Warum wird θ 2 θ2 für eine Bloch-Kugel anstelle von θ θ verwendet?

Question

Warum wird θ 2 θ2 für eine Bloch-Kugel anstelle von θ θ verwendet?

Physik
Bloch-kugel
Hilbert-raum
Gruppentheorie
Quanteninformation
Darstellungstheorie

Mike Wong

Ich bin ein Anfänger im Studium von Quanteninformationen und ein wenig verwirrt über die Darstellung eines Qubits mit einer Bloch-Kugel. Wikipedia sagt, dass wir verwenden können

| Ψ ⟩ = \cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + e^{ich ϕ} Sünde \frac{θ}{2} | 1 ⟩

um einen reinen Zustand darzustellen und ihn auf die Polarkoordinaten der Kugel abzubilden. Was ich nicht sicher bin ist, wo kommt das "

\frac{θ}{2}

\frac{θ}{2}

\frac{θ}{2}

\frac{θ}{2}

\frac{θ}{2}

" Komm herein?

Ich meine, in Polarkoordinaten ist der Vektor gleich $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{i ϕ} \sin θ \hat{x}$ $\cos θ \hat{z} + e^{ich ϕ} Sünde θ \hat{x}$ , aber auch wenn wir verwenden $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ und $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ $\hat{x} = | 0 ⟩ + | 1 ⟩$ , es ist immer noch anders als oben. Wie könnte dies in die obige Formel umgewandelt werden?

Oder ... bedeutet dies, dass die Kugel einfach eine grafische Darstellung von ist $θ$ $θ$ $θ$ und $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ während $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ und $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ entsprechen geometrisch keinem Vektor auf der Kugel? (aber hier schreibt es $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ und $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- - \hat{z} = | 1 ⟩$ ...)

Antworten (6)

Warum wird θ 2 θ2 für eine Bloch-Kugel anstelle von θ θ verwendet?

Qmechanic · Answer 1

I) Der Hauptpunkt ist der Halbwinkel $\frac{θ}{2}$ $\frac{θ}{2}$ $\frac{θ}{2}$ $\frac{θ}{2}$ $\frac{θ}{2}$ verdoppelt sich, wenn wir vom Ket gehen

\begin{matrix} (1) & | ψ ⟩ = [\begin{matrix} \cos \frac{θ}{2} \\ e^{ich ϕ} Sünde \frac{θ}{2} \end{matrix}]], | | ψ | | = 1, \end{matrix}

zur Dichtematrix / Operator

\begin{matrix} (2) & ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | = \frac{1}{2} (1_{2 \times 2} + \vec{r} \cdot \vec{σ}), t r ρ = 1. \end{matrix}

In Gl. (2)

\begin{matrix} (3) & \vec{r} = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]] = [\begin{matrix} r \cos ϕ Sünde θ \\ r Sünde ϕ Sünde θ \\ r \cos θ \end{matrix}]], r = 1, \end{matrix}

ist der Radiusvektor in sphärischen Koordinaten und

σ_{i}

σ_{i}

σ_{i}

σ_{i}

σ_{ich}

sind die Pauli-Matrizen . (Der Vollständigkeit halber erwähnen wir die Bloch-Sphäre

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

S^{2} = \partial B^{3}

{S.}^{2} = \partial {B.}^{3}

von reinen Qubit- Zuständen ist die Grenze der Bloch- Kugel

B^{3}

B^{3}

B^{3}

B^{3}

{B.}^{3}

von gemischten Qubit-Zuständen .)

II) Alternativ finden Sie für eine detaillierte gruppentheoretische Erklärung des Vorhandenseins des Halbwinkels z. 1. Kurz gesagt, der zweidimensionale Hilbert-Raum $H ≅ C^{2}$ $H ≅ C^{2}$ $H ≅ C^{2}$ $H ≅ C^{2}$ $H ≅ C^{2}$ $H ≅ C^{2}$ $H ≅ C^{2}$ $H ≅ C^{2}$ $H. ≅ {C.}^{2}$ des Qubits ist eine Spinor / Dublett-Darstellung des $G = S U (2)$ $G = S U (2)$ $G = S U (2)$ $G = S U (2)$ $G = S U (2)$ $G = S U (2)$ $G = S. U. (2)$ Lie-Gruppe, die eine doppelte Abdeckung der 3D-Rotationsgruppe ist $S O (3)$ $S O (3)$ $S O (3)$ $S O (3)$ $S. Ö (3)$ . Die nebenstehende Darstellung

\begin{matrix} (4) & EIN d :: G ⟶ G L. (s u (2), R.), \end{matrix}

gegeben durch

\begin{matrix} (5) & EIN d (G) σ = G σ G^{- - 1}, G \in G, σ \in s u (2) ≅ {R.}^{3}, \end{matrix}

ist ein Lügengruppenhomomorphismus, dessen Bild

\begin{matrix} (6) & EIN d (G) ≅ S. Ö (3), EIN d (\pm 1_{2 \times 2}) = 1_{3 \times 3}, \end{matrix}

ist isomorph zu

S O (3)

S O (3)

S O (3)

S O (3)

S. Ö (3)

. Die Verdoppelung der Winkel erfolgt implizit in Formel (5). (Dies ähnelt der Tatsache, dass ein Half-Spin-Partikel a benötigt

4 π

4 π

4 π

Rotation (anstatt

2 π

2 π

2 π

) um zum Ausgangspunkt zurückzukehren.)

Verweise:

G. 't Hooft, Einführung in Lügengruppen in der Physik , Vorlesungsunterlagen, Kapitel 6. Die PDF-Datei finden Sie hier .

Stéphane Laurent · Answer 2

Oder ... bedeutet dies, dass die Kugel einfach eine grafische Darstellung von ist $θ$ $θ$ $θ$ und $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ während $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ und $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ entsprechen geometrisch keinem Vektor auf der Kugel? (aber hier schreibt es $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ $\hat{z} = | 0 ⟩$ und $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- \hat{z} = | 1 ⟩$ $- - \hat{z} = | 1 ⟩$ ...)

Dies ist keine künstliche grafische Darstellung. Aber diese Darstellung von $Ψ$ $Ψ$ $Ψ$ auf der Bloch-Kugel basiert auf stereografischen Projektionen , es ist keine "lineare" Darstellung. Zum Beispiel die euklidische Gleichheit $| 1 ⟩ = - | 0 ⟩$ $| 1 ⟩ = - | 0 ⟩$ $| 1 ⟩ = - | 0 ⟩$ $| 1 ⟩ = - | 0 ⟩$ $| 1 ⟩ = - - | 0 ⟩$ dass Sie bemerkt haben, tritt nur für die Darstellungen von $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ und $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ , nicht für die "wahren" $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ und $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ .

Das $\frac{θ}{2}$ $\frac{θ}{2}$ $\frac{θ}{2}$ $\frac{θ}{2}$ $\frac{θ}{2}$ kann auf dem Bild in meiner Antwort unten gesehen werden. Der rote Vektor $ξ$ $ξ$ $ξ$ ist der entscheidende Punkt.

Einmal schreibt man die reinen Qubits als

Ψ = \cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + e^{ich φ} Sünde \frac{θ}{2} | 1 ⟩ (⋆),

Es ist offensichtlich, dass die sphärischen Koordinaten eine Eins-Eins-Entsprechung (einen Homöomorphismus) zwischen einem reinen Qubit und einem Punkt auf der 2D-Kugel (in diesem Zusammenhang der Riemann-Kugel oder der Bloch-Kugel) liefern. Aber ich möchte zeigen, dass dieser Homöomorphismus nicht künstlich ist.

Reine Qubits sind Strahlen

Man definiert normalerweise ein Qubit als einen Vektor in der komplexen Ebene $C^{2}$ $C^{2}$ $C^{2}$ $C^{2}$ ${C.}^{2}$

Ψ = v_{0} | 0 ⟩ + v_{1} | 1 ⟩ = v_{0} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + v_{1} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} v_{0} \\ v_{1} \end{matrix})

wo

v_{0}

v_{0}

v_{0}

v_{0}

v_{0}

und

v_{1}

v_{1}

v_{1}

v_{1}

v_{1}

sind komplexe Zahlen zufriedenstellend

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

{| v_{0} |}^{2} + {| v_{1} |}^{2} = 1

(dann

Ψ

Ψ

Ψ

soll ein normalisierter Vektor sein). Der Raum der Qubits hat Dimension

3

3

3

.

Aber wenn $Ψ$ $Ψ$ $Ψ$ und $Ψ^{'}$ $Ψ^{'}$ $Ψ^{'}$ $Ψ^{'}$ $Ψ^{'}$ sind zwei Qubits, die sich durch einen komplexen Proportionalitätsfaktor unterscheiden $z$ $z$ $z$ (notwendigerweise mit Modul $1$ $1$ $1$ daher $z = e^{i α}$ $z = e^{i α}$ $z = e^{i α}$ $z = e^{i α}$ $z = e^{i α}$ $z = e^{i α}$ $z = e^{ich α}$ und als Phasenfaktor bezeichnet ):

Ψ^{'} = z Ψ = (\begin{matrix} z v_{0} \\ z v_{1} \end{matrix})

Sie definieren dieselbe "Logik" durch die Born-Regel (das bedeutet auch das

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, A Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, A Ψ^{'} ⟩

⟨ Ψ, EIN Ψ ⟩ = ⟨ Ψ^{'}, EIN Ψ^{'} ⟩

für selbstadjunkte Bediener

A

A

EIN

) und berücksichtigt nur Qubits mit Form

Ψ = \cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + e^{ich φ} Sünde \frac{θ}{2} | 1 ⟩ (⋆),

Die reinen Qubits genannt , reicht aus, wenn wir Qubits bis zu einem komplexen Proportionalitätsfaktor betrachten.

Der so definierte Raum reiner Qubits (Qubit bis zu einem Proportionalitätsfaktor) wird auch als Strahlenraum oder komplexer projektiver Raum bezeichnet $C P^{1}$ $C P^{1}$ $C P^{1}$ $C P^{1}$ $C. {P.}^{1}$ . Dies ist der mathematische Formalismus hinter reinen Qubits, und ich werde auf diesen Punkt zurückkommen.

Homöomorphismus mit der Riemannschen Kugel

Es ist offensichtlich, dass der Ausdruck $(⋆)$ $(⋆)$ $(⋆)$ liefert mit Hilfe sphärischer Polarkoordinaten einen Homöomorphismus zwischen dem Raum der reinen Qubits und der Riemannschen Kugel. Offensichtlich ist dieser Homöomorphismus nicht linear; Zum Beispiel ist es klar, dass $| 1 ⟩ \neq - | 0 ⟩$ $| 1 ⟩ \neq - | 0 ⟩$ $| 1 ⟩ \neq - | 0 ⟩$ $| 1 ⟩ \neq - | 0 ⟩$ $| 1 ⟩ \neq - - | 0 ⟩$ während diese Beziehung auf den Darstellungen von gesehen werden kann $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ und $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ auf der Riemannschen Sphäre. Und es ist klar, dass die lineare Kombination

Ψ = \cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + e^{ich φ} Sünde \frac{θ}{2} | 1 ⟩

tritt in der euklidischen 3D-Darstellung nicht auf.

Trotzdem ist dieser Homöomorphismus kein künstlicher . Lassen Sie uns in der Folge sorgfältig zwischen unterscheiden $Ψ$ $Ψ$ $Ψ$ und seine Darstellung (die $Ψ$ $Ψ$ $Ψ$ auf der Kugel gezeigt).

Es ist bekannt, dass die Riemann-Sphäre $S^{2}$ $S^{2}$ $S^{2}$ $S^{2}$ ${S.}^{2}$ ist eine Darstellung (ist homöomorph zu) des Raumes $\bar{C}$ $\bar{C}$ $\bar{C}$ $\bar{C}$ $\bar{C.}$ von komplexen Zahlen "plus einem Punkt im Unendlichen" durch die stereografische Projektion . Die stereografische Projektion der Darstellung von $Ψ$ $Ψ$ $Ψ$ in dem $(x y)$ $(x y)$ $(x y)$ $(x y)$ $(x y)$ -Ebene ist der Vektor

ξ = bräunen \frac{θ}{2} e^{ich φ},

in der Abbildung unten rot dargestellt.

Interpretation der $(x y)$ $(x y)$ $(x y)$ $(x y)$ $(x y)$ -Ebene als Raum komplexer Zahlen, beachten Sie das $ξ$ $ξ$ $ξ$ liegt eigentlich in $\bar{C}$ $\bar{C}$ $\bar{C}$ $\bar{C}$ $\bar{C.}$ da $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ am Südpol wird bis zum Punkt im Unendlichen geschickt (während $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ wird an den Ursprung des Flugzeugs gesendet). Bezeichnen mit $Stereo1$ $Stereo1$ $Stereo1$ diese übliche stereografische Projektion:

Stereo1 :: {S.}^{2} \to \bar{C.},

welches die Darstellung von sendet

Ψ

Ψ

Ψ

zum roten Vektor

ξ

ξ

ξ

.

Der Punkt ist der folgende. Wie bereits gesagt, ist der Raum der Qubits der komplexe projektive Raum $C P^{1}$ $C P^{1}$ $C P^{1}$ $C P^{1}$ $C. {P.}^{1}$ . Und dieser ist bekanntermaßen auch homöomorph zur Riemannschen Sphäre. Dieser Homöomorphismus wird auch als stereografische Projektion bezeichnet:

Stereo2 :: C. {P.}^{1} (der Raum der reinen Qubits) \to \bar{C.},

und es ist gegeben durch

Stereo2 (Ψ) = \frac{v_{1}}{v_{0}} = \frac{e^{ich φ} Sünde \frac{θ}{2}}{\cos \frac{θ}{2}} = bräunen \frac{θ}{2} e^{ich φ} = ξ .

Aus diesem Grund habe ich gesagt, dass der durch sphärische Polarkoordinaten bereitgestellte Homöomorphismus kein künstlicher ist: Er ist aufgrund der Beziehung ein natürlicher Homöomorphismus

Stereo1 (Repräsentation von Ψ) = Stereo2 (Ψ),

das heißt

Repräsentation von Ψ = {Stereo1}^{- - 1} (Stereo2 (Ψ)) .

Übersichtskarte

Ali Moh · Answer 3

Aus der Art und Weise, wie es definiert ist $| Ψ ⟩$ $| Ψ ⟩$ $| Ψ ⟩$ $| Ψ ⟩$ ist kein Vektor auf der Kugel, sondern ein Vektor entlang der z-Achse dazwischen $- \hat{z}$ $- \hat{z}$ $- \hat{z}$ $- \hat{z}$ $- - \hat{z}$ und $\hat{z}$ $\hat{z}$ $\hat{z}$ $\hat{z}$ $\hat{z}$ , weil es eine lineare Kombination von $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ und $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ Das sind beide Vektoren entlang der z-Achse.

Jetzt wollen wir $| Ψ (θ = 0, ϕ = 0) ⟩ = | 0 ⟩$ $| Ψ (θ = 0, ϕ = 0) ⟩ = | 0 ⟩$ $| Ψ (θ = 0, ϕ = 0) ⟩ = | 0 ⟩$ $| Ψ (θ = 0, ϕ = 0) ⟩ = | 0 ⟩$ $| Ψ (θ = 0, ϕ = 0) ⟩ = | 0 ⟩$ , und $| Ψ (θ = π, ϕ = 0) ⟩ = | 1 ⟩$ $| Ψ (θ = π, ϕ = 0) ⟩ = | 1 ⟩$ $| Ψ (θ = π, ϕ = 0) ⟩ = | 1 ⟩$ $| Ψ (θ = π, ϕ = 0) ⟩ = | 1 ⟩$ $| Ψ (θ = π, ϕ = 0) ⟩ = | 1 ⟩$ $| Ψ (θ = π, ϕ = 0) ⟩ = | 1 ⟩$ $| Ψ (θ = π, ϕ = 0) ⟩ = | 1 ⟩$ was gibt $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + sin \frac{θ}{2} e^{i ϕ} | 0 ⟩$ $| Ψ (θ, ϕ) ⟩ = cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + Sünde \frac{θ}{2} e^{ich ϕ} | 0 ⟩$ , weil cos $\frac{π}{2} = 0$ $\frac{π}{2} = 0$ $\frac{π}{2} = 0$ $\frac{π}{2} = 0$ $\frac{π}{2} = 0$ $\frac{π}{2} = 0$ $\frac{π}{2} = 0$ und Sünde $\frac{π}{2} = 1$ $\frac{π}{2} = 1$ $\frac{π}{2} = 1$ $\frac{π}{2} = 1$ $\frac{π}{2} = 1$ $\frac{π}{2} = 1$ $\frac{π}{2} = 1$ .

Und das ist nützlich, wenn man darüber spricht $π$ $π$ $π$ oder $\frac{π}{2}$ $\frac{π}{2}$ $\frac{π}{2}$ $\frac{π}{2}$ $\frac{π}{2}$ Impulse.

Craig Gidney · Answer 4

$| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ $| 0 ⟩$ und $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ $| 1 ⟩$ sind senkrechte Zustände. Geometrisch bedeutet dies, dass sie 90 Grad voneinander entfernt sein sollten. im rechten Winkel zueinander. Um einen Abstand von 180 Grad zu erhalten, wie sie sich auf der Bloch-Kugel befinden, mussten wir alle Winkel verdoppeln.

Da alle Winkel auf der Bloch-Kugel verdoppelt sind, müssen Sie daran denken, diese Winkel zu halbieren, wenn Sie nur zu den Rohzuständen zurückkehren. Das ist, wo die $θ / 2$ $θ / 2$ $θ /. 2$ kommt von. Das $θ$ $θ$ $θ$ ist ein Bloch-Kugelwinkel, daher muss er halbiert werden, um den tatsächlich richtigen Winkel zu erhalten.

Warum lassen wir uns eine Darstellung gefallen, bei der senkrechte Dinge um 180 Grad voneinander entfernt sind? Weil es eine so schöne Analogie zwischen Single-Qubit-Quantenoperationen und Rotationen im 3D-Raum macht. Die Bloch-Kugel spart beim Plotten nicht nur einen, sondern zwei Freiheitsgrade. Wenn wir bei dem 90-Grad-Abstand geblieben wären, würden wir im vierdimensionalen Raum zeichnen und könnten den Abstand vom Zentrum nicht zur Darstellung der Reinheit verwenden.

Ja, es gibt tiefere mathematische Gründe für all dies, die von den anderen Antworten abgedeckt werden, aber pragmatisch gesehen kommt es darauf an, die Winkel verdoppeln zu müssen, um die schöne Analogie mit Rotationen zu erhalten.

Das Obige betont, dass die Dimension des quantenmechanischen Raums nicht unbedingt die Dimension des physikalischen Raums oder die Dimension des Raums ist, in dem wir versuchen, Zustände zu "visualisieren". Zum Beispiel ist es auch möglich, Zustände mit L = 2 - es gibt 5 solcher Zustände orthogonal im 5-dimensionalen quantenmechanischen Raum - auf der Bloch-Kugel darzustellen. Da die Kugel NICHT 5-dimensional ist, kann nicht erwartet werden, dass Begriffe wie Winkel zwischen quantenmechanischen Vektoren direkt auf die 2-dimensionale Oberfläche der Kugel übertragen werden.

Frédéric Grosshans · Answer 5

Für eine lange Zeit (sagen wir das 20. Jahrhundert) war das prototypische 2-Level-Quantenobjekt der Drehimpuls eines Spin- $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ Teilchen (Elektron, Nukleon, Kern). Der Übergang zu Qubits erfolgte erst Ende der neunziger Jahre und hauptsächlich in Bezug auf Quanteninformationen. Die Bloch-Kugel wurde 1946 von Felix Bloch eingeführt (Papier, $$) , um die Quantenzustands-Spins zu untersuchen $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ , und sein $(θ, φ)$ $(θ, φ)$ $(θ, φ)$ Koordinaten spiegeln die physikalische Realität solcher Systeme aus den in den anderen Antworten definierten mathematischen Gründen wider.

Der Spin ist eine Art intrinsischer Drehimpuls , dessen klassische Version durch einen Vektor dargestellt wird, dessen Richtung der Rotationsachse entspricht, dessen Ausrichtung der Drehrichtung entspricht (im Uhrzeigersinn gegen den Uhrzeigersinn) und deren Größe dem entspricht der gesamte Drehimpuls.

Für Quantenspin- $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ Teilchen hat eine Drehimpulsmessung einen binären Ausgang $\pm \frac{ℏ}{2}$ $\pm \frac{ℏ}{2}$ $\pm \frac{ℏ}{2}$ $\pm \frac{ℏ}{2}$ $\pm \frac{ℏ}{2}$ Festlegen der Größe des Vektors. Der Spinzustand eines solchen Teilchens kann daher durch einen Vektor konstanter Länge dargestellt werden, der in die Richtung zeigt $(θ, φ)$ $(θ, φ)$ $(θ, φ)$ von (dem Nordpol) seiner Rotationsachse. Diese $(θ, φ)$ $(θ, φ)$ $(θ, φ)$ Definieren Sie hier einen Punkt, eine Kugel, die Bloch-Kugel, und entsprechen Sie einer tatsächlichen Richtung im 3D-Raum.

Wenn man den Spin gemäß einer bestimmten Richtung (einer Quantifizierungsachse) misst, entsprechen die beiden möglichen Antworten antipodalen Punkten auf der Kugel (entgegengesetzte Richtungen). Die Orthogonalität der Quantenzustände entspricht daher in dieser Darstellung nicht den rechten Winkeln, daher der Faktor 2 in $θ$ $θ$ $θ$ . Sie können dies leicht in der kanonischen Basis sehen, wo der Staat $| ↑ ⟩ = | 0 ⟩$ $| ↑ ⟩ = | 0 ⟩$ $| ↑ ⟩ = | 0 ⟩$ $| ↑ ⟩ = | 0 ⟩$ $| ↑ ⟩ = | 0 ⟩$ entspricht dem Nordpol ( $θ = 0$ $θ = 0$ $θ = 0$ ) und der orthogonale Zustand $| ↓ ⟩ = | 1 ⟩$ $| ↓ ⟩ = | 1 ⟩$ $| ↓ ⟩ = | 1 ⟩$ $| ↓ ⟩ = | 1 ⟩$ $| ↓ ⟩ = | 1 ⟩$ entspricht dem Südpol ( $θ = π$ $θ = π$ $θ = π$ ).

Ergänzende (und optionale) Anmerkung: Diese historische Erklärung in Bezug auf Spin- $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ist nur ein Teil der Geschichte. Diese Darstellung ist weit verbreitet, weil sie sich als nützlich erwiesen hat (siehe anderes Beispiel). Ein Beweis dafür ist das (quasi) völlige Fehlen der Poincaré-Sphäre in der Quanteninformation, die in der klassischen Optik häufig zur Untersuchung der Polarisation verwendet wird. Für einzelne Photonen, eine weit verbreitete Art von Qubits, handelt es sich im Wesentlichen um eine Bloch-Kugel mit einem Faktor von 2 Zoll $φ$ $φ$ $φ$ , um mit der physikalischen Polarisationsorientierung übereinzustimmen. Selbst Menschen, die mit polarisierten Photonen als Qubit arbeiten, bevorzugen die Bloch-Kugel trotz dieser Diskrepanz von Faktor 2, da sie besser mit der „wahren Qubit-Geometrie“, auch bekannt als, übereinstimmt $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S. U. (2)$ .

Andyk · Answer 6

Zum Beispiel finden Sie hier eine detaillierte Erklärung, warum es so ist $θ / 2$ $θ / 2$ $θ /. 2$ und nicht $θ$ $θ$ $θ$ , wo $θ \in [0, π]$ $θ \in [0, π]$ $θ \in [0, π]$ $θ \in [0, π]$ $θ \in [0, π]]$ .

Kurz, wenn Sie hatten $θ$ $θ$ $θ$ Aufgrund der globalen Phaseninvarianz würden die antipodalen Punkte auf der Kugel demselben Zustand entsprechen (sie würden sich nur durch ein Vorzeichen unterscheiden). Also nur die obere Hemisphäre ( $θ \in [0, π / 2]$ $θ \in [0, π / 2]$ $θ \in [0, π / 2]$ $θ \in [0, π / 2]$ $θ \in [0, π /. 2]]$ ) wird benötigt, um alle möglichen Qubit-Zustände darzustellen. Eine vollständige Kugel ist jedoch praktischer (sie hat die volle Rotationssymmetrie und die Rotationsoperatoren können einheitliche Operationen für die Qubit-Zustände darstellen), daher ordnen wir die obere Hemisphäre der vollständigen Kugel (Bloch-Kugel) durch zu $θ^{'} \to 2 θ$ $θ^{'} \to 2 θ$ $θ^{'} \to 2 θ$ $θ^{'} \to 2 θ$ $θ^{'} \to 2 θ$ $θ^{'} \to 2 θ$ $θ^{'} \to 2 θ$ , auf denen die antipodalen Punkte nun zwei zueinander orthogonalen Qubit-Zuständen entsprechen.

Warum wird θ 2 θ2 für eine Bloch-Kugel anstelle von θ θ verwendet?

Mike Wong

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