r ) - 1 d r 2 + r 2 ( d θ 2 + Sünde 2 θ d ϕ 2 ) .
Das Novikov-Koordinatensystem wird durch eine Reihe von geodätischen Uhren definiert. Die Koordinatenuhren fallen frei aus einem maximalen Radius r m gegenüber r = 0 , wo r m ist für jede Uhr unterschiedlich. Alle Uhren fallen zur gleichen Schwarzschild-Zeit t 0 und sie sind so synchronisiert, dass jede Uhr zeigt 0 beim r m . Die Novikov-Koordinate ist so definiert, dass sie entlang der Flugbahn jeder Uhr konstant bleibt, während für die Zeitkoordinate die richtige Zeit verwendet wird.
Von nun an wird die Winkelteilmetrik weggelassen, da sie gleich bleibt. Wir nehmen auch r s = 2 M. und G = c = 1 ::
d s 2 = - ( 1 - r s r ) d t 2 + ( 1 - r s r ) - 1 d r 2 .
Geodäten in der Schwarzschild-Gometrie
Um die Gleichung der Geodäten in der Schwarzschild-Geometrie zu erhalten, müssen wir die Bewegungsgleichungen eines freien Teilchens lösen:
L = 1 2 m g μ ν x ˙ μ x ˙ ν ,
x ˙ μ = d x μ d τ = u μ .
L = - m 2 ( 1 - r s r ) t ˙ 2 + ( 1 - r s r ) - 1 r ˙ 2 ,
d d τ ∂ L. ∂ x ˙ μ - ∂ L. ∂ x μ = 0 ,
Zum
μ = 0 Wir bekommen eine Konstante der Bewegung
∂ ∂ τ [ ( 1 - r s r ) t ˙ ] = 0 ⇒ ( 1 - r s r ) t ˙ = a ,
Für zeitähnliche Geodäten: d s 2 = - d τ 2 Die radiale geodätische Gleichung wird
( d τ d r ) 2 = 1 ein 2 - ( 1 - r s r ) .
Maximaler Radius ist (
d r / d τ = 0 )
r m = r s 1 - a 2 .
Wir gebrauchen
d t d r = d t d τ d τ d r und erhalten die folgenden Beziehungen:
\ begin {eqnarray}
\ frac {d \ tau} {dr} & = & \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {\ frac {r_s} {r} - \ frac {r_s} {r_m}}} \; \ label {eq: orbit1} \
\ frac {dt} {dr} & = & \ frac {\ varepsilon \ sqrt {1- \ frac {r_s} {r_m}}} {\ left (1- \ frac {r_s} {r} \ right) \ sqrt {\ frac {r_s} {r} - \ frac {r_s} {r_m}}} \;, \ label {eq: orbit2}
\ end {eqnarray}
wo
ε ist
+ 1 oder
- 1 . Für fallende Partikel wählen wir
ε = - 1 .
Novikov Zeitkoordinate
Wir verwandeln uns zuerst von ( r , t ) zu ( r , τ ) . Aus den letzten beiden Gleichungen erhalten wir für d τ ( d t , d r )
d τ = ( 1 - r s r m ) 1/2 d t + ( r s r - r s r m ) 1/2 1 - r s r d r .
wo wir angenommen haben
t sind
r bekannt.
Dies kann von integriert werden r zu r m , wo wir berücksichtigen, dass alle Uhren ihren maximalen Radius bei erreichen τ 0 i = 0 . Es folgt
τ = ( 1 - r s r m ) 1/2 ( t - t 0 ) + ∫ r r m ( r s y - r s r m ) 1/2 1 - r s y d y .
maximaler Radius r m ist hier eine Funktion von r und \ tau $. Ihre implizite Beziehung ist
τ = - f ( r , r m ) ,
wo
\ begin {Gleichung}
f (r, r_m) = \ int_ {r_m} ^ {r} \ frac {dy} {\ sqrt {\ frac {r_s} {y} - \ frac {r_s} {r_m}}} \ label {eq: Integral3 }}
= - \ left [\ frac {rr_m} {r_s} (r_m-r) \ right] ^ {1/2} - \ frac {r_m ^ {3/2}} {\ sqrt {r_s}} \ arccos \ left [\ left (\ frac {r} {r_m} \ right) ^ {1/2} \ right] \ ;. \ label {eq: f}
\ end {Gleichung}
Wir können jetzt die Koordinate beseitigen t aus dem Linienelement
d s 2 = - d τ 2 + 1 1 - r s r m [ - d r - ( r s r - r s r m ) 1/2 d τ ]] 2 .
Novikov Radialkoordinate
Für die Radialkoordinate nehmen wir den maximalen Schwarzschild-Radius r m , die entlang der Weltlinie einer geodätischen Uhr konstant bleibt.
- d r - ( r s r - r s r m ) 1/2 d τ = ( r s r - r s r m ) 1/2 ∂ f ∂ r m d r m .
Damit können wir die andere Schwrazschild-Koordinate eliminieren
r ::
d s 2 = - d τ 2 + [ g ( r , r m ) ] 2 1 - r s r m d r 2 m .
Hier wir
G ( r , r m ) ist das Folgende
G ( r , r m ) = - ( r s r - r s r m ) 1/2 ∂ f ∂ r m = 1 + 1 2 ( 1 - r r m ) - 3 4 ( r m r - 1 ) 1/2 [ Sünde - 1 ( 2 r r m - 1 ) - π 2 ]] .
r ist keine Radialkoordinate mehr, sondern eine metrische Funktion von Koordinaten
r m und
τ , was implizit durch Gleichung () gegeben ist.
Novikov-Metrik
Durch die Einführung r m Die Metrik wurde diagonal wie in Schwarzschild-Koordinaten. Es bleibt auch diagonal, indem eine neue Radialkoordinate eingeführt wird, die nur funktional mit der alten verwandt ist. Novikovs Wahl ist r ∗ mit der folgenden monotonen Beziehung zu r m ::
r ∗ = ( r m r s - 1 ) 1/2 .
Die Metrik wird jetzt
d s 2 = - d τ 2 + 4 r 2 s ( r ∗ 2 + 1 ) [ g ( r , r ∗ ) ] 2 d r ∗ 2 .
Wir können zeigen, dass auch das Folgende gilt
4 M. G ( r , r ∗ ) = 1 r ∗ ∂ r ∂ r ∗ .
Damit erhält die Metrik die in der Literatur übliche Form [MTW, S. 826]:
d s 2 = - d τ 2 + ( r ∗ 2 + 1 r ∗ 2 ) ( ∂ r ∂ r ∗ ) 2 d r ∗ 2 + r 2 ( d θ 2 + Sünde 2 θ d ϕ 2 ) ,
wo wir auch den eckigen Teil aufgenommen haben.
Beziehungen zwischen Koordinaten
Wir geben nun die Beziehungen zwischen Schwarzschild-Koordinaten an ( t , r ) und Novikov Koordinaten ( τ , r ∗ ) . Der erste, r = ( τ , r ∗ ) wird aus den Gleichungen () und () erhalten
τ = r s ( r ∗ 2 + 1 ) [ r r s - ( r / r s ) 2 r ∗ 2 + 1 ]] 1/2 + r s ( r ∗ 2 + 1 ) 3/2 Arccos [ ( r / r s r ∗ 2 + 1 ) 1/2 ]] .
Der zweite,
t = ( τ , r ∗ ) wird durch Integration von () erhalten
\ begin {Gleichung} t = r_s \ ln \ left | \ frac {r ^ * + \ left (\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ } ^ 2 + 1 \ right) -1 \ right) ^ {1/2}} {r ^ - \ left (\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ *} ^ 2 + 1 \ right) -1 \ right) ^ {1/2}} \ rechts | + r_sr ^ \ links [\ links ({r ^ } ^ 2 + 3 \ rechts) \ arctan \ links (\ frac {r_s} {r} \ links ({r ^ } ^ 2 + 1 \ rechts) - 1 \ rechts) ^ {1/2} + \ links ({r ^ } ^ 2 + 1 \ rechts) \ frac {\ sqrt {\ frac {r_s} {r} \ links ({r ^ *} ^ 2+) 1 \ rechts) -1}} {\ frac {r_s} {r} \ links ({r ^ *} ^ 2 + 1 \ rechts)} \ rechts] \;. \ end {Gleichung}
Ron Maimon
Ron Maimon
Jerry Schirmer
Jerry Schirmer
Robert Filter