Die Schrödinger-Gleichung ist die Grundlage für das Verständnis der Quantenmechanik, aber wie kann man sie ableiten? Ich fragte meinen Lehrer, aber er sagte mir, dass es aus der Erfahrung von Schrödinger und seinen Experimenten stammte. Meine Frage ist, kann man die Schrödinger-Gleichung mathematisch ableiten?
Beachten Sie, dass eine "mathematische Ableitung" eines physikalischen Prinzips im Allgemeinen nicht möglich ist. Mathematik betrifft nicht die reale Welt, wir brauchen immer empirische Eingaben, um zu entscheiden, welche mathematischen Rahmenbedingungen der realen Welt entsprechen.
Die Schrödinger-Gleichung ergibt sich jedoch auf natürliche Weise aus der klassischen Mechanik durch den Quantisierungsprozess. Genauer gesagt können wir die Quantenmechanik aus der klassischen Mechanik nur durch die Lie-Theorie motivieren, wie hier diskutiert wird, was die Quantisierungsvorschrift ergibt
für die klassische Poisson-Klammer. Nun ist die klassische Entwicklung von Observablen im Phasenraum
und so ist seine Quantisierung die Operatorgleichung
Das ist die Bewegungsgleichung im Heisenberg-Bild. Da das Heisenberg- und Schrödinger-Bild einheitlich äquivalent sind, ist dies eine "Ableitung" der Schrödinger-Gleichung aus der klassischen Phasenraummechanik.
Kleine Ergänzung zu ACuriousMinds großartiger Antwort als Antwort auf einige der Kommentare, in denen eine Ableitung der Schrödinger-Wellengleichung unter Verwendung der Ergebnisse von Feynmans Pfadintegralformalismus gefordert wurde :
(Hinweis: Hier können nicht alle Schritte enthalten sein, es wäre zu lang, um im Kontext einer Forum-Diskussionsantwort zu bleiben.)
Im Pfadintegralformalismus wird jedem Pfad eine Wellenfunktion zugeordnet Φ [ x ( t ) ] , das trägt zur Gesamtamplitude bei, sagen wir mal von ein zu b . Das Φ 's haben die gleiche Größe, aber unterschiedliche Phasen, was nur durch die klassische Aktion gegeben ist S. wie es im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik definiert wurde. Bisher haben wir:
Bezeichnet die Gesamtamplitude K. ( a , b ) , gegeben durch:
Die Idee, sich der Wellengleichung zu nähern und die Wellenfunktionen als Funktion der Zeit zu beschreiben, sollte mit der Aufteilung des Zeitintervalls beginnen ein - - b in N. kleine Längenintervalle ϵ und für eine bessere Notation verwenden wir x k für einen gegebenen Weg zwischen ein - - b und bezeichnen die volle Amplitude einschließlich ihrer Zeitabhängigkeit als ψ ( x k , t ) ( x k eine Region übernommen R. ):
Betrachten Sie nun die obige Gleichung, wenn wir die Amplitude zum nächsten Zeitpunkt wissen wollen t + ϵ ::
Das Obige ähnelt der vorhergehenden Gleichung, wobei der Unterschied auf dem Hinweis beruht, dass der hinzugefügte Faktor mit exp ( i / ℏ ) S. ( x k + 1 , x k ) beinhaltet keine der Bedingungen x ich Vor i < k So kann die Integration mit all diesen Begriffen durchgeführt werden. All dies reduziert die letzte Gleichung auf:
Nun ein Zitat aus Feynmans Originalarbeit zum obigen Ergebnis:
Diese Beziehung gibt die Entwicklung von ψ mit der Zeit wird für einfache Beispiele mit geeigneter Auswahl von gezeigt EIN , um der Schrödinger-Gleichung zu entsprechen. Tatsächlich ist die obige Gleichung nicht genau, sondern gilt nur für die Grenze ϵ → 0 und wir werden die Schrödinger-Gleichung ableiten, indem wir annehmen, dass diese Gleichung in erster Ordnung in gültig ist ϵ . Das Obige muss nur für kleine gelten ϵ zur ersten Bestellung in ϵ .
In seiner Originalarbeit zeigt er nach den Berechnungen für zwei weitere Seiten, von wo aus wir die Dinge verlassen haben, Folgendes:
Abbrechen ψ ( x , t ) von beiden Seiten und Vergleich der Begriffe mit der ersten Ordnung in ϵ und multiplizieren mit - ℏ / i Man erhält
Ich möchte Sie nachdrücklich ermutigen, sein Originalpapier zu lesen. Machen Sie sich keine Sorgen, es ist wirklich gut geschrieben und lesbar.
Literatur: Raum-Zeit-Ansatz zur nichtrelativistischen Quantenmechanik von RP Feynman, April 1948.
Feynman-Pfadintegrale in der Quantenmechanik, von Christian Egli
Laut Richard Feynman in seinen Vorlesungen über Physik, Band 3 und umschrieben "Die Schrödinger-Gleichung kann nicht abgeleitet werden". Laut Feynman wurde es von Schrödinger vorgestellt und liefert zufällig die Vorhersagen des Quantenverhaltens.
Grundgesetze der Physik können nicht abgeleitet werden (Schildkröten ganz unten und so weiter).
Sie können jedoch auf verschiedene Weise motiviert werden. Abgesehen von direkten experimentellen Beweisen können Sie analog argumentieren - im Fall der Schrödinger-Gleichung wurden Vergleiche mit der Hamilton-Mechanik und der Hamilton-Jacobi-Gleichung, der Fluiddynamik, der Brownschen Bewegung und der Optik durchgeführt.
Ein anderer Ansatz ist das Argumentieren durch mathematische „Schönheit“ oder Notwendigkeit: Sie können verschiedene Möglichkeiten zur Modellierung des Systems betrachten und den elegantesten Ansatz wählen, der den von Ihnen auferlegten Einschränkungen entspricht (dh eine Argumentation im Sinne der „Quantenmechanik“ ist der einzige Weg, dies zu tun X 'für' natürliche 'oder experimentell notwendige Werte von X).
Während es im Allgemeinen unmöglich ist, die Gesetze der Physik im mathematischen Sinne des Wortes abzuleiten, kann die meiste Zeit eine starke Motivation oder Begründung gegeben werden. Eine solche Unmöglichkeit ergibt sich aus der Natur der Naturwissenschaften, die versuchen, die all-to-unvollkommene Logik des menschlichen Geistes auf die natürlichen Phänomene um uns herum auszudehnen. Dabei stellen wir häufig Verbindungen oder intuitive Ahnungen her, mit denen es gelingt, fragliche Phänomene zu erklären. Wenn man jedoch darauf hinweisen müsste, welche logische Sequenz zur Erzeugung der Vermutung verwendet wurde, wäre er ratlos - meistens existiert eine solche logische Sequenz einfach nicht.
Die "Ableitung" der Schrödinger-Gleichung und ihre erfolgreiche Erklärung verschiedener Quantenphänomene ist eines der besten (kühn, umwerfend und erfolgreich) Beispiele für das intuitive Denken und Hypothesen, die zu großem Erfolg führen. Was viele Menschen vermissen, ist, dass Schrödinger die Ideen von Luis de Broglie einfach weiter zu ihrem kühnen Schluss gebracht hat.
1924 schlug de Broglie vor, dass mit jedem sich bewegenden Teilchen ein Wellenphänomen verbunden sein könnte. Beachten Sie, dass er nicht gesagt hat, dass jedes Teilchen eine Welle ist oder umgekehrt. Stattdessen versuchte er einfach, sich auf die seltsamen experimentellen Ergebnisse zu konzentrieren, die zu dieser Zeit erzielt wurden. In vielen dieser Experimente zeigten Dinge, von denen typischerweise erwartet wurde, dass sie sich wie Partikel verhalten, auch ein Wellenverhalten. Es ist dieses Rätsel, das de Broglie dazu veranlasste, seine berühmte Hypothese von λ = h p . Schrödinger wiederum verwendete diese Hypothese sowie das Ergebnis von Planck und Einstein ( E. = h ν ), um seine gleichnamige Gleichung zu erstellen.
Nach meinem Verständnis arbeitete Schrödinger ursprünglich mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus der klassischen Mechanik, um seine Gleichung zu erhalten. Dabei folgte er de Broglie selbst, der diesen Formalismus auch nutzte, um einige seiner Ergebnisse zu erzielen. Wenn man diesen Formalismus kennt, kann man den Schritten des ursprünglichen Denkens wirklich folgen. Es gibt jedoch einen einfacheren und direkteren Weg, um die Gleichung zu erstellen.
Betrachten Sie nämlich ein grundlegendes harmonisches Phänomen:
y = A s i n ( w t - δ )
für ein Teilchen, das sich entlang der x -Achse,
y = A s i n 2 π v λ ( t - x v )
Angenommen, wir haben ein Teilchen, das sich entlang der Erde bewegt x -Achse. Nennen wir die damit verbundene Wellenfunktion (ähnlich dem elektrischen Feld eines Photons) ψ ( x , t ) . Über diese Funktion wissen wir derzeit nichts. Wir haben dem Phänomen, das Experimentatoren beobachteten und der Hypothese von de Broglie folgen, einfach einen Namen gegeben.
Die grundlegendste Wellenfunktion hat die folgende Form: ψ = A e - i ω ( t - x v ) , wo v ist die Geschwindigkeit des Teilchens, die mit diesem Wellenphänomen verbunden ist.
Diese Funktion kann als neu geschrieben werden
ψ = A e - i 2 π ν ( t - x ν λ ) = A e - i 2 π ( ν t - x λ ) , wo ν - die Frequenz der Schwingungen und E. = h ν . Wir sehen das ν = E. 2 π ℏ Letzteres ist natürlich das Ergebnis von Einstein und Planck.
Lassen Sie uns das Ergebnis von de Broglie explizit in diesen Gedanken einbringen:
λ = h p = 2 π ℏ p
Lassen Sie uns die Werte aus den Ergebnissen von de Broglie und Einstein in die Wellenfunktionsformel einsetzen.
ψ = A e - i 2 π ( E. t 2 π ℏ - x p 2 π ℏ ) = A e - ich ℏ ( E. t - x p ) ( ∗ )
Dies ist eine Wellenfunktion, die mit der Bewegung eines uneingeschränkten Teilchens der Gesamtenergie verbunden ist E. , Schwung p und entlang des Positiven bewegen x -Richtung.
Wir wissen aus der klassischen Mechanik, dass die Energie die Summe aus kinetischen und potentiellen Energien ist.
E. = K. . E. . + P. . E. . = m v 2 2 + V. = p 2 2 m + V.
Multiplizieren Sie die Energie mit der Wellenfunktion, um Folgendes zu erhalten:
E. ψ = p 2 2 m ψ + V. ψ
Als nächstes besteht das Grundprinzip darin, aus der Elektrodynamik etwas zu erhalten, das der Wellengleichung ähnelt. Wir brauchen nämlich eine Kombination von Raum- und Zeitableitungen, die in den Ausdruck für die Energie zurückgebunden werden können.
Lassen Sie uns jetzt unterscheiden ( ∗ ) in Gedenken an x .
∂ ψ ∂ x = A ( i p ℏ ) e - ich ℏ ( E. t - x p )
∂ 2 ψ ∂ x 2 = - A ( p 2 ℏ 2 ) e - ich ℏ ( E. t - x p ) = p 2 ℏ 2 ψ
Daher, p 2 ψ = - ℏ 2 ∂ 2 ψ ∂ x 2
Die Zeitableitung ist wie folgt:
∂ ψ ∂ t = - A i E. ℏ e - ich ℏ ( E. t - x p ) = - i E. ℏ ψ
Daher, E. ψ = - ℏ ich ∂ ψ ∂ t
Der Ausdruck für Energie, den wir oben erhalten haben, war E. ψ = p 2 2 m ψ + V. ψ
Wenn wir die Ergebnisse mit Zeit- und Raumableitungen in den Energieausdruck einsetzen, erhalten wir
- ich ℏ ∂ ψ ∂ t = - ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + V. ψ
Dies wurde natürlich besser bekannt als die Schrödinger-Gleichung.
Es gibt mehrere interessante Dinge in dieser "Ableitung". Zum einen wurden sowohl die Einsteinsche Quantisierung als auch die De-Broglie-Hypothese der Wellenmaterie explizit verwendet. Ohne sie wäre es sehr schwierig, intuitiv nach Schrödinger zu dieser Gleichung zu gelangen. Darüber hinaus unterscheidet sich die resultierende Gleichung in ihrer Form von der aus der klassischen Elektrodynamik bekannten Standardwellengleichung. Dies liegt daran, dass die Reihenfolge der partiellen Differenzierung in Bezug auf Raum- und Zeitvariablen umgekehrt ist. Hätte Schrödinger versucht, der Form der klassischen Wellengleichung zu entsprechen, wäre er wahrscheinlich nirgendwo hingekommen.
Da suchte er jedoch etwas Enthaltendes p 2 ψ und E. ψ Die richtige Reihenfolge der Derivate war für ihn im Wesentlichen vorbestimmt.
Anmerkung: Ich behaupte nicht, dass diese Ableitung Schrödingers Arbeit folgt. Der Geist, das Denken und die Intuition der Zeit bleiben jedoch mehr oder weniger erhalten.
In der Mathematik leiten Sie Theoreme aus Axiomen und den vorhandenen Theoremen ab.
In der Physik leiten Sie Gesetze und Modelle aus bestehenden Gesetzen, Modellen und Beobachtungen ab.
In diesem Fall können wir von den Beobachtungen im photoelektrischen Effekt ausgehen, um die Beziehung zwischen Photonenenergie und Frequenz zu erhalten. Fahren Sie dann mit der speziellen Relativitätstheorie fort, bei der wir beobachtet haben, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Referenzrahmen konstant ist. Daraus können wir bei der Verallgemeinerung der kinetischen Energie die Massenenergieäquivalenz erhalten. Wenn wir beide kombinieren, können wir dem Photon Masse zuweisen, folglich können wir den Impuls eines Photons als Funktion der Wellenzahl erhalten.
Verallgemeinerung der Energie-Frequenz- und der Impuls-Wellenzahl-Beziehung, wenn die De-Broglie-Beziehungen vorliegen. Welches gilt für alle Partikel.
Angenommen, ein Teilchen hat im Stillstand 0 Energie ( Sie können es tun ), obwohl es nicht zu viel Ärger verursacht, wenn Sie den konstanten Term dort belassen, können Sie ihn in den späteren Phasen einfach auf die linke Seite des setzen Gleichung. Wir können mit der kinetischen Energie umgehen. Wenn wir die nicht-relativistische Kinetik in die Beziehung einsetzen und neu ordnen, können wir die folgende Dispersionsrelation haben:
Die Wellengleichung kann aus der Dispersionsrelation der Materiewellen unter Verwendung der in dieser Antwort erwähnten Weise abgeleitet werden.
In diesem Fall benötigen wir die Laplace- und Erstableitung:
Multiplizieren Sie die Zeitableitung mit - 2 m ich ℏ können wir die rechte Seite auf Null setzen:
Wir können es neu anordnen, um die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung eines freien Teilchens zu erhalten:
Meiner Meinung nach gibt es zwei Sinne, in denen wir ein Ergebnis in der Physik "ableiten" können. Neue Theorien versuchen, die Mängel älterer zu beheben, indem sie das, was wir bereits haben, verbessern und neue Ergebnisse liefern. Sie stellen auch alte Ergebnisse wieder her. Ich nehme an, wir können beide Ableitungen nennen.
Zum Beispiel wurden TISE und TDSE zuerst erhalten, weil die Quantenmechanik dies sagte, wo die klassische Mechanik dies implizieren würde f = 0 , wir hätten sollen f ^ | ψ ψ = 0 mit f ^ die Betreiberförderung von f , was in diesem Fall ist f = E. - p 2 2 m - V. mit Betreibern E. = i ℏ ∂ t , p = - i ℏ ∇ . (Einige Ergebnisse werden schwächer ⟨Ψ | f ^ | ψ ψ = 0 zB mit f = d p d t + ∇ V. Also bin ich hier nicht ganz ehrlich. Aber wir erwarten E. ^ -eigenstates sind wichtig, weil die Wahrscheinlichkeitsverteilung von E. ist erhalten.)
Beachten Sie, dass der obige Absatz zusammenfasst, wie Schrödinger im ersten Sinne abgeleitet wurde, und seine Endklammer darauf hinweist, wie Newtons zweites Gesetz in meinem zweiten Sinne "abgeleitet" wurde. Und jeder, der über Pfadintegrale spricht, deutet auf eine Typ-2-Ableitung für beide Ergebnisse hin (Pfadintegrale erhalten eine Übergangsamplitude in Bezug auf e i S. mit S. Die klassische Aktion kommt jetzt auf wundersame Weise aus dem Hut. Technisch gesehen ist unsere direkte Wiederherstellung eher die Lagrange-Mechanik als die äquivalente Newtonsche Formulierung.
Ich überlasse es den Leuten, darüber zu streiten, ob die Art der Ableitung "gültig" oder "besser" ist, aber körperliche Einsicht erfordert häufige Dosen von beiden. Ich denke, es lohnt sich, sie in einer solchen Diskussion zu unterscheiden.
Blase
David Z ♦
Benutzer 170039