Spin Orbital Coupling Matrix auf p-Orbitalbasis

Question

Spin Orbital Coupling Matrix auf p-Orbitalbasis

Physik
Drehimpuls
Quantenspin
Quantenmechanik

Wissenschaftlich

Ich habe also den folgenden Hamilton-Operator aus der Atomphysik geerbt:

{H.}_{S. Ö C.} = α \vec{L.} \cdot \vec{S.} = \frac{α}{2} ({L.}^{+} σ^{+} + {L.}^{- -} σ^{- -} + {L.}^{z} σ^{z})

Wobei L der Drehimpuls ist, S Spin ist und $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ ${L.}^{\pm} (σ^{\pm})$ ist der Drehimpuls (Spin) Step Up / Step Down Operator.

Jetzt auf der Basis von $p$ $p$ $p$ Orbitale und Spin: ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}}$ Wir bekommen folgendes $6 \times 6$ $6 \times 6$ $6 \times 6$ Matrix:

{H.}_{S. Ö C.} = \frac{α}{2} (\begin{matrix} 0 & - - ich & 0 & 0 & 0 & 1 \\ ich & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - - 1 & ich & 0 \\ 0 & 0 & - - 1 & 0 & ich & 0 \\ 0 & 0 & - - ich & - - ich & 0 & 0 \\ 1 & ich & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Entschuldigen Sie meine Unwissenheit, aber wie genau werden diese Matrixelemente berechnet?

Ich verstehe, dass das erste Matrixelement die Energie der Spin-Orbital-Kopplung der ist $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ Elektron wirkt auf die $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ Elektron, da sie die gleiche Orientierung haben, sollte die Energie sicher Null sein. Aber jetzt haben wir die $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ Elektron wirkt auf die $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ Orbital und wir bekommen $i$ $i$ $ich$ . Wie wird das berechnet? Kann jemand die Schritte zur Berechnung eines Matrixelements zeigen, damit ich sehen kann, wie dies gemacht wird. Und nein, das sind keine Hausaufgaben oder so, nur meine persönliche Neugier.

Ich habe online etwas Ähnliches gefunden, aber sie haben Clebsch-Gordan-Koeffizienten verwendet, was mich mehr verwirrte.

AccidentalFourierTransform

Schreiben Sie die

p

p

p

Orbitale in Bezug auf sphärische Harmonische (z.

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - - 1 ⟩

). Mit diesem,

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

{L.}^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ({L.}^{+} | + 1 ⟩ + {L.}^{+} | - - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

, etc.

Wissenschaftlich

Hmm, ok, das ist ein Ausgangspunkt - obwohl ich nicht sicher bin, wie Sie das p_x-Orbital so in Dirac-Notation ausdrücken. Und dann ... wie integrieren Sie den Spinoperator und wie finden Sie tatsächlich die Matrixelemente zwischen zwei Elektronen

AccidentalFourierTransform

siehe hier

Wissenschaftlich

@AccidentalFourierTransform tut mir leid, aber ich verstehe wirklich nicht, wie ich die Matrixelemente noch bekomme. Bin schon eine Weile dabei. Können Sie mir nur ein Beispiel geben? Sagen Sie das Element der zweiten Zeile der ersten Spalte

i

i

ich

. Ich denke, ich muss nur ein ausgearbeitetes Beispiel sehen, um einen Sinn daraus zu machen. Vielen Dank.

Antworten (2)

Spin Orbital Coupling Matrix auf p-Orbitalbasis

Hmm, ok, das ist ein Ausgangspunkt - obwohl ich nicht sicher bin, wie Sie das p_x-Orbital so in Dirac-Notation ausdrücken. Und dann ... wie integrieren Sie den Spinoperator und wie finden Sie tatsächlich die Matrixelemente zwischen zwei Elektronen
@AccidentalFourierTransform tut mir leid, aber ich verstehe wirklich nicht, wie ich die Matrixelemente noch bekomme. Bin schon eine Weile dabei. Können Sie mir nur ein Beispiel geben? Sagen Sie das Element der zweiten Zeile der ersten Spalte $i$ $i$ $ich$ . Ich denke, ich muss nur ein ausgearbeitetes Beispiel sehen, um einen Sinn daraus zu machen. Vielen Dank.

ZeroTheHero · Answer 1

Erstens denke ich dein $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ ${H.}_{S. Ö C.}$ ist falsch und sollte lauten:

\begin{matrix} (1) & {H.}_{S. Ö C.} = \frac{α}{2} ({L.}_{+} σ_{- -} + {L.}_{- -} σ_{+} + {L.}_{z} σ_{z}) . \end{matrix}

Die Wendung bei Ihrem Problem besteht darin, dass die realen sphärischen Harmonischen verwendet werden und nicht die komplexe Exponentialform, die in der Physik häufiger vorkommt und besser an die Bewertung von Matrixelementen angepasst ist. Die Konvertierung zwischen den beiden finden Sie auf dieser Wiki-Seite.

Somit:

\begin{aligned} (2) & p_{y} & = \frac{ich}{\sqrt{2}} ({Y.}_{1}^{- - 1} + {Y.}_{1}^{1}) \Rightarrow | p_{y} ⟩ = \frac{ich}{\sqrt{2}} (| 1, - - 1 ⟩ + | 1, 1 ⟩), \\ (3) & p_{x} & = \frac{1}{\sqrt{2}} ({Y.}_{1}^{- - 1} - - {Y.}_{1}^{1}) \Rightarrow | p_{y} ⟩ = \frac{ich}{\sqrt{2}} (| 1, - - 1 ⟩ + | 1, 1 ⟩), \\ (4) & p_{z} & = {Y.}_{1}^{0} \Rightarrow | p_{z} ⟩ = | 1, 0 ⟩, \end{aligned}

wo die Argumente

(θ, φ)

(θ, φ)

(θ, φ)

des

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

{Y.}_{ℓ}^{m}

wurden aus Gründen der Klarheit weggelassen.

Der nächste Schritt besteht darin, die Aktion der verschiedenen Bediener auf abzurufen $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ ${Y.}_{ℓ m}$ ::

\begin{aligned} (5) & {\hat{L.}}_{\pm} {Y.}_{ℓ}^{m} & = \sqrt{(ℓ \mp m) (ℓ \pm m + 1)} {Y.}_{ℓ}^{m \pm 1}, \\ (6) & {\hat{L.}}_{z} {Y.}_{ℓ}^{m} & = m {Y.}_{ℓ}^{m} \end{aligned}

woraus man zum Beispiel (wenn ich keine offensichtlichen Fehler gemacht habe) die Matrixdarstellung von erhält

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L.}}_{+}

in der Basis

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}}

\begin{aligned} (7) & {\hat{L.}}_{+} | p_{x} ⟩ & = | p_{z} ⟩ {\hat{L.}}_{+} | p_{y} ⟩ = ich | p_{z} ⟩ {\hat{L.}}_{+} | p_{z} ⟩ = - - | p_{x} ⟩ - - ich | p_{y} ⟩, \end{aligned}

damit

\begin{aligned} (8) & {\hat{L.}}_{+} \to (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & - - 1 \\ 0 & 0 & - - ich \\ 1 & ich & 0 \end{array}), {\hat{L.}}_{- -} \to (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - - ich \\ - - 1 & ich & 0 \end{array}) . \end{aligned}

da die Matrixdarstellung für

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L.}}_{- -}

wird transponiert konjugiert von der Matrixdarstellung für

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L.}}_{+}

. Gleichfalls:

\begin{aligned} (9) & {\hat{σ}}_{+} | ↑ ⟩ & = 0, {\hat{σ}}_{+} | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩, {\hat{σ}}_{- -} | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩, {\hat{σ}}_{- -} | ↓ ⟩ = 0 . \end{aligned}

Daher:

\begin{aligned} (10) & {\hat{L.}}_{+} {\hat{σ}}_{- -} | p_{x};; ↑ ⟩ & = [{\hat{L.}}_{+} | p_{x} ⟩]] [{\hat{σ}}_{- -} | ↑ ⟩]] = | p_{z} ⟩ | ↓ ⟩ = | p_{z};; ↓ ⟩, \\ (11) & {\hat{L.}}_{- -} {\hat{σ}}_{+} | p_{x};; ↑ ⟩ & = 0, \\ (12) & {\hat{L.}}_{z} {\hat{σ}}_{z} | p_{x};; ↑ ⟩ & = [{\hat{L.}}_{z} | p_{x} ⟩]] [{\hat{σ}}_{z} | ↑ ⟩]] = ich | p_{y} ⟩ | ↑ ⟩ = ich | p_{y};; ↑ ⟩ \end{aligned}

Dies ist nicht ganz die erste Spalte Ihrer Matrix, aber so wie ich es verstehe, ist diese Matrix auch nicht ganz korrekt, da sie hermitisch sein sollte, aber nicht: zum Beispiel das Matrixelement in Position

(2, 6)

(2, 6)

(2, 6)

sollte das komplexe Konjugat des Matrixelements in Position sein

(6, 2)

(6, 2)

(6, 2)

. Wie auch immer, meine Berechnung würde die Elemente in der ersten Spalte als geben

\begin{matrix} (13) & (0, 0, ich, 0, 0, 1)^{T.} \end{matrix}

Dies kann daran liegen, dass die Basiselemente als geordnet sind ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}}$ anstatt der Bestellung, die Sie geben (oder es ist durchaus möglich, dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe). Mit dieser Bestellung würde meine erste Spalte als herauskommen $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, ich, 0, 0, 0, 1)^{T.}$ , das ist identisch mit Ihrem. Beachten Sie, dass dies das zuvor erwähnte Hermitizitätsproblem nicht behebt.

Die anderen Spalten werden auf die gleiche Weise gefunden.

Rudi_Birnbaum · Answer 2

Schauen Sie sich zum Beispiel Eintrag 1,2 an:

$(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $({H.}_{S. Ö C.})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | {H.}_{S. Ö C.} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} ({L.}^{+} σ^{+} + {L.}^{- -} σ^{- -} + {L.}^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$

$= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | {L.}^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | {L.}^{- -} σ^{- -} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | {L.}^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$

Das wird alles lang, also schauen wir uns nur den ersten Term an. Hier wirkt der Spin-Ladder-Operator nur auf den Spin-Teil des Produkts und Ladder Up macht Spin-Up von Spin-Down, also erhalten wir:

$< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | {L.}^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑> < p_{x} | {L.}^{+} | p_{x} >$ ,

Im Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen befindet sich das "Integral" über den Funktionen nur der Spin-Koordinate links und das Integral über dem Raum rechts und mit den oben beschriebenen Informationen von AccidentialFourierTransform (es geht eigentlich darum, wie man es ausdrückt die sphärischen Harmonischen auf einer Basis, die mit Hilfe der Leiteroperatoren bewertet werden kann)

$1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$

Hier geht es darum, was Sie tun müssen, um diese Matrixelemente zu bewerten (bis zu einigen Fehlern).

Spin Orbital Coupling Matrix auf p-Orbitalbasis

Wissenschaftlich

AccidentalFourierTransform

Wissenschaftlich

AccidentalFourierTransform

Wissenschaftlich

Antworten (2)

ZeroTheHero

Rudi_Birnbaum

Klassischer Nachweis des gyromagnetischen Verhältnisses g = 2 g = 2

Kohärente Zustände und Vollständigkeit

Eigenfunktionen des Runge-Lenz-Vektors

Über die Komplexität der Wellenfunktion?

Warum ist Impuls keine Funktion der Position in der Quantenmechanik?

Konstruieren von Lösungen für die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Helfen Sie einem angehenden Physiker, sich selbst zu lernen [geschlossen]

Eindeutigkeit der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Schrödinger-Gleichung

Wie kann man die Schrödinger-Gleichung ableiten?

Verstrickung und Kohärenz