Kohärente Zustände und Vollständigkeit

Betrachten Sie eine mögliche Definition eines Gaußschen (kohärenten) Zustands in der Positionsdarstellung

⟨R | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ = ( 2 γ π ) 1 4 exp [ - γ ( r - r ich ) 2 + i p ich ( r - r ich ) ] . ⟨ r | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ = ( 2 γ π ) 1 4 exp ⁡ [ - - γ ( r - - r ich ) 2 + ich p ich ( r - - r ich ) ]] .

Es kann bewiesen werden, dass

1 2 π ∫ d r ich d p ich | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ ⟨Ψ ( r ich , p ich ) | = 1 ^ . (1) (1) 1 2 π ∫ d r ich d p ich | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ ⟨ ψ ( r ich , p ich ) | = 1 ^ .

Nehmen Sie die absolut wahre Gleichung

⟨R | r ' ⟩ = Δ ( r ' - r ) , ⟨ r | r ' ⟩ = δ ( r ' - - r ) ,

Fügen Sie den mit kohärenten Zuständen ausgedrückten Einheitsoperator in die LHS ein:

⟨R | r ' ⟩ = 1 2 π ∫ d r ich d p ich ⟨R | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ ⟨Ψ ( r ich , p ich ) | r ' ⟩ = δ ( r ' - r ) exp [ - γ 2 ( r ' - r ) 2 ]] ≠ δ ( r ' - r ) , (2) (2) ⟨ r | r ' ⟩ = 1 2 π ∫ d r ich d p ich ⟨ r | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ ⟨ ψ ( r ich , p ich ) | r ' ⟩ = δ ( r ' - - r ) exp ⁡ [ - - γ 2 ( r ' - - r ) 2 ]] ≠ δ ( r ' - - r ) ,

Ein absurder. Ich gehe von etwas aus, das nicht stimmt. Was ist es?

Ihre Frage sieht nach Ihrer 3. Bearbeitung unvollständig aus. Ich verstehe nicht, warum (2) nicht wahr ist. Es stimmt perfekt mit Ihrer endgültigen Gleichung in v1 oder v2 der Frage überein.
@ knzhou Hallo! (2) ist nicht wahr, weil es nicht ist. Integrieren und Sie werden sehen. Ich denke, das Absurde ist in Version 3 klarer.
Was denkst du sollte die rechte Seite sein? Ist es dasselbe wie das, was Sie in Version 1 oder Version 2 der Frage geschrieben haben? Wenn ja, sehe ich nicht, wie inkonsistent sie sind.
@knzhou Die RHS sollte ein Dirac-Delta sein, da dies eine Voraussetzung ist. Wenn Sie eine Einheit einfügen, die als kohärenter Zustandsprojektor ausgedrückt wird, und integrieren, werden Sie Delta-Zeiten erhalten exp [ - γ 2 ( r ' - r ) 2 ]] exp ⁡ [ - - γ 2 ( r ' - - r ) 2 ]] . Das ist absurd. Du bekommst eine x = x ⇒ x ≠ x x = x ⇒ x ≠ x Ergebnis.
... das ist das gleiche.

Antworten (1)

Sie haben alles richtig gemacht, aber die Eigenschaft der Delta-Funktion vergessen.

δ ( x ) f ( x ) = δ ( x ) f ( 0 ) . δ ( x ) f ( x ) = δ ( x ) f ( 0 ) .
Das ist für jede glatte Funktion richtig (es ist schwer zu sagen, was θ ( x ) δ ( x ) θ ( x ) δ ( x ) ist, aber es gibt auch eine Möglichkeit, es zu definieren). Physiker erklären es normalerweise oberflächlich .

Deshalb

δ ( r ' - r ) exp [ - γ 2 ( r ' - r ) 2 ] = δ ( r ' - r ) . δ ( r ' - - r ) exp ⁡ [ - - γ 2 ( r ' - - r ) 2 ]] = δ ( r ' - - r ) .

Um zu sehen, woher diese Eigenschaft stammt, möchte ich Sie an die Definition von Dirac erinnern δ δ -Funktion.

Physiker verwenden gerne Diracs Definition:

  1. δ ( x ) = 0 , | x | > 0 δ ( x ) = 0 , | x | > 0
  2. ∫ - ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 ∫ - - ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 .

Was ziemlich seltsam ist, da Integral sich nicht um Nullmengen kümmert. Unabhängig davon, ob Sie ein Riemann- oder ein Lebesgue-Integral haben, impliziert die erste Eigenschaft ∫ + ∞ - ∞ δ ( x ) d x = 0 ∫ - - ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 0 . Physiker schreiben auch gerne δ ( 0 ) = + ∞ δ ( 0 ) = + ∞ , was noch seltsamer ist. Es gibt zwei Möglichkeiten, diesen Widersprüchen zu begegnen. Mathematiker sagen δ δ -Funktion ist keine Funktion. Es ist eine funktionale oder genauer gesagt Verteilung (siehe unten). Physiker stellen es sich jedoch als eine reibungslose Funktion vor, so dass δ ( x ) = 0 , | x | > ε δ ( x ) = 0 , | x | > ε , wo ε ε ist viel kleiner als jede andere Größe, die Sie haben (z. B. können Sie die Vorlesung zum Feynman-Nobelpreis lesen, wo er sie explizit verwendet), und Eigenschaft 2 gilt.

Oft (z. B. wenn Sie eine Fourier-Transformation durchführen) reicht es aus, dies zu denken

∫ - ∞ ∞ d p 2 π e i x p = δ ( x ) . ∫ - - ∞ ∞ d p 2 π e ich x p = δ ( x ) .
Aber ein solches Integral existiert einfach nicht. Es ist also eine schlechte Definition von δ δ -Funktion. Der richtige Weg, diese Identität zu verstehen, ist eine Grenze
lim ϵ → + 0 ⎡ ⎣ ⎢ ∫ 0 ∞ d p 2 π e i x p - ϵ p + ∫ - ∞ 0 d p 2 π e i x p + ϵ p ⎤ ⎦ ⎥ = 1 2 π lim ϵ → + 0 [ 1 ϵ - i x + 1 ϵ + i x ] = lim ϵ → + 0 1 π ϵ ϵ 2 + x 2 . lim ϵ → + 0 [ ∫ 0 ∞ d p 2 π e ich x p - - ϵ p + ∫ - - ∞ 0 d p 2 π e ich x p + ϵ p ]] = 1 2 π lim ϵ → + 0 [ 1 ϵ - - ich x + 1 ϵ + ich x ]] = lim ϵ → + 0 1 π ϵ ϵ 2 + x 2 .
Lassen Sie die letzte Funktion aufrufen δ ϵ ( x ) δ ϵ ( x ) . Das können Sie leicht zeigen ∫ δ ϵ ( x ) = 1 ∫ δ ϵ ( x ) = 1 ∀ ϵ > 0 ∀ ϵ > 0 und δ ( x ) → 0 δ ( x ) → 0 , ϵ → 0 ϵ → 0 ∀ | x | > 0 ∀ | x | > 0 . Von diesen beiden und δ ϵ ( x ) > 0 δ ϵ ( x ) > 0 es kann gezeigt werden, dass
lim ϵ → + 0 ∫ - ∞ ∞ δ ϵ ( x ) f ( x ) = f ( 0 ) . lim ϵ → + 0 ∫ - - ∞ ∞ δ ϵ ( x ) f ( x ) = f ( 0 ) .
Das ist allgemein δ δ -Funktionseigenschaft. Also sagen wir das lim ϵ → + 0 δ ϵ = δ lim ϵ → + 0 δ ϵ = δ , aber wir erinnern uns, dass eine solche Grenze nicht existiert. Eigentlich arbeiten wir mit δ ϵ δ ϵ und dann Limit nehmen ϵ → 0 ϵ → 0 .

Jetzt können wir lernen f ( x ) δ ( x ) f ( x ) δ ( x ) . Stellen Sie sich vor, Sie haben welche δ δ -Sequenz, wie eine hier geschrieben (Sie können andere hier finden )

δ ϵ ( x ) = 1 π ϵ ϵ 2 + x 2 δ ϵ ( x ) = 1 π ϵ ϵ 2 + x 2
und Sie interessieren sich für lim ϵ → 0 f ( x ) δ ϵ ( x ) lim ϵ → 0 f ( x ) δ ϵ ( x ) . Sie können Taylor-Serien verwenden f ( x ) = f ( 0 ) + o ( x ) , x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) + Ö ( x ) , x → 0 und o ( x ) δ ϵ ( x ) → 0 , ϵ → 0 Ö ( x ) δ ϵ ( x ) → 0 , ϵ → 0 ∀ x ∀ x . Ich glaube, Sie können es selbst zeigen, indem Sie expliziten Ausdruck für verwenden δ ϵ ( x ) δ ϵ ( x ) .

Mathematiker sagen das δ δ ist eine Verteilung Es bedeutet, dass es auf die Funktion einwirkt ψ ( x ) ψ ( x ) und gib dir eine Nummer zurück. Zum δ δ diese Nummer ist ψ ( 0 ) ψ ( 0 ) . Du schreibst ⟨Δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ = ψ ( 0 ) ⟨ δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ = ψ ( 0 ) .

Wenn Sie diese Aktion als skalares Produkt von Funktionen interpretieren (was ein Integral ist) ⟨Ψ ( x ) | ϕ ( x ) ⟩ = ∫ ψ ∗ ( x ) ϕ ( x ) d x ⟨ ψ ( x ) | ϕ ( x ) ⟩ = ∫ ψ ∗ ( x ) ϕ ( x ) d x dann sieht es aus wie eine Funktion δ ( x ) δ ( x ) .

Von diesem Standpunkt aus ist es noch einfacher zu erkennen, dass die gewünschte Identität gilt. ⟨F ( x ) δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ = ⟨δ ( x ) | f ( x ) ψ ( x ) ⟩ = f ( 0 ) ψ ( 0 ) = ⟨f ( 0 ) δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ ⟨ f ( x ) δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ = ⟨ δ ( x ) | f ( x ) ψ ( x ) ⟩ = f ( 0 ) ψ ( 0 ) = ⟨ f ( 0 ) δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ (Laut Mathematikern ist es kein Beweis, es ist eine Definition).

PS Ich glaube, dass die gemeinsame Definition kohärenter Zustände die Phase auf unterschiedliche Weise festlegt ( ℏ = 1 ℏ = 1 )

⟨R | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ = ( 2 γ π ) 1 4 exp [ - γ ( r - r ich ) 2 + i p ich ( r - r ich ) + i 2 p ich r ich ] . ⟨ r | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ = ( 2 γ π ) 1 4 exp ⁡ [ - - γ ( r - - r ich ) 2 + ich p ich ( r - - r ich ) + ich 2 p ich r ich ]] .
Dann
| ψ ( r ich , p ich ) ⟩ = Exp [ γ 2 ( r 2 ich + p 2 ich ) ] ∑ n = 0 ∞ γ n n ! - - - - - - √ ( r ich + i p ich ) n | n⟩ . | ψ ( r ich , p ich ) ⟩ = exp ⁡ [ γ 2 ( r ich 2 + p ich 2 ) ]] ∑ n = 0 ∞ γ n n ! ( r ich + ich p ich ) n | n ⟩ .

PSS @WetSavannaAnimalakaRodVance Vielen Dank für Ihren Kommentar. ich weiß das θ ∉ S. θ ∉ S. , aber da bin ich neugierig auf den Wert von θ ( x ) δ ( x ) θ ( x ) δ ( x ) und s u p p δ = 0 s u p p δ = 0 das ist nur diskontinuität bei x = 0 x = 0 worüber ich mir Sorgen machen sollte. Sie können auch folgende Argumente anwenden θ ( x ) θ ( 1 - | x | ) = r e c t ( x - 1 2 ) - r e c t ( x + 1 2 ) θ ( x ) θ ( 1 - - | x | ) = r e c t ( x - - 1 2 ) - - r e c t ( x + 1 2 ) und erhalten das gleiche Ergebnis.

Ich habe https://math.stackexchange.com/q/1832691/10549 gelesen und die Antwort gefallen. Ich glaube x = 0 x = 0 wäre ein Lebesgue-Punkt von θ θ wenn du lässt θ ( 0 ) = 1 2 θ ( 0 ) = 1 2 schon seit

lim ε → + 0 1 2 ε ∫ - ε ε θ ( x ) d x = 1 2 . lim ε → + 0 1 2 ε ∫ - - ε ε θ ( x ) d x = 1 2 .

Ich werde jetzt darüber streiten θ ( x ) δ ( x ) = 1 2 δ ( x ) θ ( x ) δ ( x ) = 1 2 δ ( x ) im S. ' S. ' mit jeder vernünftigen Definition kann man sich einfallen lassen.

  1. Die Differenzierung von Verteilungen ist eine genau definierte Operation. Lassen Sie mich jetzt vorstellen, dass es auch gängigen Regeln wie folgt ( f 2 ) ' = 2 f f ' ( f 2 ) ' = 2 f f ' , dann θ ⋅ δ = 1 2 ( θ 2 ) ' θ ⋅ δ = 1 2 ( θ 2 ) ' und ich glaube, Sie werden dem zustimmen θ 2 = θ θ 2 = θ im S. ' S. ' . Deshalb ∀ φ ∈ S. ∀ φ ∈ S.
    ⟨Θ ⋅ δ , φ⟩ = 1 2 ⟨ ( Θ 2 ) ' , φ⟩ = - 1 2 ⟨Θ 2 , φ ' ⟩ = - 1 2 ∫ 0 ∞ φ ' ( x ) d x = 1 2 φ ( 0 ) . ⟨ θ ⋅ δ , φ ⟩ = 1 2 ⟨ ( θ 2 ) ' , φ ⟩ = - - 1 2 ⟨ θ 2 , φ ' ⟩ = - - 1 2 ∫ 0 ∞ φ ' ( x ) d x = 1 2 φ ( 0 ) .
  2. Eine andere Möglichkeit, dies zu verstehen, ist die Annäherung θ θ mit kontinuierlichen Funktionen.
    θ ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ψ m ( x ) = 1 2 + 2 ∑ m = 1 ∞ Sünde ( 2 m - 1 ) x π ( 2 m - 1 ) , x ∈ ( - π , π ) . θ ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ψ m ( x ) = 1 2 + 2 ∑ m = 1 ∞ Sünde ⁡ ( 2 m - - 1 ) x π ( 2 m - - 1 ) , x ∈ ( - - π , π ) .
    Und definieren
    ⟨Θ ⋅ δ , φ⟩ = ∑ m = 0 ∞ ⟨Δ , ψ m ⋅ φ⟩ = φ ( 0 ) ∑ m = 0 ∞ ψ m ( 0 ) = 1 2 φ ( 0 ) . ⟨ θ ⋅ δ , φ ⟩ = ∑ m = 0 ∞ ⟨ δ , ψ m ⋅ φ ⟩ = φ ( 0 ) ∑ m = 0 ∞ ψ m ( 0 ) = 1 2 φ ( 0 ) .
    Darüber hinaus gibt es in der Analyse einen Satz, der besagt, dass wenn Funktion f ∈ L. 1 ( - π , π ) f ∈ L. 1 ( - - π , π ) hat f ' ( x 0 ± 0 ) f ' ( x 0 ± 0 ) dann konvergiert seine Fourierreihensumme gegen 1 2 ( f ( x 0 + 0 ) + f 0 ( x 0 - 0 ) ) 1 2 ( f ( x 0 + 0 ) + f 0 ( x 0 - - 0 ) ) .
Wenn dies wahr ist, antwortet es viel. Haben Sie eine Referenz zu dieser Immobilie?
@QuantumBrick das ist leicht zu sehen. Welche Definition von Diracs Delta ist bekannt?
Sie können die Physik verwenden: δ ( x ) ∝ ∫ d p e - i p x δ ( x ) ∝ ∫ d p e - - ich p x .
Dies ist die richtige Antwort - unabhängig davon, ob die δ × exp ( ) δ × exp ⁡ ( ) Ergebnis ist korrekt oder nicht. Die eigentliche Definition der Delta-Funktion @QuantumBrick lautet
∫ G ( x ) δ ( x ) d x = g ( 0 ) ∫ G ( x ) δ ( x ) d x = G ( 0 )
für alle G G kontinuierlich bei 0. Von dort aus können Sie das sehen
∫ G ( x ) f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 ) g ( 0 ) = ∫ G ( x ) f ( 0 ) δ ( x ) d x , ∫ G ( x ) f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 ) G ( 0 ) = ∫ G ( x ) f ( 0 ) δ ( x ) d x ,
zum f f kontinuierlich bei 0, also f ( x ) δ ( x ) f ( x ) δ ( x ) und f ( 0 ) δ ( x ) f ( 0 ) δ ( x ) sind gleich wie Verteilungen, und das ist das einzige, was zählt.
@EmilioPisanty Danke, Emilio! Er hatte bereits etwas gepostet, das eine Antwort war. Ich habe ihm nur geraten, alles in einer einzigen Antwort zusammenzukleben. Vielen Dank auch für den Einblick @DavidSaykin!
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