Faktor 4 (oder 2) im gravitoelektromagnetischen (GEM) Lorentz-Kraftgesetz. Welches ist richtig? Warum ist es dort?

Question

Faktor 4 (oder 2) im gravitoelektromagnetischen (GEM) Lorentz-Kraftgesetz. Welches ist richtig? Warum ist es dort?

Physik
Gauß-gesetz
Gravitationswellen
Maxwell-gleichungen
Linearisierte-theorie
Generelle-relativität

robert bristow-johnson

Mir ist klar, dass die gravitoelektromagnetischen Gleichungen ( GEM ) aus der Einstein-Feldgleichung (EFE) im entarteten Fall einer relativ flachen Raumzeit abgeleitet werden, was für die Ausbreitung von Gravitationswellen im freien Raum der Fall ist, der ziemlich weit von bösen Stellen wie Schwarzen Löchern entfernt ist oder Neutronensterne oder dergleichen.

Jetzt verstehe ich Maxwells Gleichungen ziemlich gut und wie man EM-Strahlung ableitet (mit der Wellengeschwindigkeit von $c$ $c$ $c$ ) von ihnen. Ich verstehe die elektromagnetische Kraft auch als Manifestation der einzigen elektrostatischen Kraft, wobei jedoch die Folgen einer speziellen Relativitätstheorie berücksichtigt werden.

In beiden Fällen, EM und GEM, haben wir im Grenzfall eine statische Wechselwirkung mit inversem Quadrat und eine dynamische Wechselwirkung, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit von ausbreitet $c$ $c$ $c$ . Die inverse Quadrat-Wechselwirkung führt zum Gaußschen Gesetz und zum Differentialgegenstück (Divergenz) in den Maxwellschen Gleichungen (oder in den GEM-Gleichungen).

Okay, nur zum Vergleich sind die statischen EM- und Gravitations-Inverse-Square-Gesetze:

{F.}_{e} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}

und

{F.}_{G} = - - G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

In beiden Fällen eine positive Kraft $F_{e}$ $F_{e}$ $F_{e}$ $F_{e}$ ${F.}_{e}$ oder $F_{g}$ $F_{g}$ $F_{g}$ $F_{g}$ ${F.}_{G}$ ist abstoßend. Aus diesem Grund muss das Minuszeichen angebracht werden $G$ $G$ $G$ im statischen Gravitationsgesetz.

Dann sind Maxwells Gleichungen für EM:

\begin{aligned} \nabla \cdot E. & = \frac{1}{ϵ_{0}} ρ \\ \nabla \cdot B. & = 0 \\ \nabla \times E. & = - - \frac{1}{c} \frac{\partial B.}{\partial t} \\ \nabla \times B. & = \frac{1}{c} (\frac{1}{ϵ_{0}} ρ v_{ρ} + \frac{\partial E.}{\partial t}) \end{aligned}

und die GEM-Gegenstücke:

\begin{aligned} \nabla \cdot {E.}_{G} & = - - 4 π G ρ \\ \nabla \cdot {B.}_{G} & = 0 \\ \nabla \times {E.}_{G} & = - - \frac{1}{c} \frac{\partial {B.}_{G}}{\partial t} \\ \nabla \times {B.}_{G} & = \frac{1}{c} (- - 4 π G ρ v_{ρ} + \frac{\partial {E.}_{G}}{\partial t}) \end{aligned}

Im EM-Fall habe ich beseitigt $μ_{0}$ $μ_{0}$ $μ_{0}$ $μ_{0}$ $μ_{0}$ und drückte es in Bezug auf $ϵ_{0}$ $ϵ_{0}$ $ϵ_{0}$ $ϵ_{0}$ $ϵ_{0}$ und $c$ $c$ $c$ . In beiden Fällen habe ich die Stromdichte ausgedrückt $J$ $J$ $J.$ als Ladungsdichte (oder Massendichte) multipliziert mit der Geschwindigkeit der Differenzladung oder Masse. Und in beiden Fällen habe ich in Lorentz-Heaviside-Einheiten ausgedrückt , die die $B$ $B$ $B.$ Feld haben die gleichen Abmessungen (und Einheiten) wie das $E$ $E$ $E.$ Feld. Dies steht im Einklang mit den meisten Veröffentlichungen, die sich mit GEM befassen.

Sowohl der inverse Quadrat- als auch der EM / GEM-Ausdruck stimmen vollständig mit dem Ersetzen von Ladung durch Masse, Ladungsdichte durch Massendichte und überein $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ $\frac{1}{4 π ϵ_{0}}$ mit $- G$ $- G$ $- - G$ . Beide EM / GEM-Gleichungssysteme degenerieren zu den inversen Quadratgesetzen und zu einer Wechselwirkung, die sich mit einer Geschwindigkeit von ausbreitet $c$ $c$ $c$ .

Bisher stimmt dies mit den Ausdrücken für EM oder GEM in den Wikipedia-Artikeln zu beiden überein. Der Unterschied ergibt sich aus den Lorentz-Kraftgleichungen , die auf eine kleine Testladung wirken $q$ $q$ $q$ oder kleine Testmasse $m$ $m$ $m$ (Bewegung mit einer Geschwindigkeit unabhängig von der Ladungsstromdichte oder Massenstromdichte oben):

Für EM ist es:

{F.}_{e} = q E. + \frac{q}{c} v_{q} \times B.

Für GEM heißt es im Wikipedia-Artikel:

{F.}_{G} = m {E.}_{G} + \frac{m}{c} v_{m} \times (4 {B.}_{G})

Der erste Begriff (rechts vom " $=$ $=$ $=$ "Zeichen) ist die elektrostatische oder statische Gravitationskraft und der letztere Begriff ist die elektromagnetische oder gravitomagnetische Kraft.

Nun, für die GEM Lorentz-Kraft, woher kommt dieser Faktor? $4$ $4$ $4$ komme aus? Und es gibt andere Papiere , die die GEM-Gleichungen wie oben zeigen, aber einen Faktor von haben $2$ $2$ $2$ stattdessen:

{F.}_{G} = m {E.}_{G} + \frac{m}{c} v_{m} \times (2 {B.}_{G})

oder kein Fudge-Faktor in der Lorentz-Kraft, aber a $\frac{1}{2} B_{g}$ $\frac{1}{2} B_{g}$ $\frac{1}{2} B_{g}$ $\frac{1}{2} B_{g}$ $\frac{1}{2} B_{g}$ $\frac{1}{2} B_{g}$ $\frac{1}{2} B_{g}$ $\frac{1}{2} B_{g}$ $\frac{1}{2} {B.}_{G}$ in der GEM , die gleichwertig ist.

Ich weiß auch nicht warum $4$ $4$ $4$ oder der $2$ $2$ $2$ würde darauf eingehen, aber ich würde gerne wissen, wer richtig ist; das $4 B_{g}$ $4 B_{g}$ $4 B_{g}$ $4 B_{g}$ $4 {B.}_{G}$ Anwälte oder die $2 B_{g}$ $2 B_{g}$ $2 B_{g}$ $2 B_{g}$ $2 {B.}_{G}$ Anwälte?

Antworten (1)

Faktor 4 (oder 2) im gravitoelektromagnetischen (GEM) Lorentz-Kraftgesetz. Welches ist richtig? Warum ist es dort?

Qmechanic · Answer 1

TL; DR: Der Faktor von $4$ $4$ $4$ in der Lorentz-Kraft ergibt sich moralisch gesehen aus dem Versuch, ein Spin-2-Feld als Spin-1-Feld nachzuahmen. Es gibt keine eindeutige / kanonische / "korrekte" Normalisierungskonvention: Es ist weiterhin möglich, die Felder zu normalisieren / zu skalieren $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ , $A$ $A$ $EIN$ , $E$ $E$ $E.$ & $B$ $B$ $B.$ , wie es uns gefällt, aber das bewegt nur den Faktor von $4$ $4$ $4$ herum: Es verschwindet nicht überall!

Im Detail:

Betrachten Sie die linearisierte EFE $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$
$\begin{matrix} (1) & G^{μ ν} = - - \frac{1}{2} ◻ {\bar{h}}^{μ ν} = κ {T.}^{μ ν}, κ \equiv \frac{8 π G}{c^{4}}, \end{matrix}$ in der Lorenz-Spur $\begin{matrix} (2) & \partial_{μ} {\bar{h}}^{μ ν} = 0. \end{matrix}$ Hier $\begin{matrix} (3) & G_{μ ν} = η_{μ ν} + h_{μ ν}, {\bar{h}}_{μ ν} : = h_{μ ν} - - \frac{1}{2} η_{μ ν} h \Leftrightarrow h_{μ ν} : = {\bar{h}}_{μ ν} - - \frac{1}{2} η_{μ ν} \bar{h} . \end{matrix}$ Es wird angenommen, dass es sich um Staub handelt : $\begin{matrix} (4) & {T.}^{μ 0} = c j^{μ}, j^{μ} = [\begin{matrix} c ρ \\ J. \end{matrix}]], {T.}^{ich j} = Ö (c^{0}) . \end{matrix}$
In unserer Konvention lautet der GEM- Ansatz
${EIN}^{μ} = [\begin{matrix} ϕ /. c \\ EIN \end{matrix}]], {\bar{h}}^{ich j} = Ö (c^{- - 4}),$ $- - \frac{1}{4} {\bar{h}}^{μ ν} = {[\begin{matrix} ϕ /. c^{2} & {EIN}^{T.} /. c \\ EIN /. c & Ö (c^{- - 4}) \end{matrix}]]}_{4 \times 4} \Leftrightarrow - - h^{μ ν} = {[\begin{matrix} 2 ϕ /. c^{2} & 4 {EIN}^{T.} /. c \\ 4 EIN /. c & (2 ϕ /. c^{2}) 1_{3 \times 3} \end{matrix}]]}_{4 \times 4}$ $\begin{matrix} (5) & \Leftrightarrow G_{μ ν} = {[\begin{matrix} - - 1 - - 2 ϕ /. c^{2} & 4 {EIN}^{T.} /. c \\ 4 EIN /. c & (1 - - 2 ϕ /. c^{2}) 1_{3 \times 3} \end{matrix}]]}_{4 \times 4} . \end{matrix}$ Das Gravitations-Lorenz-Messgerät (2) entspricht dem Lorenz-Messgerät-Zustand $\begin{matrix} (6) & c^{- - 2} \partial_{t} ϕ + \nabla \cdot EIN \equiv \partial_{μ} {EIN}^{μ} = 0 \end{matrix}$ und die "elektrostatische Grenze" $\begin{matrix} (7) & \partial_{t} EIN = Ö (c^{- - 2}) . \end{matrix}$
Definieren Sie als nächstes die Feldstärke
$\begin{matrix} (8) & {F.}_{μ ν} : = \partial_{μ} {EIN}_{ν} - - \partial_{ν} {EIN}_{μ}, - - E. : = \nabla ϕ + \partial_{t} EIN, B. : = \nabla \times EIN . \end{matrix}$ Dann werden die tempotemporalen und die raumzeitlichen Sektoren des linearisierten EFE (1) zu den Gravitationsgleichungen von Maxwell mit Quellen $\begin{matrix} (9) & \partial_{μ} {F.}^{μ ν} = \frac{4 π G}{c} j^{μ} . \end{matrix}$ Beachten Sie, dass das Gravitationsfeld (elektrisches Feld) $E$ $E$ $E.$ sollte für eine positive Masse (Ladung) jeweils nach innen (außen) sein. Aus diesem Grund haben in dieser Antwort / OP / Wikipedia die GEM-Gleichungen (9) und die Maxwell-Gleichungen entgegengesetzt $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ Zeichen. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
Der Lagrange für ein massives Punktteilchen im gekrümmten Raum im statischen Messgerät $x^{0} = c t$ $x^{0} = c t$ $x^{0} = c t$ $x^{0} = c t$ $x^{0} = c t$ $x^{0} = c t$ $x^{0} = c t$ ist
$L. = - - m_{0} c \sqrt{- - G_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{μ}} \overset{(5)}{=} - - m_{0} c \sqrt{c^{2} + 2 ϕ - - 8 EIN \cdot v - - (1 - - 2 ϕ /. c^{2}) v^{2}}$ $\begin{matrix} (10) & = - - \frac{m_{0} c^{2}}{γ} \sqrt{1 + \frac{2 γ^{2}}{c^{2}} ((1 + v^{2} /. c^{2}) ϕ - - 4 v \cdot EIN)} \overset{(12)}{=} - - \frac{m_{0} c^{2}}{γ} - - U. + Ö ({EIN}^{2}), \end{matrix}$ $\begin{matrix} (11) & γ : = \frac{1}{\sqrt{1 - - v^{2} /. c^{2}}} . \end{matrix}$ Hier ist das geschwindigkeitsabhängige Potential für die Gravitations-Lorentz-Kraft $\begin{matrix} (12) & U. = m_{0} γ ((1 + v^{2} /. c^{2}) ϕ - - 4 v \cdot EIN) \overset{N. R.}{=} m_{0} (ϕ - - 4 v \cdot EIN) + Ö (v^{2}) . \end{matrix}$ Die Gravitations- Lorentz-Kraft befindet sich in der nicht-relativistischen (NR) Grenze $\begin{matrix} (13) & F. = \frac{d}{d t} \frac{\partial U.}{\partial v} - - \frac{\partial U.}{\partial r} \overset{N. R.}{\approx} m_{0} (- - \nabla ϕ + 4 (v \times B. - - \partial_{t} EIN)) \overset{(7)}{=} m_{0} (E. + 4 v \times B.) . \end{matrix}$

Verweise:

B. Mashhoon, Gravitoelektromagnetismus: Ein kurzer Rückblick, arXiv: gr-qc / 0311030 .

- -

$^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ In dieser Antwort verwenden wir die Minkowski-Zeichenkonvention $(-, +, +, +)$ $(-, +, +, +)$ $(- -, +, +, +)$ und arbeiten im SI-System. Raumindizes $i, j, \dots \in {1, 2, 3}$ $i, j, \dots \in {1, 2, 3}$ $ich, j, \dots \in {1, 2, 3}}$ sind römische Buchstaben, während Raumzeitindizes $μ, ν, \dots \in {0, 1, 2, 3}$ $μ, ν, \dots \in {0, 1, 2, 3}$ $μ, ν, \dots \in {0, 1, 2, 3}$ $μ, ν, \dots \in {0, 1, 2, 3}$ $μ, ν, \dots \in {0, 1, 2, 3}}$ sind griechische Buchstaben.

$^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ Warnung: In Mashhoon (Ref. 1) haben die GEM-Gleichungen (9) und die Maxwell-Gleichungen das gleiche Vorzeichen. Zum Vergleich in dieser Phys.SE-Antwort

ϕ = - - ϕ^{Mashhoon}, E. = - - {E.}^{Mashhoon},

\begin{matrix} (14) & EIN = - - \frac{1}{2 c} {EIN}^{Mashhoon}, B. = - - \frac{1}{2 c} {B.}^{Mashhoon} . \end{matrix}

Ich fügte +1 hinzu und markierte die Antwort mit einem Häkchen, obwohl ich nicht genug GR habe, um die Antwort zu dekodieren. so scheint es, dass " $4$ $4$ $4$ "Trotzdem. In dieser Antwort zeige ich, wie wenig dieser Elektrotechniker über Physik weiß, indem er ein Gedankenexperiment mit zwei Ladungslinien aufbaut und die Beschleunigung ihrer Abstoßung entweder durch die Magnetkraft oder durch Zeitdilatation verringert. Nun, wenn Sie ...
... ersetzen Sie diese beiden Ladungslinien durch Massenlinien und betrachten Sie ihre attraktive Beschleunigung im Fall der für Sie, den Beobachter, stationären Massenlinien und dann wieder mit ihnen, die sich relativ zu Ihnen, dem Beobachter, aus einem speziellen POV bewegen Relativitätstheorie würde die Beschleunigung genauso wie beim Magnetismus reduziert. aber aus dem POV der GEM-Gleichungen mit diesem Faktor von $4$ $4$ $4$ Würde das nicht bedeuten, dass die attraktive Beschleunigung um das Vierfache reduziert würde? Könnte diese attraktive Beschleunigung auf Null reduziert werden? oder sogar zu einer negativen Beschleunigung und Schwerkraft stößt die beiden Linien ab?
Okay, F, ich werde versuchen, eine separate Frage zu stellen, um diese Ungleichheit in meinem Verständnis zu beheben. es scheint mir nur, dass die gravito-magnetische Kraft viermal zu stark ist, und wenn ich an dieses einfache Paar unendlicher paralleler Massenlinien denke, scheint es mir, dass das gleiche Gedankenexperiment für GEM funktionieren sollte wie für EM.

Faktor 4 (oder 2) im gravitoelektromagnetischen (GEM) Lorentz-Kraftgesetz. Welches ist richtig? Warum ist es dort?

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