Eindeutigkeit der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Schrödinger-Gleichung

Question

Eindeutigkeit der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Schrödinger-Gleichung

Physik
Hilbert-raum
Wellenfunktion
Quantenmechanik
Wahrscheinlichkeit
Schrödinger-gleichung

Maurizio Barbato

David Bohm in Abschnitt (4.5) seiner wunderbaren Monographie Quantentheorie nach Definition der üblichen Dichtewahrscheinlichkeitsfunktion $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P. (x, t) = ψ^{*} ψ$ für die Schrödinger-Gleichung für das freie Teilchen in einer Dimension:

ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}},

besagt, dass

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P. (x, t)

ist die einzigartige Funktion von

ψ (x, t)

ψ (x, t)

ψ (x, t)

und die partiellen Ableitungen von

ψ

ψ

ψ

in Gedenken an

x

x

x

alles berechnet in

(x, t)

(x, t)

(x, t)

welches die folgenden Eigenschaften erfüllt:

P ist niemals negativ;
Die Wahrscheinlichkeit ist groß, wenn $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ ist groß und klein wenn $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ ist klein;
die Bedeutung von $P$ $P$ $P.$ hängt nicht kritisch von einer Größe ab, von der aus allgemeinen physikalischen Gründen bekannt ist, dass sie irrelevant ist: Dies impliziert insbesondere (da es sich um eine nichtrelativistische Theorie handelt), dass $P$ $P$ $P.$ darf nicht davon abhängen, wo die Null der Energie gewählt wird;
$\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P. (x, t) d x$ wird im Laufe der Zeit erhalten, so dass durch eventuelle Normalisierung $P$ $P$ $P.$ wir können wählen $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P. (x, t) d x = 1$ für alle $t$ $t$ $t$ .

Böhm gibt überhaupt kein mathematisches Argument an und tatsächlich scheint mir die Aussage völlig ungerechtfertigt zu sein.

Kennt jemand einen Grund, warum es wahr sein sollte?

ANMERKUNG 1). Da die Schrödinger-Gleichung eine Gleichung erster Ordnung ist, ist die zeitliche Entwicklung von $ψ$ $ψ$ $ψ$ ist angesichts des Ausgangszustands festgelegt $ψ (x, 0)$ $ψ (x, 0)$ $ψ (x, 0)$ : Dies ist der Grund, warum wir die Wahrscheinlichkeit benötigen $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P. (x, t)$ hängt vom jeweiligen Zustand ab $t$ $t$ $t$ , das ist $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ und seine räumlichen Ableitungen. Um explizit zu sein, die Anforderung, dass $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P. (x, t)$ ist nur eine Funktion von $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ und die partiellen Ableitungen von $ψ$ $ψ$ $ψ$ in Gedenken an $x$ $x$ $x$ alles berechnet in $(x, t)$ $(x, t)$ $(x, t)$ bedeutet, dass es eine Funktion gibt $p$ $p$ $p$ so dass $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P. (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ .

ANMERKUNG 2). Die oben angegebene ist keine mathematisch strenge Formulierung des Problems, sondern die ursprünglich von Böhm gegebene. Wir können also den verschiedenen Eigenschaften eine strenge mathematische Bedeutung beimessen. Insbesondere können wir die Eigenschaft (iv) in einer anderen (und nicht äquivalenten) mathematischen Form formulieren, indem wir verlangen, dass ein lokales Erhaltungsgesetz in dem Sinne gilt, dass es eine Funktion gibt $j$ $j$ $j$ , so dass, wenn wir setzen $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J. (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ , wir bekommen

\frac{\partial P.}{\partial t} + \nabla \cdot J. = 0.

NOTIZ 3). Ähnliche Fragen werden in den Beiträgen Nichtexistenz einer Wahrscheinlichkeit für reelle Wellengleichungen und Nichtexistenz einer Wahrscheinlichkeit für die Klein-Gordon-Gleichung aufgeworfen. Vermutlich hatte Böhm die gleiche Art von mathematischem Argument im Sinn, um diese drei Probleme anzugehen. Die eigentliche Frage lautet also: Welches mathematische Werkzeug wollte er verwenden? Vielleicht ein Konzept aus der klassischen Feldtheorie oder der Theorie der partiellen Differentialgleichungen?

Avantgarde

Grund für welche Aussage?

Maurizio Barbato

Die Aussage von Böhm ist das

P

P

P.

ist die eindeutige Wahrscheinlichkeit, die Sie mithilfe von definieren können

ψ

ψ

ψ

und seine partiellen Ableitungen, die die in der Post aufgeführten Eigenschaften erfüllen. Offensichtlich sind diese erforderlichen Eigenschaften nicht sehr streng mathematisch definiert, aber so geht Böhm mit dem Problem um.

Omar Nagib

Eine Begründung für diese Art von Aussagen finden Sie in einem einführenden Lehrbuch über QM (z. B. Griffiths).

drvrm

Wenn P (x) die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen bei x zu finden, dann sagt das Integral, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 sein muss, da das Teilchen zwischen-unendlich bis + unendlich Wert von x gefunden werden muss.

knzhou

Ich habe hier eine verwandte Frage gestellt. Hat nicht genau das, was Sie wollen, aber es kann einige nützliche Hinweise haben.

Antworten (4)

Eindeutigkeit der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Schrödinger-Gleichung

Die Aussage von Böhm ist das $P$ $P$ $P.$ ist die eindeutige Wahrscheinlichkeit, die Sie mithilfe von definieren können $ψ$ $ψ$ $ψ$ und seine partiellen Ableitungen, die die in der Post aufgeführten Eigenschaften erfüllen. Offensichtlich sind diese erforderlichen Eigenschaften nicht sehr streng mathematisch definiert, aber so geht Böhm mit dem Problem um.
Eine Begründung für diese Art von Aussagen finden Sie in einem einführenden Lehrbuch über QM (z. B. Griffiths).
Wenn P (x) die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen bei x zu finden, dann sagt das Integral, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 sein muss, da das Teilchen zwischen-unendlich bis + unendlich Wert von x gefunden werden muss.
Ich habe hier eine verwandte Frage gestellt. Hat nicht genau das, was Sie wollen, aber es kann einige nützliche Hinweise haben.

EuYu · Answer 1

Böhms Annahmen sind nicht mathematisch genau, daher müssen Sie ihnen eine mathematische Interpretation hinzufügen (insbesondere Aussagen $2$ $2$ $2$ und $3$ $3$ $3$ ). Da Sie dies nicht selbst getan haben, werde ich versuchen, sie so zu interpretieren, wie ich es für angemessen halte.

Definition für $P$ $P$ $P.$ : Wir werden verlangen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ ${P.}_{ψ} (x, t)$ von jeder glatten Funktion $ψ$ $ψ$ $ψ$ eine lokale Funktion seiner partiellen Ableitungen bei sein $(x, t)$ $(x, t)$ $(x, t)$ .

Formeller, lassen Sie $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ eine reibungslose Funktion sein und lassen $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ bezeichnen die unendliche Strahlverlängerung von $ψ$ $ψ$ $ψ$ beim $(x, t)$ $(x, t)$ $(x, t)$ dh seine formale Taylor-Serienerweiterung über $(x, t)$ $(x, t)$ $(x, t)$ . Dann können wir schreiben

{P.}_{ψ} (x, t) = p (j_{x, t}^{\infty} ψ),

für eine Funktion

p

p

p

auf dem Strahlbündel definiert. In Bezug auf die Regelmäßigkeit werden wir verlangen

p

p

p

Fortsetzung folgt.

Dies ist im Wesentlichen die Definition, für die Sie vorgeschlagen haben $P$ $P$ $P.$ . Tatsächlich ist dies bereits problematisch, da wir notwendigerweise mit Wellenfunktionen arbeiten müssen, die nicht glatt sind. Daher ist es bereits problematisch, dies zu verlangen $P$ $P$ $P.$ hängen von höheren Derivaten ab, da nicht garantiert wird, dass sie überhaupt existieren. Trotzdem werden wir eine willkürliche Abhängigkeit von höheren Teiltönen zulassen und die Konsistenzbedingungen für anwenden $P$ $P$ $P.$ bewertet auf reibungslose Funktionen. Wir können uns dann erholen $P$ $P$ $P.$ einzigartig für beliebige $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ ${L.}^{2}$ funktioniert durch Kontinuität.

Annahme 1: Die Funktion $p$ $p$ $p$ ist real und nicht negativ.

Annahme 2: Die Wahrscheinlichkeitsdichte $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ ${P.}_{ψ} (x, t)$ ist eine nicht abnehmende Funktion von $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ dh

{P.}_{ψ_{1}} (x, t) \geq {P.}_{ψ_{2}} (x, t) ⟺ | ψ_{1} (x, t) | \geq | ψ_{2} (x, t) | .

Annahme 3: Die Funktion $p$ $p$ $p$ ist in der globalen Phase unveränderlich, dh

p (e^{ich θ} j_{x, t}^{\infty} ψ) = p (j_{x, t}^{\infty} ψ) .

Annahme 4: Wenn $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ ist also eine normalisierte Funktion $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ ${P.}_{ψ} (x, t)$ ist ebenfalls eine normalisierte Funktion.

Lassen Sie uns die Annahmen einzeln durchgehen. Annahme $1$ $1$ $1$ ist relativ einfach, da die Wahrscheinlichkeitsdichten real und nicht negativ sein müssen.

Eigentum $2$ $2$ $2$ ist meiner Ansicht nach am schwierigsten zu interpretieren. Wie ich die Eigenschaft in Assumption interpretiert habe $2$ $2$ $2$ ist zu sagen, dass die Größe der Wahrscheinlichkeitsdichte an einem Punkt direkt die Größe der Wellenfunktion an diesem Punkt widerspiegelt. Dies ist meiner Meinung nach die direkteste Transkription von Böhms zweitem Eigentum.

Diese Annahme ist in der Tat extrem stark und impliziert dies notwendigerweise $p$ $p$ $p$ ist unabhängig von allen Derivaten von $ψ$ $ψ$ $ψ$ . Dies liegt im Wesentlichen daran, dass der Wert einer glatten Funktion und aller ihrer Ableitungen zu jedem Zeitpunkt unabhängig vorgeschrieben werden kann. Darauf hat @Kostas bereits hingewiesen.

Lemma: Angenommen, das $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ ist eine kontinuierliche nicht abnehmende Funktion von $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ . Dann $p$ $p$ $p$ ist unabhängig von allen Derivaten von $ψ$ $ψ$ $ψ$ dh

p (j_{x, t}^{\infty} ψ) = p (j_{x, t}^{0} ψ) = p (ψ (x, t)) .

Beweis: Nach Borels Theorem bei jeder komplexen Sequenz $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $({ein}_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ und jeder Punkt $(x, t)$ $(x, t)$ $(x, t)$ gibt es eine glatte Funktion $ψ$ $ψ$ $ψ$ so dass

\frac{\partial^{n + m}}{\partial x^{n} \partial t^{m}} ψ (x, t) = {ein}_{n, m} .

Daher können wir die einzelnen Einträge der Taylor-Reihe völlig unabhängig voneinander variieren.

Nehme an, dass $p$ $p$ $p$ ist teilweise nicht konstant $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{ich} ψ$ . Dann können wir nach dem Satz von Borel glatte Funktionen finden $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ und $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ so dass alle Taylor-Koeffizienten von $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ und $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ stimme zu $(x, t)$ $(x, t)$ $(x, t)$ ausser für $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{ich}$ . Dann

p (j_{x, t}^{\infty} ψ_{1}) \neq p (j_{x, t}^{\infty} ψ_{2}),

und ohne Verlust der Allgemeinheit können wir das annehmen

p (j_{x, t}^{\infty} ψ_{1}) > p (j_{x, t}^{\infty} ψ_{2}) .

Als nächstes können wir eine andere glatte Funktion finden

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

das stimmt mit

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

für alle Taylor-Koeffizienten bei

(x, t)

(x, t)

(x, t)

mit Ausnahme der konstanten Laufzeit,

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

. Durch Kontinuität können wir wählen

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

etwas größer als

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

aber immer noch so, dass

p (j_{x, t}^{\infty} ψ_{1}) > p (j_{x, t}^{\infty} ψ_{3}) .

Deshalb haben wir

| ψ_{1} (x, t) | = | ψ_{2} (x, t) | < | ψ_{3} (x, t) |, und p (j_{x, t}^{\infty} ψ_{1}) > p (j_{x, t}^{\infty} ψ_{3}),

im Widerspruch zur Monotonie-Annahme.

◻

◻

◻

Deshalb werden wir das annehmen $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ ${P.}_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ von jetzt an. Beachten Sie, dass wir zu diesem Zeitpunkt nicht mehr davon ausgehen müssen, dass $ψ$ $ψ$ $ψ$ ist glatt.

Annahme $3$ $3$ $3$ ist auch im Wesentlichen nur eine direkte Transkription von Eigenschaft 3. Wenn wir die Energie ändern, ändern wir effektiv die Wellenfunktion um einen globalen Phasenfaktor $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{ich E. t}$ . Da wir die Wellenfunktion an jedem Punkt immer real und positiv machen können $(x, t)$ $(x, t)$ $(x, t)$ Daraus folgt durch geeignete Wahl eines globalen Phasenfaktors $p$ $p$ $p$ ist unabhängig von der Phase von $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ dh

p (ψ (x, t)) = p (| ψ (x, t) |) .

Beachten Sie, dass diese Annahme eigentlich völlig unnötig ist. Wir hätten die obige Gleichung durch eine geringfügige Modifikation unseres Lemmas unter Verwendung von Assumption ableiten können $2$ $2$ $2$ . Ich werde es der Vollständigkeit halber behalten.

Schließlich kommen wir zur Himmelfahrt $4$ $4$ $4$ . Böhms Aussage für sein Eigentum $4$ $4$ $4$ ist, dass die Wahrscheinlichkeiten jederzeit normalisiert werden sollten, und zwar für alle $t$ $t$ $t$ wir hätten sollen

1 = \int_{R.} P. (x, t) d x .

Dies hat jedoch gewisse Unklarheiten. Welche Zeitentwicklung sollten wir verwenden? Naiv, jeder selbsternannte Operator $H$ $H$ $H.$ mit einem Spektrum, das unten begrenzt ist (so dass es ein niedrigstes Energieniveau gibt), sollte in der Lage sein, als gültiger Hamilton-Operator zu dienen. Wenn wir das die Zuordnung benötigen $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto {P.}_{ψ}$ universell gültig sein, dh unabhängig von Hamilton, dann müssen wir das verlangen $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P. (x, t)$ in Bezug auf die von einem Hamiltonianer erzeugte einheitliche Entwicklung normalisiert werden.

Es kann gezeigt werden, dass bei jeder Einheit gegeben $U$ $U$ $U.$ gibt es einige zulässige (selbstadjunkte, unten begrenzt) Hamiltonianer $H$ $H$ $H.$ so dass $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U. = e^{ich H.}$ . Tatsächlich müssen wir aufgrund des folgenden Satzes nicht einmal die Menge aller zulässigen Hamiltonianer berücksichtigen, sondern nur die Menge aller begrenzten Hamiltonianer.

Satz: Lass $H$ $H$ $H.$ sei ein Hilbert-Raum und lass $U$ $U$ $U.$ sei ein einheitlicher Operator auf $H$ $H$ $H.$ . Dann gibt es einen begrenzten selbstadjunkten Operator $A$ $A$ $EIN$ (höchstens mit Norm $π$ $π$ $π$ ) so dass

U. = e^{ich EIN} .

Beweis: Dies ist eine einfache Konsequenz der Borel-Funktionsrechnung für begrenzte Operatoren, die auf den Hauptzweig des Logarithmus angewendet werden. Siehe hier für einen vollständigen Beweis. $◻$ $◻$ $◻$

Nun lass $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ eine normalisierte Wellenfunktion sein. Nehmen wir ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass $P$ $P$ $P.$ wird so normalisiert

1 = \int_{R.} {P.}_{ψ_{1}} (x) d x .

Lassen

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

eine andere willkürlich normalisierte Wellenfunktion sein. Lassen

U

U

U.

sei eine Einheit, so dass

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U. ψ_{1}

. Dann gibt es einen begrenzten Hamilton-Operator, so dass die Zeitentwicklung den Ausgangszustand bringt

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

zu

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

. Das heißt, wir müssen haben

1 = \int_{R.} {P.}_{ψ_{1}} (x) d x = \int_{R.} {P.}_{ψ_{2}} (x) d x .

Schon seit

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

war eine willkürlich normalisierte Funktion, daraus folgt

P_{ψ}

P_{ψ}

P_{ψ}

P_{ψ}

{P.}_{ψ}

ist für alle normalisiert normalisiert

ψ

ψ

ψ

. Wir nehmen dies als unsere Annahme

4

4

4

.

Physikalisch bedeutet diese Annahme im Wesentlichen, dass wir in der Lage sein sollten, das Potential des Hamilton-Operators zu variieren, um jede normalisierte Wellenfunktion beliebig nahe an jede andere normalisierte Wellenfunktion zu bringen. Schon seit $P$ $P$ $P.$ Wenn diese Entwicklung erhalten bleibt, muss sie bei jeder normalisierten Wellenfunktion normalisiert werden.

Beachten Sie, dass dies impliziert, dass wir haben müssen $p (0) = 0$ $p (0) = 0$ $p (0) = 0$ . Andernfalls $p (0) > 0$ $p (0) > 0$ $p (0) > 0$ gibt ein divergierendes Integral für jede normalisierte kompakt unterstützte Funktion $ψ$ $ψ$ $ψ$ .

Nun lass $y > 0$ $y > 0$ $y > 0$ $y > 0$ $y > 0$ . Definieren $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ gleich sein $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 /. \sqrt{y}$ zum $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ und anderswo null. Dann haben wir

\int_{R.} | ψ_{y} (x, t) |^{2} d x = 1 = \int_{R.} p (| ψ_{y} (x, t) |) d x = \int_{0}^{y} p (1 /. \sqrt{y}) d x = y p (1 /. \sqrt{y}) .

Deshalb müssen wir haben

p (| ψ (x, t) |) = | ψ (x, t) |^{2} .

Dies ist der gewünschte Anspruch. Natürlich könnten Sie nicht damit einverstanden sein, wie ich einige Aussagen von Bohm interpretiert habe. Aber wie Sie selbst in der Frage gesagt haben, müssen diesen physikalischen Eigenschaften einige strenge Definitionen zugewiesen werden. Dies ist einfach das, was ich als das treueste empfand.

Ich habe sorgfältig über Ihre Annahme 4 nachgedacht, und obwohl dies nicht völlig ungerechtfertigt ist, handelt es sich mit Sicherheit nicht um eine angemessene Interpretation der von Böhm geforderten Eigenschaft 4, die nur dies sagt $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P. (x, t) d x$ muss über die Zeit konstant sein. Ihre Annahme 4 macht das Problem trivial, während Böhms Aussage überhaupt nicht trivial ist.
@MaurizioBarbato Sie sagen, dass Eigenschaft 4 nur das erfordert $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P. d x$ konstant sein. Aber konstant in Bezug auf was? Welche Wahrscheinlichkeitszuweisung wir auch vornehmen, sie sollte nicht vom Hamilton-Operator selbst abhängen. Zugegeben, das $P$ $P$ $P.$ ist universell, $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P. d x$ muss in Bezug auf alle möglichen Hamiltonschen Entwicklungen konstant sein. Die durch die Menge aller zulässigen (dh selbstadjunktiert, von unten begrenzt) Hamiltonianer erzeugten Einheitlichkeiten sind in der vollständigen einheitlichen Gruppe des Hilbert-Raums dicht.
Jetzt verstehe ich Ihren Standpunkt und das scheint mir eine sehr brillante Idee zu sein! Tut mir leid, dass ich es beim ersten Mal nicht verstanden habe. Wenn ich mich nicht zu sehr verwöhne, hätte ich gerne einen Hinweis auf Ihre Aussage "Die Einheit, die durch die Menge aller zulässigen Hamiltonianer erzeugt wird, ist in der vollständigen Einheitsgruppe des Hilbert-Raums dicht". Ich denke, das hat etwas mit dem Satz von Stone zu tun, aber ich weiß nicht, was Sie genau meinen, da ich nie den Begriff des Operators "von unten begrenzt" getroffen habe. Vielen Dank im Voraus.
@MaurizioBarbato Ich habe die Antwort so aktualisiert, dass sie unsere bisherige Diskussion sowie einen Verweis auf den von Ihnen gewünschten Beweis enthält.

Omar Nagib · Answer 2

(i) Klar $P$ $P$ $P.$ ist da nicht negativ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ ${ein}^{*} ein = | ein |^{2}$ ist für alle komplexen Zahlen nicht negativ $a$ $a$ $ein$ .

(ii) Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem infinitesimalen Intervall zwischen zu finden $x$ $x$ $x$ und $x + d x$ $x + d x$ $x + d x$ $x + d x$ $x + d x$ ist gegeben durch $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P. d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ wo diese Wahrscheinlichkeit eindeutig groß für groß ist $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ und umgekehrt.

(iii) In der Tat kann bewiesen werden, dass die Null der Energie um eine Konstante verschoben wird (dh $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V. (x) \to V. (x) + {V.}_{Ö}$ , wo $V_{o}$ $V_{o}$ $V_{o}$ $V_{o}$ ${V.}_{Ö}$ ist konstant) ändert die Gesamtphase der Wellenfunktion so, dass $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- - ich {V.}_{Ö} t /. ℏ)$ , aber das hat keinen Einfluss $P$ $P$ $P.$ , schon seit $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ ${P.}_{Neu} = ψ_{Neu}^{*} ψ_{Neu} = [ψ^{*} \exp (+ ich {V.}_{Ö} t /. ℏ)]] [ψ \exp (- - ich {V.}_{Ö} t /. ℏ)]] = ψ^{*} ψ = P.$ .

(iv) Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu beweisen. Ein Weg ist zu zeigen $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- - \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ Sie können dies tun, indem Sie die Ableitung innerhalb des Integrals ziehen und die Produktregel auf anwenden $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]]}{d t}$ und Verwenden der Schrödinger-Gleichung und Integration nach Teilen, um das gewünschte Ergebnis zu beweisen.

Lieber Omar, vielen Dank für Ihre Antwort, aber mein Beitrag fragt etwas ganz anderes. Das hast du bewiesen $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P. = ψ^{*} ψ$ befriedigt die erforderliche Eigenschaft, und dies ist Standardpersonal. Aber meine Frage betrifft die $uniqueness$ $uniqueness$ $Einzigartigkeit$ von $P$ $P$ $P.$ . Böhm behauptet das $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P. = ψ^{*} ψ$ ist im Wesentlichen die einzigartige Funktion von $ψ$ $ψ$ $ψ$ und seine partiellen Ableitungen, die die erforderlichen Eigenschaften erfüllen. Haben Sie eine Idee, diese Aussage zu beweisen?

Kostas · Answer 3

OP bittet um einen mathematischen Beweis für die Eindeutigkeit einiger oder aller von Böhm angegebenen Eigenschaften von P. Es ist leicht zu erkennen, dass i), ii) und iii) separat und sogar zusammen verletzt werden können. Hier ist ein triviales Beispiel: $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P. = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ Es befriedigt iv) natürlich nicht. Es ist schwer zu beweisen, dass kein solcher Ausdruck befriedigt. Iv). Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, anzunehmen, dass P eine Polynomfunktion von Ψ und seinen Ableitungen ist (wie im Beispiel), und zu beweisen, dass alle Koeffizienten des Polynoms mit Ausnahme des Koeffizienten des Terms mit verschwinden $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ . Es ist eine dumme Angelegenheit, aber es kann Ihnen helfen, wenn Sie versuchen zu verstehen, warum die Schrödinger-Gleichung die einzig mögliche Gleichung ist!

Ich werde meine Antwort nicht umschreiben, aber der zweite Teil von ii) sagt, dass P "klein ist, wenn | ψ | klein ist". Dies klingt so, als ob partielle Ableitungen einfach nicht erlaubt sind. Dann wäre es viel einfacher, iv) zu beweisen.

Maurizio Barbato · Answer 4

Nach einer langen Literaturrecherche muss ich zugeben, dass das von Böhm diskutierte Problem der Feststellung der Eindeutigkeit der Wahrscheinlichkeitsdichte für die Schrödinger-Gleichung nur sehr wenig Interesse gefunden hat. Tatsächlich ist die einzige Arbeit, die sich explizit mit diesem Thema befasst, die Eindeutigkeit konservierter Ströme in der Quantenmechanik , obwohl das Eindeutigkeitsproblem zuvor im Kontext der De-Broglie-Bohm-Pilotwellentheorie diskutiert worden war (siehe die dort zitierten Arbeiten).

Holland verwendet relativistische Überlegungen, um die Eindeutigkeit des konservierten Stroms für die Klein-Gordon-Gleichung zu zeigen, aus der er in der nicht-relativistischen Grenze das analoge Eindeutigkeitsergebnis für die Schrödinger-Gleichung ableitet.

Wie derselbe Autor mir in einer privaten Mitteilung vorgeschlagen hat, könnte ein direkterer Beweis erbracht werden, wenn wir im Falle eines Potenzials direkt von der Schrödinger-Gleichung ausgehen $V$ $V$ $V.$ ::

ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (x, t) = - - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ ψ (x, t) + V. (x) ψ (x, t),

und verwenden Sie die Methode, die er in seiner Arbeit einführt, um alle konservierten Ströme abzuleiten

(P, J)

(P, J)

(P, J)

(P, J)

(P., J.)

Das sind nur Funktionen von

ψ

ψ

ψ

, die partiellen Ableitungen erster Ordnung von

ψ

ψ

ψ

und schließlich

V

V

V.

durch Untersuchung ihrer Transformationseigenschaften unter den Galilei-Transformationen und unter möglichen Änderungen von

V

V

V.

. Wir möchten darauf hinweisen, dass wir bei der Anwendung dieses Verfahrens seitdem vorsichtig sein müssen

ψ

ψ

ψ

ist unter Galilei-Transformationen nicht invariant, ändert sich aber entsprechend: siehe z. B. Commins, Quantenmechanik oder Galilei-Invarianz der Schrödinger-Gleichung .

Dies wird einen allgemeinen Satz von konservierten Strömen ergeben, und wir könnten untersuchen, ob die zusätzliche Annahme, dass $P$ $P$ $P.$ muss nur abhängen von $ψ$ $ψ$ $ψ$ und nicht auf seinen partiellen Ableitungen erster Ordnung (was eine besondere Folge der von Böhm geforderten Eigenschaft (ii) ist) impliziert schließlich einen eindeutigen Ausdruck für $P$ $P$ $P.$ oder nicht. Im letzten Fall sollte eine andere Bedingung (möglicherweise auch durch die Eigenschaft (ii) abgeleitet, die ziemlich vage ist) hinzugefügt werden, um die Eindeutigkeit zu erhalten.

Auf jeden Fall würde dieser Ansatz in jedem Fall unter einem Mangel an Allgemeinheit leiden, da Sie von Anfang an davon ausgehen müssen, dass $P$ $P$ $P.$ und $J$ $J$ $J.$ hängen nicht von partiellen Ableitungen von ab $ψ$ $ψ$ $ψ$ von einer Ordnung größer als eins, eine Annahme, die in Böhms Diskussion völlig abwesend zu sein scheint, obwohl sie aus physikalischen Gründen sehr plausibel ist (siehe die diesbezügliche Bemerkung Hollands in seiner Arbeit). Aus diesem Grund bin ich mir ziemlich sicher, dass dieser Ansatz nicht der war, an den Bohm gedacht hatte, als er seine Eindeutigkeitserklärung abgab, obwohl ich keine Ahnung habe, welche Art von Argument er sich hätte vorstellen können.

Eindeutigkeit der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Schrödinger-Gleichung

Maurizio Barbato

Avantgarde

Maurizio Barbato

Omar Nagib

drvrm

knzhou

Antworten (4)

EuYu

Maurizio Barbato

EuYu

EuYu

Maurizio Barbato

EuYu

Omar Nagib

Maurizio Barbato

Kostas

Kostas

Maurizio Barbato

Konstruieren von Lösungen für die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Kohärente Zustände und Vollständigkeit

Über die Komplexität der Wellenfunktion?

Wie kann man die Schrödinger-Gleichung ableiten?

Lagrange des Schrödinger-Feldes

Eigenfunktionen des Runge-Lenz-Vektors

Streu-, Stör- und asymptotische Zustände in der LSZ-Reduktionsformel

Warum ist Impuls keine Funktion der Position in der Quantenmechanik?

Helfen Sie einem angehenden Physiker, sich selbst zu lernen [geschlossen]

Warum wird θ 2 θ2 für eine Bloch-Kugel anstelle von θ θ verwendet?