Über die Komplexität der Wellenfunktion?

Question

Über die Komplexität der Wellenfunktion?

Physik
Wellenfunktion
Komplexe-zahlen
Quantenmechanik

yayu

1.

Warum ist die Wellenfunktion komplex? Ich habe einige Erklärungen für Laien gesammelt, aber sie sind unvollständig und unbefriedigend. In dem Buch von Merzbacher auf den ersten Seiten gibt er jedoch eine Erklärung, bei der ich Hilfe brauche: dass die de Broglie-Wellenlänge und die Wellenlänge einer elastischen Welle unter einer galiläischen Transformation keine ähnlichen Eigenschaften aufweisen. Er sagt im Grunde, dass beide unter einer Eichentransformation und auch getrennt durch Lorentz-Transformationen äquivalent sind. Dies, begleitet von der Beobachtung, dass $ψ$ $ψ$ $ψ$ ist nicht beobachtbar, daher gibt es keinen "Grund dafür, dass es real ist". Kann mir jemand einen intuitiven Auftakt geben, was eine Eichentransformation ist und warum sie das gleiche Ergebnis liefert wie eine Lorentz-Transformation in einer nicht relativistischen Umgebung? Und schließlich, wie in diesem "großen Schema" die komplexe Natur der Wellenfunktion offensichtlich wird ... auf eine Weise, die ein Dummy wie ich verstehen kann.

2.

Eine Wellenfunktion kann als Skalarfeld betrachtet werden (hat in jedem Punkt einen Skalarwert ( $r, t$ $r, t$ $r, t$ ) gegeben durch $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ :: {R.}^{3} \times R. \to C.$ und auch als Strahl im Hilbert-Raum (ein Vektor). Wie sind diese beiden Perspektiven gleich (dies ist möglicherweise etwas Elementares, das ich verpasse oder durch Definitionen und Terminologie verwirrt werde, wenn dies der Fall ist, ich bin verzweifelt nach Hilfe;)

3.

Eine Möglichkeit, über die obige Frage nachzudenken, besteht darin, dass die Wellenfunktion äquivalent geschrieben werden kann $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ :: {R.}^{3} \times R. \to {R.}^{2}$ Das heißt, da eine Wellenfunktion komplex ist, könnte die Schrödinger-Gleichung im Prinzip äquivalent als gekoppelte Differentialgleichungen in zwei reellen Funktionen geschrieben werden, die die Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllen. dh wenn

ψ (x, t) = u (x, t) + ich v (x, t)

und

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

;;

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - - v_{x}

und wir bekommen

ℏ \partial_{t} u = - - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} v + V. v

ℏ \partial_{t} v = \frac{ℏ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} u - - V. u

(..in 1-D) Wenn dies korrekt ist, wie lauten die Interpretationen der

u, v

u, v

u, v

.. und warum ist es nicht nützlich. (Ich gehe davon aus, dass physische Probleme immer eine Analyse haben

ψ (r, t)

ψ (r, t)

ψ (r, t)

).

Peter Morgan

Hallo Yayu. Ich habe immer eine Arbeit von Leon Cohen, "Regeln der Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik", Foundations of Physics 18 , 983 (1988), interessant gefunden, die sich dieser Frage durch charakteristische Funktionen etwas seitwärts nähert. Cohen kommt aus einem Signalverarbeitungshintergrund, in dem Fourier-Transformationen sehr oft eine natürliche Sache sind. Fourier-Transformationen und komplexe Zahlen sind natürlich an der Hüfte ziemlich verbunden.

Ben Crowell

Hier sind einige einfache Beobachtungen, die hilfreich sein könnten. (1) Sie können stehende Wellen mit reellen Wellenfunktionen beschreiben, z. B. kann man in der niederenergetischen Kernstrukturphysik fast immer damit durchkommen. (2) Das wf eines Photons ist einfach das elektrische und magnetische Feld. Diese sind beobachtbar und real bewertet. (3) Wenn das Elektron wf real und beobachtbar wäre, müsste die Wellenlänge unter einem galiläischen Boost invariant sein, was die de Broglie-Beziehung verletzen würde. (4) Selbst für Wellen mit realem Wert sind Operatoren komplex, z. B. Impuls in der klassisch verbotenen Region.

Timaios

@yayu Eine komplexe Analysefunktion ist eine Funktion von komplexen Zahlen zu komplexen Zahlen. Und die Cauchy-Riemann-Gleichungen handeln von solchen Funktionen. Es ist sehr verwirrend, x und t so auszuwählen, als ob die t-Achse eine imaginäre Achse und die x-Achse eine reale Achse wäre und y und z nicht existierten.

Lincoln

"Tl; DR: Imaginäre Zahlen beschreiben die Phase eines Quantenobjekts." Die physikalische Bedeutung von imaginären Zahlen gibt also die virtuellen Teilchen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit an?

valerio

Siehe auch : physics.stackexchange.com/q/32422

Antworten (13)

Über die Komplexität der Wellenfunktion?

Hallo Yayu. Ich habe immer eine Arbeit von Leon Cohen, "Regeln der Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik", Foundations of Physics 18 , 983 (1988), interessant gefunden, die sich dieser Frage durch charakteristische Funktionen etwas seitwärts nähert. Cohen kommt aus einem Signalverarbeitungshintergrund, in dem Fourier-Transformationen sehr oft eine natürliche Sache sind. Fourier-Transformationen und komplexe Zahlen sind natürlich an der Hüfte ziemlich verbunden.
Hier sind einige einfache Beobachtungen, die hilfreich sein könnten. (1) Sie können stehende Wellen mit reellen Wellenfunktionen beschreiben, z. B. kann man in der niederenergetischen Kernstrukturphysik fast immer damit durchkommen. (2) Das wf eines Photons ist einfach das elektrische und magnetische Feld. Diese sind beobachtbar und real bewertet. (3) Wenn das Elektron wf real und beobachtbar wäre, müsste die Wellenlänge unter einem galiläischen Boost invariant sein, was die de Broglie-Beziehung verletzen würde. (4) Selbst für Wellen mit realem Wert sind Operatoren komplex, z. B. Impuls in der klassisch verbotenen Region.
@yayu Eine komplexe Analysefunktion ist eine Funktion von komplexen Zahlen zu komplexen Zahlen. Und die Cauchy-Riemann-Gleichungen handeln von solchen Funktionen. Es ist sehr verwirrend, x und t so auszuwählen, als ob die t-Achse eine imaginäre Achse und die x-Achse eine reale Achse wäre und y und z nicht existierten.
"Tl; DR: Imaginäre Zahlen beschreiben die Phase eines Quantenobjekts." Die physikalische Bedeutung von imaginären Zahlen gibt also die virtuellen Teilchen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit an?

Jerry Schirmer · Answer 1

Physikalischer als viele der anderen Antworten hier (von denen viele "der Formalismus der Quantenmechanik hat komplexe Zahlen, daher sollte die Quantenmechanik komplexe Zahlen haben) können Sie die komplexe Natur der Wellenfunktion erklären, indem Sie sie schreiben wie $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{ich ϕ (x)}$ , wo $i ϕ$ $i ϕ$ $ich ϕ$ ist ein komplexer Phasenfaktor. Es stellt sich heraus, dass dieser Phasenfaktor nicht direkt messbar ist, sondern viele messbare Konsequenzen hat, wie das Doppelspaltexperiment und den Aharonov-Bohm-Effekt .

Warum sind komplexe Zahlen für die Erklärung dieser Dinge unerlässlich? Weil Sie eine Darstellung benötigen, die keine nichtphysischen Zeit- und Raumabhängigkeiten in der Größenordnung von induziert $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ (wie das Multiplizieren mit realen Phasen), UND das ermöglicht Interferenzeffekte wie die oben genannten. Der natürlichste Weg, dies zu tun, besteht darin, die Wellenamplitude mit einer komplexen Phase zu multiplizieren.

Gibt es eine Welle oder Schwingung, die mit einem komplexen Zahlenformalismus nicht beschrieben werden kann / muss?
Aber was sind die Unterschiede zwischen den Schallwellen und der Wellenfunktion? Warum muss die zweite komplex sein, während die erste ebenfalls stören kann? Und wir können unsere Wellenfunktion durch Sinus und Cosinus schreiben, also den Wert $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T.} ψ$ bezieht sich in diesem Fall auch auf die Invariante.
@AndrewMcAddams: Der Unterschied besteht darin, dass die Amplitude einer Schallwelle beobachtbar ist, während in der Quantenmechanik nur die Amplitude des quadratischen Moduls beobachtbar ist. Ich kann die Phase einer Wasserwelle sehen, aber ich kann die Phase einer Elektronenwelle nur durch Interferenzeffekte sehen.
Dies ist die prägnanteste und am leichtesten verständliche Erklärung, die ich je zum „Warum“ gelesen habe. Vielen Dank. So viele Lehrbücher zur Quantenmechanik kommunizieren diese Tatsache nicht.
@docscience: Natürlich nicht - Sie brauchen schließlich nicht einmal komplexe Zahlen, um komplexe Zahlen zu berechnen. Es ist einfach eine schöne, einfache Möglichkeit, sie zu erstellen. Und die Leute haben versucht, die Quantenmechanik mithilfe von Quarternionen neu zu formulieren, aber ich weiß nicht, wie weit sie wirklich gekommen sind, das liegt außerhalb meines Fachgebiets.

pcr · Answer 2

Alternative Diskussion von Scott Aaronson: http://www.scottaaronson.com/democritus/lec9.html

Aus dem Postulat der Wahrscheinlichkeitsinterpretation schließen wir, dass der Zeitentwicklungsoperator $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U.} (t)$ muss einheitlich sein, damit die Gesamtwahrscheinlichkeit immer 1 ist. Beachten Sie, dass die Wellenfunktion noch nicht unbedingt komplex ist.
Von der Website: "Warum ging Gott mit den komplexen Zahlen und nicht mit den reellen Zahlen? Antwort: Nun, wenn Sie möchten, dass jede einheitliche Operation eine Quadratwurzel hat, müssen Sie zu den komplexen Zahlen gehen ..." $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U.} (t)$ muss komplex sein, wenn wir noch eine kontinuierliche Transformation wollen. Dies impliziert eine komplexe Wellenfunktion.

Daher sollte der Bediener sein: $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U.} (t) = e^{ich \hat{K.} t}$ für Einsiedler $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{K.}$ um die Norm der Wellenfunktion zu erhalten.

Persönlich bevorzuge ich die Antwort von Jerry Schirmer, weil sie weniger Postulat erfordert und stattdessen experimentelle Fakten direkt verwendet. =)
Ihre Antwort gefällt mir sehr gut, genauso wie die von Jerry. Aber ich würde zwei Dinge hinzufügen: Erstens ist die Quadratwurzelsache etwas stumpf: Ich würde es für diejenigen wie mich, die etwas langsam in der Aufnahme sind, wie folgt ausdrücken: .... (ctd) ...
"Alle Eigenwerte von Einheitsoperatoren haben eine Einheitsgröße. Der einzige nichttriviale Einheitsoperator mit allen realen Eigenwerten ist also einer mit einer Mischung aus + 1s und -1s als Eigenwerten $M$ $M$ $M.$ - Andernfalls ist es der Identitätsoperator $I$ $I$ $ich$ . Schon seit $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U. (t)$ und seine Eigenwerte variieren kontinuierlich, $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U. (t)$ kann nicht erreichen $M$ $M$ $M.$ von seinem Anfangswert $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U. (0) = ich$ es sei denn, mindestens ein Eigenwert durchläuft alle Werte im Einheitshalbkreis, um den Wert -1 "zu erreichen. ... (ctd) ...
Zweitens wird das Argument nicht ganz so fliegen wie es ist: Es gibt nichttriviale, einheitliche Gruppen mit realer Matrixbewertung $S O (N)$ $S O (N)$ $S O (N)$ $S O (N)$ $S. Ö (N.)$ (deren Mitglieder komplexe Eigenwerte haben, aber dennoch echte Matrizen sind), die das realisieren $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U. (t) = \exp (ich K. t)$ In Ihrer Argumentation können Quantenzustände also immer noch alle realen Wellenfunktionen sein, wenn sie real sind $t = 0$ $t = 0$ $t = 0$ . Ich habe keine Lösung dafür, vielleicht könnten Sie sich auf ein Experiment berufen. Es ist jedoch ein hübsches Argument, also werde ich weiter nachdenken.

Terry Bollinger · Answer 3

Diese einjährige Frage tauchte unerwartet auf, als ich mich anmeldete, und sie ist interessant. Ich denke, es ist in Ordnung, nur eine "Addendum-Antwort" auf Intuitionsebene zu den hervorragenden und weitaus vollständigeren Antworten hinzuzufügen, die vor langer Zeit gegeben wurden.

Ihre Kernel-Frage scheint folgende zu sein: "Warum ist die Wellenfunktion komplex?"

Meine absichtlich informelle Antwort lautet:

Denn durch experimentelle Beobachtung ähnelt das Quantenverhalten eines Teilchens dem eines rotierenden Seils (z. B. eines Springseils) weitaus stärker als einem Seil, das sich nur auf und ab bewegt.

Wenn jeder Punkt in einem Seil einen Kreis markiert, während er sich bewegt, ist eine sehr natürliche und wirtschaftliche Art, jeden Punkt entlang der Länge des Seils darzustellen, eine komplexe Größe. Das muss man natürlich nicht so machen. In der Tat wäre die Verwendung von Polarkoordinaten wahrscheinlich etwas einfacher.

Das Schöne an komplexen Zahlen ist jedoch, dass sie eine einfache und rechnerisch effiziente Möglichkeit bieten, ein solches Polarkoordinatensystem darzustellen. Sie können in die blutigen Details der mathematischen Details des Warum einsteigen, aber es genügt zu sagen, dass als frühe Physiker anfingen, komplexe Zahlen für genau diesen Zweck zu verwenden, ihre Vorteile fortgesetzt wurden, selbst als die Probleme weitaus komplexer wurden. In der Quantenmechanik waren ihre Vorteile so überwältigend, dass komplexe Zahlen als "Realität" der Darstellung einer solchen Mathematik akzeptiert wurden.

Diese konzeptionelle Verschmelzung komplexer Größen mit der tatsächlichen Physik kann Ihre Intuitionen ein wenig beeinträchtigen. Wenn Sie sich beispielsweise ein bewegliches Springseil ansehen, gibt es keinen Unterschied zwischen der "realen" und der "imaginären" Achse in den tatsächlichen Umdrehungen jedes Punkts im Seil. Gleiches gilt für Quantendarstellungen: Es ist die Phase und Amplitude, die zählt, wobei andere Unterschiede zwischen den Achsen der Phasenebene darauf zurückzuführen sind, wie Sie diese Phasen in komplizierteren mathematischen Konstruktionen verwenden.

Wenn sich Quantenwellenfunktionen also nur wie Seile verhalten würden, die sich entlang einer einzelnen Achse auf und ab bewegen, würden wir reale Funktionen verwenden, um sie darzustellen. Aber sie tun es nicht. Da sie stattdessen eher diesen Springseilen ähneln, ist es viel einfacher, jeden Punkt entlang des Seils mit zwei Werten darzustellen, einem "realen" und einem "imaginären" (und keinem im realen XYZ-Raum) für seinen Wert.

Warum behaupte ich schließlich, dass ein einzelnes Quantenteilchen eine Wellenfunktion hat, die der eines in Bewegung befindlichen Springseils ähnelt? Das klassische Beispiel ist das Partikel-in-einer-Box- Problem, bei dem ein einzelnes Partikel zwischen den beiden X- Achsenenden der Box hin und her springt. Ein solches Teilchen bildet einen, zwei, drei oder mehr Bereiche (oder Anti-Knoten), in denen das Teilchen mit größerer Wahrscheinlichkeit gefunden wird.

Wenn Sie Y und Z (senkrecht zur Länge der Box) ausleihen, um die realen und imaginären Amplituden der Teilchenwellenfunktion an jedem Punkt entlang X darzustellen, ist es interessant zu sehen, was Sie erhalten. Es sieht genauso aus wie ein in Aktion befindliches Springseil, bei dem die Bereiche, in denen sich das Elektron am wahrscheinlichsten befindet, eins zu eins den ein, zwei, drei oder mehr Schleifen des sich bewegenden Springseils entsprechen. (Ausgefallene Skip-Ropers wissen alles über eine höhere Anzahl von Loops.)

Die Analogie hört hier nicht auf. Das von allen Schleifen eingeschlossene Volumen, normalisiert auf 1, gibt genau an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, das Elektron entlang eines Abschnitts entlang der Box in der X- Achse zu finden. Das Tunneln wird durch das Elektron dargestellt, das auf beiden Seiten der unbeweglichen Knoten des Seils erscheint, wobei diese Knoten Bereiche sind, in denen keine Chance besteht, das Elektron zu finden. Die Kontinuität des Seils von Punkt zu Punkt erfasst eine grobe Annäherung an die Differentialgleichungen, die scharfen Biegungen im Seil hohe Energiekosten zuweisen. Die absolute Rotationsgeschwindigkeit des Seils repräsentiert die gesamte Massenenergie des Elektrons oder kann zumindest auf diese Weise verwendet werden.

Schließlich und etwas komplizierter können Sie diese einfachen Schleifen mithilfe der Fourier-Transformation in andere Wellenkomponenten zerlegen. Jeder einfache Blick kann auch als zwei helikale Wellen (wie das Herumwirbeln eines Schlauchs, um ihn zu befreien) in entgegengesetzte Richtungen betrachtet werden. Diese beiden Komponenten repräsentieren die Idee, dass eine Einzelschleifenwellenfunktion tatsächlich helikale Darstellungen desselben Elektrons enthält, die gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen gehen. "Zur gleichen Zeit" ist für die Quantenfunktion im Allgemeinen sehr charakteristisch, da solche Funktionen immer mehrere "Versionen" des Ortes und der Bewegungen des einzelnen Teilchens enthalten, das sie darstellen. Das ist wirklich eine Wellenfunktion: Eine Summe der einfachen Wellen, die jeden wahrscheinlichen Ort und jede Momentum-Situation darstellen, in der sich das Teilchen befinden könnte .

Die vollständige Quantenmechanik ist natürlich weitaus komplexer. Zum einen müssen Sie in drei räumlichen Dimensionen arbeiten und sich mit zusammengesetzten Wahrscheinlichkeiten der Wechselwirkung vieler Partikel befassen. Das bringt Sie dazu, abstraktere Konzepte wie Hilbert-Räume zu verwenden .

In Bezug auf die Frage "Warum komplex statt real?" Gilt das einfache Beispiel für die Ähnlichkeit von Quantenfunktionen mit rotierenden Seilen immer noch: Alle diese komplizierteren Fälle sind komplex, weil sich in ihrem Herzen jeder Punkt in ihnen verhält als ob es sich in einem abstrakten Raum dreht, so dass es mit Punkten in unmittelbar benachbarten Punkten im Raum synchronisiert bleibt.

Rod, ja. Ein ähnlicher Trick kann für Quaternionen durchgeführt werden. Eigentlich bin ich ein Quaternion-Fanatiker: Ich stelle mir viele der in der Physik verwendeten komplexen Zahlen gerne als übermäßig verallgemeinerte Quaternionen vor, bei denen unsere eingebaute 3D-Tendenz uns davon abhält, zu bemerken, dass die imaginäre Achse einer komplexen Zahl ist eigentlich nur ein Quaternionseinheitszeiger im XYZ-Raum. Dadurch verlieren Sie viel Repräsentationsreichtum, da Sie beispielsweise versehentlich die faszinierende Option aufgeben, Änderungen in der Ausrichtung der Quaternionsansicht i als lokale Symmetrie des XYZ-Raums zu behandeln.
Obwohl ich aus der Sicht der OPs denke, wäre es falsch, es als Trick zu bezeichnen - es gibt viele Möglichkeiten, die Arten von Eigenschaften zu codieren, die komplexe Zahlen haben, und diese IS sind komplexe Zahlen (ein isomorphes Feld). Was Quaternionen betrifft, ist es eine Schande, dass Hamilton, Clifford und Maxwell niemals über Heaviside herrschten.
Wollen Sie damit sagen, dass eine Wellenfunktion komplex ist, weil sie im Grunde wie zirkular polarisiertes Licht ist?
Ja, außer dass für zirkular polarisiertes Licht, das sich entlang Z bewegt, die Drehung in der realen XY-Ebene senkrecht zu Z stattfindet. In einer Quantenwellenfunktion befindet sich die Kreisbewegung in einer separaten komplexen Ebene, die keiner der gewöhnlichen XYZ-Richtungen entspricht .

Luboš Motl · Answer 4

Unter anderem druckte das OP eine Seite eines Lehrbuchs nach und fragte, worum es geht. Ich denke, es ist unmöglich, diese Art von Fragen zu beantworten, da das Problem des OP völlig unbestimmt ist und die Leute, die ihre Antworten anbieten, ihre eigenen Lehrbücher schreiben könnten, ohne Ergebnisse.

Die Wellenfunktion in der Quantenmechanik muss komplex sein, weil die Operatoren Dinge wie erfüllen

[x, p]] = x p - - p x = ich ℏ .

Es ist der Kommutator, der das Unsicherheitsprinzip definiert. Weil die linke Seite anti-hermitisch ist,

(x p - - p x)^{†} = p^{†} x^{†} - - x^{†} p^{†} = (p x - - x p) = - - (x p - - p x),

Daraus folgt, dass wenn es ein ist

c

c

c

-Nummer, seine Eigenwerte müssen rein imaginär sein. Daraus folgt entweder

x

x

x

oder

p

p

p

oder beide müssen einige nicht reale Matrixelemente haben.

Auch Schrödingers Gleichung

ich ℏ d /. d t | ψ ⟩ = H. | ψ ⟩

hat einen Faktor von

i

i

ich

drin. Das Äquivalent

i

i

ich

erscheint in Heisenbergs Gleichungen für die Operatoren und in der

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (ich S. /. ℏ)

Integrand von Feynmans Pfadintegral. Die Amplituden müssen also zwangsläufig als komplexe Zahlen herauskommen. Dies hängt auch damit zusammen, dass Eigenzustände von Energie und Impulsen usw. von Raum oder Zeit usw. abhängig sind.

\exp (E. t /. ich ℏ)

Das ist komplex. Ein Cosinus würde nicht ausreichen, da ein Cosinus eine gerade Funktion ist (und der Sinus eine ungerade Funktion ist), sodass er das Vorzeichen der Energie nicht unterscheiden kann. Natürlich ist das Aussehen von

i

i

ich

in der Phase bezieht sich auf den Kommutator am Anfang dieser Antwort. Siehe auch

http://motls.blogspot.com/2010/08/why-complex-numbers-are-fundamental-in.html
Warum komplexe Zahlen in der Physik von grundlegender Bedeutung sind

In Bezug auf die zweite Frage betonen wir im Fachjargon der Physik, dass eine Wellenfunktion kein Skalarfeld ist. Eine Wellenfunktion ist überhaupt nicht beobachtbar, solange sich ein Feld befindet. Klassischerweise entwickeln sich die Felder deterministisch und können durch eine Messung gemessen werden - aber die Wellenfunktion kann nicht gemessen werden. Quantenfelder sind Operatoren - die Wellenfunktion jedoch nicht. Darüber hinaus gilt die mathematische Ähnlichkeit einer Wellenfunktion mit einem Skalarfeld in 3 + 1-Dimensionen nur für die Beschreibung eines spinlosen Teilchens, nicht für kompliziertere Systeme.

In Bezug auf die letzte Frage ist es nicht sinnvoll, komplexe Zahlen in Real- und Imaginärteile zu zerlegen, gerade weil "eine komplexe Zahl" eine Zahl und nicht zwei Zahlen ist. Insbesondere, wenn wir eine Wellenfunktion mit einer komplexen Phase multiplizieren $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $\exp (ich ϕ)$ Dies ist nur möglich, wenn wir zulassen, dass die Wellenfunktionen komplex sind und wir die Multiplikation komplexer Zahlen verwenden. Die Physik ändert sich überhaupt nicht. Es ist der springende Punkt bei komplexen Zahlen, dass wir mit ihnen wie mit einer einzelnen Entität umgehen.

danke für die Antwort. Ich habe eine Frage, die noch nichts über Feynman-Pfadintegrale weiß. Ich gehe davon aus, dass das, was Sie sagen, dasselbe ist wie: Wenn wir die Transformation durchführen $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{ich \frac{S. (r, t)}{ℏ}}$ dann reduziert sich die Schrödinger-Gleichung auf die klassischen Hamilton-Jacobi-Gleichungen (wenn Begriffe enthalten $i$ $i$ $ich$ und $ℏ$ $ℏ$ $ℏ$ waren vernachlässigbar)?
Liebes yayu, danke für deine Frage. Erstens das Aussehen von $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (i S / ℏ)$ $\exp (ich S. /. ℏ)$ in Feynmans Ansatz ist keine Transformation von Variablen: Das Exponential ist ein Integrand, der in einem Integral erscheint, das zur Berechnung einer Übergangsamplitude verwendet wird. Zweite, $ψ$ $ψ$ $ψ$ ist komplex und $S$ $S$ $S.$ ist echt, also $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \exp (ich S. /. ℏ)$ kann keine "Änderung von Variablen" sein. Du darfst schreiben $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (i S / ℏ)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (ich S. /. ℏ)$ In diesem Fall kann die Schrödinger-Gleichung (unnatürlich) als zwei reelle Gleichungen umgeschrieben werden, eine Kontinuitätsgleichung für $ρ$ $ρ$ $ρ$ und die Hamilton-Jacobi-Gleichung für $S$ $S$ $S.$ mit einigen zusätzlichen Quantenkorrekturen.
Ich habe meine Frage bearbeitet, indem ich die Nachdrucke entfernt und versucht habe, mein Problem ohne sie auszudrücken. Es wird jedoch einige Zeit dauern, bis ich über einige Punkte nachgedacht habe, die Sie bereits in der Antwort gemacht haben.
Ich denke, eine bessere Erklärung würde die Idee des Operatorformalismus nicht verwenden, da der Formalismus noch nicht entwickelt war, als Schrödinger seine Gleichung aufstellte.
Entschuldigung, aber Schrödinger kam erst fast ein Jahr nach der Entdeckung der Quantenmechanik durch Heisenberg und seine Freunde in Form der "Matrixmechanik" mit seiner "Wellenmechanik". Trotz weit verbreiteter Missverständnisse ist Schrödinger nicht einmal einer der Begründer der Quantenmechanik, und er hat die Bedeutung der Theorie nie richtig verstanden.

Cayley · Answer 5

Wenn die Wellenfunktion real wäre, führt die Durchführung einer Fourier-Transformation in der Zeit zu Paaren von Eigenzuständen positiver und negativer Energie. Negative Energien ohne Untergrenzen sind mit Stabilität nicht vereinbar. Für die Stabilität werden daher komplexe Wellenfunktionen benötigt.

Nein, die Wellenfunktion ist kein Feld. Es sieht nur für ein einzelnes Teilchen so aus, aber für N Teilchen ist es eine Funktion im 3N + 1-dimensionalen Konfigurationsraum.

Helder Velez · Answer 6

BEARBEITEN hinzufügen:
Meine Antwort ist GA-zentriert und nach den Kommentaren hatte ich das Bedürfnis, einige Worte über die Schönheit der geometrischen Algebra zu sagen :
Auf der 2. Seite der Oersted-Medaillenvorlesung (Link unten):

(3) GA Reduziert "grad, div, curl und all das" auf eine einzige Vektorableitung, die unter anderem den Standardsatz von vier Maxwell-Gleichungen zu einer einzigen Gleichung kombiniert und neue Methoden zur Lösung bereitstellt.

Die Geometrie-Algebra (GA) umfasst all dies in einem einzigen Rahmen:
Synthetische Geometrie, Koordinatengeometrie, komplexe Variablen, Quaternionen, Vektoranalyse, Matrixalgebra, Spinoren, Tensoren, Differentialformen. Es ist eine Sprache für die gesamte Physik.
Wahrscheinlich hätten Schrödinger, Dirac, Pauli usw. GA verwendet, wenn es zu dieser Zeit existiert hätte.
Zur Frage: WARUM ist die Wellenfunktion komplex? Diese Antwort ist nicht hilfreich: weil die Wellenfunktion komplex ist (oder ein i darauf hat). Wir müssen etwas anderes ausprobieren, das nicht in Ihrem Buch steht.
In den Abstracts habe ich die Beweise hervorgehoben, dass es in den Papieren um das WARUM geht . Wenn jemand einen Fisch bittet, werde ich versuchen, eine Angelrute zu geben.
Ich bin ein alter IT-Analyst, der arbeitslos wäre, wenn ich mich nicht weiterentwickelt hätte. Auch die Physik entwickelt sich weiter.
Ende BEARBEITEN

Kürzlich habe ich die geometrische Algebra , Grassman, Clifford und David Hestenes gefunden.

Ich werde hier nicht näher auf das Thema des OP eingehen, da jeder von uns Pfaden folgen, neue Ideen finden und sich Zeit zum Lesen nehmen muss. Ich werde nur einige Pfade mit einem Teil der Abstracts versehen:

Überblick über die geometrische Algebra in der Physik

Oersted Medal Lecture 2002: Reform der mathematischen Sprache der Physik (ein guter Anfang)

In dieser Vorlesung plädiert Hestenes für eine Reform der Art und Weise, wie Physikern Mathematik beigebracht wird. Er behauptet, dass die Verwendung der geometrischen Algebra das Verständnis der Grundlagen der Physik erleichtern wird, da die mathematische Sprache klarer und einheitlicher sein wird.

Jagd nach Snarks in der Quantenmechanik

Abstrakt. Eine langjährige Debatte über die Interpretation der Quantenmechanik hat sich auf die Bedeutung der Schrödinger-Wellenfunktion ψ für ein Elektron konzentriert. Im Großen und Ganzen gibt es zwei große gegnerische Schulen. Auf der einen Seite vertritt die Kopenhagener Schule (unter der Leitung von Bohr, Heisenberg und Pauli) die Auffassung, dass ψ eine vollständige Beschreibung eines einzelnen Elektronenzustands liefert; Daher drückt die Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψψ * eine irreduzible Unsicherheit im Elektronenverhalten aus, die der Natur innewohnt. Auf der anderen Seite vertritt die realistische Schule (unter der Leitung von Einstein, de Broglie, Bohm und Jaynes) die Auffassung, dass ψ ein statistisches Ensemble möglicher Elektronenzustände darstellt; daher ist es eine unvollständige Beschreibung eines einzelnen Elektronenzustands. Ich behaupte, dass die Debattierer entscheidende Fakten über das durch die Dirac-Theorie offenbarte Elektron übersehen haben. Insbesondere die Analyse der Elektronenzitterbewegung (erstmals von Schrödinger bemerkt) öffnet ein Fenster zur Teilchensubstruktur in der Quantenmechanik , das die physikalische Bedeutung des komplexen Phasenfaktors in ψ erklärt . Dies führte zu einem testbaren Modell für die Partikelsubstruktur mit überraschender Unterstützung durch neuere experimentelle Beweise. Wenn die Erklärung durch weitere Untersuchungen bestätigt wird, wird die Debatte zugunsten der realistischen Schule gelöst. Ich gebe Details. Die Gefahren der Forschung über die Grundlagen der Quantenmechanik wurden von Lewis Carroll in Die Jagd auf den Snark vorausgesehen!

DER KINEMATISCHE URSPRUNG DER KOMPLEXEN WELLENFUNKTION

Abstrakt. Eine Neuformulierung der Dirac-Theorie zeigt, dass i ¯ h eine geometrische Bedeutung hat, die es mit dem Elektronenspin zusammenhängt . Dies liefert die Grundlage für eine kohärente physikalische Interpretation der Dirac- und Sch¨odinger-Theorien, wobei der komplexe Phasenfaktor exp (−iϕ / ¯h) in der Wellenfunktion die Elektronenzitterbewegung beschreibt, eine lokalisierte Kreisbewegung, die den Elektronenspin und das magnetische Moment erzeugt . Zitterbewegungswechselwirkungen erzeugen auch Resonanzen, die Quantisierung, Ablenkung und das Pauli-Prinzip erklären können.

Universal Geometric Calculus ein Kurs, und folgen Sie:
III. Implikationen für die Quantenmechanik

Der kinematische Ursprung komplexer Wellenfunktionen
Clifford Algebra und die Interpretation der Quantenmechanik
Die Zitterbewegungsinterpretation der Quantenmechanik
Quantenmechanik aus Selbstinteraktion
Zitterbewegung in Strahlungsprozessen
Zur Entkopplung der Wahrscheinlichkeit von der Kinematik in der Quantenmechanik
Zitterbewegungsmodellierung
Raum-Zeit-Struktur schwacher und elektromagnetischer Wechselwirkungen

um mehr Referenzen zusammen zu halten:
Geometrische Algebra und ihre Anwendung auf die mathematische Physik (Chris Thesis)

(Was mich zu diesem erstaunlichen Weg führte, war ein Artikel von Joy Christian ' Disproof of Bell Theorem ')
"Gute Reise", "gute Reise", "Boa Viagem"

@Helder Die Abstimmungen stammen nicht von mir, aber ich denke, Ihre Antwort spricht die Frage nicht sehr an, daher denke ich, dass sie nur in dieser Hinsicht gerechtfertigt sind. Noch wichtiger ist, dass das Zitieren von Hestenes problematisch ist, es sei denn, Sie wissen genau, was Sie ihm abnehmen. In diesem Fall können Sie genauso gut jemanden zitieren, der solche überhöhten Ansprüche nicht geltend macht. Zu viele Behauptungen von Hestenes sind nicht gerechtfertigt genug, und alle müssen kritisch gelesen werden, um herauszufinden, was interessant und zeitaufwändig ist. Behalten Sie Ihren Verstand bei, wenn Sie dem Hestenes-Pfad folgen.
@Helder; Ich habe großen Respekt vor der Arbeit von Dr. Hestenes. Senden Sie mir eine E-Mail, wenn Sie darüber sprechen möchten. Seine Arbeit liest direkt die Komplexität von QM. Ich werde Ihre Antwort +1 geben, wenn ich meine Stimmen zurück bekomme (ich verbrauche sie immer).
@Helder Velez Ich bin einer Ihrer Downvoter, da ich es als eine sehr breite Antwort mit vielen Referenzen und Abstracts gesehen habe, die wenig mit dem spezifischen Kontext zu tun haben, in dem ich versucht habe, meine Frage zu formulieren. Außerdem interessiert mich der interpretative Aspekt der Quantenmechanik in meiner Phase überhaupt nicht.
@yayu; Antworten auf Stack Exchange werden von mehr als nur der Person gelesen, die danach fragt. Spin-1/2 (und die Pauli-Spinmatrizen) werden in jeder Einführung in QM behandelt. Es ist der einfachste nicht triviale Hilbert-Raum, der möglich ist. Einfacher geht es nicht. Aber im Allgemeinen muss es hier gepostet werden, auch wenn es nur für Albert Einstein geeignet wäre. Auf SE werden doppelte Fragen geschlossen. Dies ist die einzige Möglichkeit, die Frage für alle Leser zu beantworten.

Len · Answer 7

Diese Frage wurde seit Dirac gestellt

Tatsächlich ist Diracs Antwort für 100 US-Dollar bei JSTOR in einem Artikel von Dirac aus dem Jahr 1935 erhältlich.

Eine aktuelle Antwort von James Wheeler ist, dass die Null-Signatur-Tötungsmetrik einer neuen, realwertigen, 8-dimensionalen Messung der konformen Gruppe den komplexen Charakter der Quantenmechanik erklärt

Referenz ist, warum Quantenmechanik komplex ist, James T. Wheeler ArXiv: hep-th9708088

Während dies theoretisch die Frage beantworten kann, wäre es vorzuziehen , die wesentlichen Teile der Antwort hier aufzunehmen und den Link als Referenz bereitzustellen.

Carl Brannen · Answer 8

Wenn wir nach dem Heisenbergschen Unsicherheitsprinzip viel über den Impuls eines Teilchens wissen, können wir sehr wenig über seine Position wissen. Dies legt nahe, dass unsere Mathematik einen Quantenzustand haben sollte, der einer ebenen Welle entspricht $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ mit einem genau bekannten Impuls, aber völlig unbekannter Position.

Eine natürliche Definition für die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an der Position zu finden $x$ $x$ $x$ ist $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ . Diese Definition ist sowohl für eine reale Wellenfunktion als auch für eine imaginäre Wellenfunktion sinnvoll.

Wenn eine ebene Welle keine Positionsinformationen hat, bedeutet dies, dass $| ψ (x) |$ $| ψ (x) |$ $| ψ (x) |$ $| ψ (x) |$ hängt nicht von der Position ab und ist daher konstant. Deshalb müssen wir haben $ψ$ $ψ$ $ψ$ Komplex; Andernfalls gibt es keine Möglichkeit, die Information "Was ist der Impuls des Partikels?" zu speichern.

Meiner Ansicht nach ergibt sich die Komplexität von Wellenfunktionen aus der Wechselwirkung zwischen der Notwendigkeit (1) einer Wahrscheinlichkeitsinterpretation, (2) dem Heisenbergschen Unsicherheitsprinzip und (3) ebenen Wellen.

Bitte klären Sie einige Zweifel für mich. 1. Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation: Ich denke, sie folgte, da die Wellenfunktion komplex war und die physikalische Bedeutung nur einem realen Wert zugeordnet werden konnte. Wenn wir eine Konstruktion machen $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ dann kommen wir zu der Kontinuitätsgleichung aus der Schrödinger-Gleichung und die Interpretation kann nun gemacht werden, dass die Größe $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Ausgehend von einer Interpretation wie $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ Ich sehe keine Möglichkeit rückwärts zu arbeiten und argumentiere überzeugend, dass die Amplitude $ψ$ $ψ$ $ψ$ muss komplex sein.
Die Unsicherheitsrelationen ergeben sich aus der Identifizierung des freien Teilchens als ebene Welle. Ich vermute, dass Ihre Antwort in die richtige Richtung weist. Ich arbeite an (2), wie in Lubos 'Antwort vorgeschlagen, und versuche herauszufinden, warum $ψ$ $ψ$ $ψ$ ist infolgedessen komplex bewertet, aber ich sehe nicht, wie etwas außer (2) relevant ist, um es endgültig zu zeigen.
@yayu: siehe meinen Beitrag - es gibt zwei wesentliche experimentelle Fakten: 1) Phase ist nicht direkt messbar; 2) Interferenzeffekte treten in einem breiten Spektrum von Quantenmaterialien auf. Es ist schwer, diese Dinge miteinander in Einklang zu bringen, ohne komplexe Zahlen zu verwenden.
Obwohl ich den Kerngedanken dieser Antwort zustimme, stimme ich nicht der Schlussfolgerung zu, dass dies komplexe Zahlen erfordert. Es geht nichts verloren, zum Beispiel die (komplexe) Fourier-Transformation als zwei echte Sinus / Cosinus-Fourier-Transformationen auszudrücken. Dies erfordert keine komplexen Zahlen, obwohl sie zweckmäßig sein können.
@ConfusinglyCuriousTheThird Hi! Bietet mein bescheidener Beitrag (derzeit der dritte unter diesem), der Carls Antwort ein wenig erweitert, eine Antwort, die Sie akzeptieren können? Rgds - iSeeker

Asmaier · Answer 9

Die Frage ist gut und wurde auch von Ehrenfest (1932) gestellt: "Einige die Quantenmechanik befasstde Erkundigungsfragen" . Die Antwort gab Pauli (1933): "Einige die Quantenmechanik betreffenden Erkundigungsfragen" . Leider ist mir keine englische Übersetzung dieser beiden Veröffentlichungen bekannt. Eine etwas andere Form der Antwort findet sich jedoch auch in Paulis Buch "Allgemeine Prinzipien der Quantenmechanik", S. 16 . In diesem Buch schreibt Pauli

Eine einzelne reelle Funktion reicht nicht aus, um aus Wellenfunktionen der Form (3.1) eine nicht negative Wahrscheinlichkeitsfunktion zu konstruieren, die bei Integration über den gesamten Raum zeitlich konstant ist.

Ich werde versuchen, seine Argumente hier zusammenzufassen:

Ein Wellenpaket zur Beschreibung eines einzelnen Teilchens (im Grunde deBroglies Idee) kann allgemein wie folgt geschrieben werden

u (x, t) = \int U. (k) e^{ich (k x - - ω t)} d k = \int U. (k) e^{ich k x} d k e^{- - ich ω t}

wo

U (k)

U (k)

U (k)

U (k)

U. (k)

ist die Fourier-Transformation von

u (x, 0)

u (x, 0)

u (x, 0)

. Das komplexe Konjugat dieses Wellenpakets ist

u^{*} (x, t) = \int {U.}^{*} (k) e^{- - ich (k x - - ω t)} d k = \int {U.}^{*} (k) e^{- - ich k x} d k e^{ich ω t}

Man kann solche Wellenpakete auch in der Elektrodynamik definieren. Aber in der Quantenmechanik haben wir eine zusätzliche Bedingung, nämlich die Wahrscheinlichkeit

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P. (x, t)

Ein Teilchen zu finden muss immer positiv sein und die Gesamtwahrscheinlichkeit, ein einzelnes Teilchen irgendwo zu finden, muss eins sein

P. (x, t) \geq 0 \int P. (x, t) d x = 1

Pauli argumentiert, dass der einfachste Ansatz, eine solche Funktion zu konstruieren

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P. (x, t)

von

u (x, t)

u (x, t)

u (x, t)

ist eine bestimmte quadratische Form aus den Funktionen

u

u

u

und

u^{*}

u^{*}

u^{*}

u^{*}

u^{*}

, das bedeutet

P. (x, t) = ein u^{2} + b {u^{*}}^{2} + c u u^{*}

Nun aus der Form von

u (x, t)

u (x, t)

u (x, t)

und

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

wir sehen das

u^{2} \sim e^{- - 2 ich ω t} und {u^{*}}^{2} \sim e^{2 ich ω t}

und ein Integral über dem Raum über diesen beiden Funktionen kann niemals zeitunabhängig sein. Also die Konstanten

a

a

ein

und

b

b

b

muss im Ansatz für Null sein

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P. (x, t)

. Nur das Produkt eines Wellenpakets und seines komplexen Konjugats ergibt eine zeitunabhängige Gesamtwahrscheinlichkeit:

1 = \int P. (x, t) d x = \int u u^{*} d x = ∭ U. (k) {U.}^{*} (k^{'}) e^{ich (k x - - k^{'} x)} e^{- - ich ω t} e^{ich ω t} d k d k^{'} d x = \iint U. (k) {U.}^{*} (k^{'}) δ (k - - k^{'}) d k d k^{'} = \int {| U. (k) |}^{2} d k = \int P. (k) d k

Da das Produkt

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R. e [u {]]}^{2} + ich m [u {]]}^{2}

Daraus folgt - wie Pauli sagte -, um aus Wellenpaketen der Form eine sinnvolle Wahrscheinlichkeit zu berechnen

u (x, t)

u (x, t)

u (x, t)

man braucht den realen und den imaginären Teil von

u (x, t)

u (x, t)

u (x, t)

und die Wellenfunktion in der Quantenmechanik muss komplex sein.

Anonymous · Answer 10

Aus physikalischer Sicht muss die Wellenfunktion komplex sein, um das Doppelspaltexperiment zu erklären, das auch im Buch The Feynman Lectures on Physics-III erwähnt wird. Ich empfehle Ihnen, die Kapitel 1 und 3 zu lesen, in denen es wird erklärt wie $ψ$ $ψ$ $ψ$ muss gemäß dem Interferenzmuster als probabilistischer Natur betrachtet werden, da sich "etwas" zum Zeitpunkt des Durchquerens von "jedem" der Schlitze wie eine Welle verhalten muss. Darüber hinaus verkündet Böhm , dass der Weg des Teilchens (Elektron, Photon usw.) als klassisch angesehen werden kann. Infolgedessen können Sie diesen beobachten, da er den Regeln folgt, die bereits im Makro bekannt sind ... in diesem Sinne, Sie can see next reference or this one to consider the covariance of the laws of mechanics.

iSeeker · Answer 11

DIESE SPÄTE ANTWORT (Jan. 2018) erweitert ein wenig die unkomplizierte und (IMO) unterschätzte Antwort von Carl Brannen (die zum Zeitpunkt der Veröffentlichung etwas weiter oben liegt), was mich an ein weiteres einfaches und überzeugendes Argument erinnerte, warum die Welle Die Funktion sollte komplex sein , wie vor vielen Jahren in Dicke & Wittkes „ Introduction to Quantum Mechanics “ (1960; S. 23-24) dargelegt.

Angesichts ihrer Überprüfung in Kapitel 1, warum eine quantenmechanische Welle der Welle-Teilchen-Dualität / der De-Broglie-Beziehung unterliegt, gehen sie wie folgt vor:

Für ein Wellenteilchen mit scharf definiertem Impuls:

λ = h / p (und somit durch Δ x .Δ p > = h / 4π völlig unsichere - im wesentlichen gleichmäßige - Position)

… Die Wahrscheinlichkeitsverteilung | ψ | ^ 2 einer ebenen Welle sollte eine gleichmäßige Position haben, die von einer reellen ebenen Welle nicht erfüllt werden kann

ψ = A sin (kx - ωt + α)

... aber ist erfüllt (verallgemeinernde auf eine beliebige Position) durch

ψ = A exp [i ( kx - ωt)], wobei der Ausbreitungsvektor k = p / (h / 2π) ist.

Dicke & Wittke diskutieren dann, wie die komplexwertige Wellenfunktion Interferenzeffekte berücksichtigt (nicht urheberrechtlich geschützt und sicher über https://archive.org/details/IntroductionToQuantumMechanics verfügbar ).

[NB Care googelt den Buchtitel / das PDF - viele Online-Quellen sind im Gegensatz zu den oben genannten unsicher]

JG · Answer 12

Die Wellenfunktion $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ ist die Projektion des Zustandsvektors des physikalischen Systems $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ auf die $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ Eigenket $| x ⟩$ $| x ⟩$ $| x ⟩$ des Eigenwerts $x$ $x$ $x$ nämlich. $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ .Sie müssen den Skalar-Wert ist nicht zu verwechseln $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ mit dem Vektor $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ das lebt in einem Hilbert-Raum.

Der erste Satz Ihrer ersten Frage lautet technisch gesehen: Warum ist dieser Hilbert-Raum über dem Feld? $C$ $C$ $C.$ anstatt zu sagen, $R$ $R$ $R.$ ?Wenn Sie hier Strg + F auf "Real vs. Complex Numbers" drücken , erhalten Sie eine detaillierte Diskussion verschiedener Motivationen dafür, warum die Quantenmechanik so aussehen sollte. Ein Vorteil einer komplexen Wellenfunktion besteht darin, dass sie sowohl eine Amplitude als auch eine Phase aufweist, aber nur die erstere die Wahrscheinlichkeitsdichte beeinflusst $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ und letzteres gibt uns Quanteninterferenz aufgrund trigonometrischer Identitäten wie $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp ich θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ .Um Ihr Q1 fortzusetzen, muss eine galiläische Transformation jedoch eine Phasenverschiebung enthalten, damit die Schrödinger-Gleichung unveränderlich ist. Weitere Informationen finden Sie hier und hier . Eine Eichentransformation wie die galiläische ist einfach eine Möglichkeit, Koordinaten oder Felder (die in einer Lagrange-Feldtheorie zur selben Sache kommen) zu transformieren, wodurch die Aktion und ihre Bewegungsgleichungen unveränderlich bleiben. (Übrigens müssen Sie darauf achten, die Wörter Transformation und Transformation nicht zu verwechseln.)

Ihr Q2 hängt auch davon ab, nicht verwirrend zu sein $ψ$ $ψ$ $ψ$ mit $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ . Der Strahl ist die Menge der Werte von $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp ich θ | ψ ⟩$ mit $θ \in R$ $θ \in R.$ , aber von einem Wert von wechseln $θ$ $θ$ $θ$ zu einem anderen geht $ψ$ $ψ$ $ψ$ unveränderlich, weil $⟨ x |$ $⟨ x |$ $⟨ x |$ wird multipliziert mit $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp ich θ)^{*} = \exp - - ich θ$ .

Für Q3 ist es sinnvoller, mit dem Modul und der Phase des Komplexes zu arbeiten $ψ$ $ψ$ $ψ$ eher als sein realer und imaginärer Teil, weil unter einheitlichen Transformationen der erstere unveränderlich ist, ebenso wie die Unterschiede im letzteren.

Tom · Answer 13

Da sowohl die Amplitude als auch die Wellenlänge nicht gleichzeitig genau bekannt sein können, bedeutet dies meiner Meinung nach, dass einige Informationen fehlen, die noch kontinuierlich behandelt werden müssen. Diese Informationen werden bequem im Imaginärteil einer komplexen Zahl gespeichert.

Dies ist bei weitem nicht ausreichend begründet, um eine Antwort zu sein, und außerdem bin ich mir ziemlich sicher, dass dies keine gute Möglichkeit ist, darüber nachzudenken.

Über die Komplexität der Wellenfunktion?

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