Lagrange des Schrödinger-Feldes

Question

Lagrange des Schrödinger-Feldes

Physik
Quantenfeldtheorie
Hamilton-formalismus
Lagrange-formalismus
Schrödinger-gleichung
Eingeschränkte-dynamik

user5468

Der übliche Schrödinger Lagrange ist

\begin{matrix} (1) & ich (ψ^{*} \partial_{t} ψ) + \frac{1}{2 m} ψ^{*} (\nabla^{2}) ψ, \end{matrix}

das gibt die richtigen Bewegungsgleichungen mit konjugiertem Impuls für

ψ^{*}

ψ^{*}

ψ^{*}

ψ^{*}

ψ^{*}

verschwinden. Diese Lagrange-Dichte ist nicht real, unterscheidet sich jedoch von einer realen Lagrange-Dichte

\begin{matrix} (2) & \frac{ich}{2} (ψ^{*} \partial_{t} ψ - - ψ \partial_{t} ψ^{*}) + \frac{1}{2 m} ψ^{*} (\nabla^{2}) ψ \end{matrix}

durch eine Gesamtableitung.

Mein Problem ist, dass diese beiden Lagrange-Dichten zu unterschiedlichen konjugierten Impulsen führen und ich daher beim Festlegen gleichzeitiger Kommutierungsbeziehungen unterschiedliche Ergebnisse erhalte (ein Faktor von 2 verursacht das Problem). Ich kann die Felder neu skalieren, aber dann ändert sich auch mein Hamiltonianer. Wenn ich dann die Heisenberg-Bewegungsgleichung anwende, bekomme ich die Operator-Schrödinger-Gleichung nicht.

Ist es möglich, mit der realen Lagrange-Dichte zu arbeiten und irgendwie die richtigen Kommutierungsrelationen zu erhalten? Ich hätte erwartet, dass zwei Lagrange, die sich durch total abgeleitete Terme unterscheiden, identische Kommutierungsrelationen ergeben (da kanonische Transformationen sie bewahren). Aber vielleicht mache ich einen sehr einfachen Fehler. Wie wählt man den richtigen aus, es sei denn, alle konjugierten Impulse sind für zwei Lagrange gleich, die sich durch die Gesamtableitung unterscheiden?

Ich denke, dasselbe passiert auch für andere Systeme erster Ordnung wie Dirac Lagrangian.

Tomáš Brauner

Ich habe keine Zeit für eine detaillierte Antwort auf Ihre Frage, aber es kann hilfreich sein, einen Blick auf das Ende von Abschnitt 3 zu werfen. 7.2 in Weinbergs Lehrbuch (Band 1). Er diskutiert den Effekt des Hinzufügens einer Gesamtzeitableitung zum Lagrange und zeigt, dass die Änderung des kanonischen Impulses die Kommutierungsrelationen der Theorie nicht beeinflusst.

Antworten (1)

Lagrange des Schrödinger-Feldes

Ich habe keine Zeit für eine detaillierte Antwort auf Ihre Frage, aber es kann hilfreich sein, einen Blick auf das Ende von Abschnitt 3 zu werfen. 7.2 in Weinbergs Lehrbuch (Band 1). Er diskutiert den Effekt des Hinzufügens einer Gesamtzeitableitung zum Lagrange und zeigt, dass die Änderung des kanonischen Impulses die Kommutierungsrelationen der Theorie nicht beeinflusst.

Qmechanic · Answer 1

Hier werden wir der Einfachheit halber nur das Schrödinger-System betrachten. Wir werden das annehmen

\begin{matrix} (EIN) & ϕ = (ϕ^{1} + ich ϕ^{2}) /. \sqrt{2} \end{matrix}

ist ein bosonisch komplexes Feld, und das

\begin{matrix} (B) & ϕ^{*} = (ϕ^{1} - - ich ϕ^{2}) /. \sqrt{2} \end{matrix}

ist das komplexe Konjugat, wo $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{ein}$ sind die beiden realen Komponentenfelder, $a = 1, 2$ $a = 1, 2$ $ein = 1, 2$ . [Beachten Sie die Änderung der Notation $ψ ⟶ ϕ$ $ψ ⟶ ϕ$ $ψ ⟶ ϕ$ im Vergleich zur Frage des OP (v1).]

1) Die Lagrange-Dichte

\begin{matrix} (C) & L. : = ich ϕ^{*} \dot{ϕ} + \frac{1}{2 m} ϕ^{*} \nabla^{2} ϕ \end{matrix}

für das Schrödinger-Feld $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ ist bereits auf der Hamilton-Form

\begin{matrix} (D) & L. = π \dot{ϕ} - - H. . \end{matrix}

Definieren Sie einfach komplexe Impulse

\begin{matrix} (E) & π : = ich ϕ^{*}, \end{matrix}

und Hamiltonsche Dichte

\begin{matrix} (F) & H. : = - - \frac{1}{2 m} ϕ^{*} \nabla^{2} ϕ . \end{matrix}

Im Allgemeinen ist diese Identifizierung ein einfaches Beispiel für die Faddeev-Jackiw-Methode .

2) Denken Sie daran, dass sich die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht durch Hinzufügen von a ändern $4$ $4$ $4$ -Abweichungen $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ auf die Lagrange-Dichte

\begin{matrix} (G) & L. ⟶ {L.}^{'} : = L. + d_{μ} Λ^{μ}, \end{matrix}

vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. [Wir benutzen das Symbol $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ (eher, als $\partial_{μ}$ $\partial_{μ}$ $\partial_{μ}$ $\partial_{μ}$ $\partial_{μ}$ ) um die Tatsache zu betonen, dass die Ableitung $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ ist eine Gesamtableitung , die sowohl implizite Differenzierung durch die Feldvariablen beinhaltet $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{ein} (x)$ und explizite Differenzierung wrt. $x^{μ}$ $x^{μ}$ $x^{μ}$ $x^{μ}$ $x^{μ}$ .] Daher können wir (über räumliche Integration nach Teilen) eine äquivalente Hamilton-Dichte wählen

\begin{matrix} (H) & H. ⟶ {H.}^{'} : = \frac{1}{2 m} | \nabla ϕ |^{2} = \frac{1}{4 m} (\nabla ϕ^{1})^{2} + \frac{1}{4 m} (\nabla ϕ^{2})^{2}, \end{matrix}

und wir können (über zeitliche Integrationen nach Teilen) einen äquivalenten kinetischen Term wählen

ich ϕ^{*} \dot{ϕ} = π \dot{ϕ} ⟶

\begin{matrix} (ICH) & \frac{1}{2} (π \dot{ϕ} - - ϕ \dot{π}) = \frac{ich}{2} (ϕ^{*} \dot{ϕ} - - ϕ {\dot{ϕ}}^{*}) = \frac{1}{2} (ϕ^{2} {\dot{ϕ}}^{1} - - ϕ^{1} {\dot{ϕ}}^{2}) ⟶ ϕ^{2} {\dot{ϕ}}^{1} . \end{matrix}

Der letzte Ausdruck zeigt (gemäß der Faddeev-Jackiw-Methode), dass

\begin{matrix} (J) & Die zweite Komponente ϕ^{2} ist der Moment für die erste Komponente ϕ^{1} . \end{matrix}

3) Alternativ können wir eine Dirac-Bergmann-Analyse durchführen $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ direkt. Betrachten Sie zum Beispiel die Lagrange-Dichte

\begin{matrix} (K) & {L.}^{'} = (α + \frac{1}{2}) ϕ^{2} {\dot{ϕ}}^{1} + (α - - \frac{1}{2}) ϕ^{1} {\dot{ϕ}}^{2} - - {H.}^{'}, \end{matrix}

wo $α$ $α$ $α$ ist eine beliebige reelle Zahl. [Der Begriff $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) /. d t$ , multipliziert mit $α$ $α$ $α$ im $L^{'}$ $L^{'}$ $L^{'}$ $L^{'}$ ${L.}^{'}$ ist eine Gesamtzeitableitung.] Lassen Sie uns überprüfen, ob das Quantisierungsverfahren nicht von diesem Parameter abhängt $α$ $α$ $α$ . Wir führen kanonische Poisson-Klammern ein

{ϕ^{ein} (x, t), ϕ^{b} (y, t) {}}}_{P. B.} = 0,

{ϕ^{ein} (x, t), π_{b} (y, t) {}}}_{P. B.} = δ_{b}^{ein} δ^{3} (x - - y),

\begin{matrix} (L) & {π_{ein} (x, t), π_{b} (y, t) {}}}_{P. B.} = 0, \end{matrix}

in der üblichen Weise. Die kanonischen Impulse $π_{a}$ $π_{a}$ $π_{a}$ $π_{a}$ $π_{ein}$ sind definiert als

π_{1} : = \frac{\partial {L.}^{'}}{\partial {\dot{ϕ}}^{1}} = (α + \frac{1}{2}) ϕ^{2},

\begin{matrix} (M) & π_{2} : = \frac{\partial {L.}^{'}}{\partial {\dot{ϕ}}^{2}} = (α - - \frac{1}{2}) ϕ^{1} . \end{matrix}

Diese beiden Definitionen erzeugen zwei Hauptbeschränkungen

χ_{1} : = π_{1} - - (α + \frac{1}{2}) ϕ^{2} \approx 0,

\begin{matrix} (N) & χ_{2} : = π_{2} - - (α - - \frac{1}{2}) ϕ^{1} \approx 0, \end{matrix}

bei dem die $\approx$ $\approx$ $\approx$ Vorzeichen bedeutet gleiche Modulo-Einschränkungen. Die beiden Einschränkungen sind von zweiter Klasse, weil

\begin{matrix} (Ö) & {χ_{2} (x, t), χ_{1} (y, t) {}}}_{P. B.} = δ^{3} (x - - y) \neq 0. \end{matrix}

Daher sollte die Poisson-Halterung durch die Dirac-Halterung ersetzt werden . [Es gibt keine sekundären Einschränkungen, weil

\begin{matrix} (P) & {\dot{χ}}_{ein} (x, t) = {χ_{ein} (x, t), {H.}^{'} (t) {}}}_{D. B.} = 0, {H.}^{'} (t) : = \int d^{3} y {H.}^{'} (y, t), \end{matrix}

werden automatisch erfüllt.] Die Dirac-Klammer zwischen den beiden $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{ein}$ ist

\begin{matrix} (Q) & {ϕ^{1} (x, t), ϕ^{2} (y, t) {}}}_{D. B.} = δ^{3} (x - - y), \end{matrix}

Dies führt zu derselben Schlussfolgerung (J) wie die Faddeev-Jackiw-Methode. Beachten Sie, dass die Gl. (O) und (Q) sind unabhängig vom Parameter $α$ $α$ $α$ .

4) In allen Fällen werden die kanonischen gleichzeitigen Kommutatorrelationen für die entsprechenden Operatoren

[{\hat{ϕ}}^{1} (x, t), {\hat{ϕ}}^{2} (y, t)]] = ich ℏ 1 δ^{3} (x - - y),

[\hat{ϕ} (x, t), {\hat{ϕ}}^{†} (y, t)]] = ℏ 1 δ^{3} (x - - y),

\begin{matrix} (R) & [\hat{ϕ} (x, t), \hat{π} (y, t)]] = ich ℏ 1 δ^{3} (x - - y) . \end{matrix}

- -

$^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ Siehe z. B. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1992.

Vielen Dank an Qmechanic für die sehr detaillierte Antwort. Ich schätze die Hilfe sehr.
Hinweise für später: Die Schrödinger-Aktion für mehrere Partikel ist $ich [ψ]] = \int d t [\prod_{j = 1}^{N.} d^{3} x_{j}]] L. .$
Anmerkungen für später: Die Schrödinger-Lagrange-Dichte beträgt $L. = \frac{ich ℏ}{2} (ψ^{*} \dot{ψ} - - {\dot{ψ}}^{*} ψ) - - \sum_{j = 1}^{N.} \frac{ℏ^{2}}{2 m_{j}} | \nabla_{j} ψ |^{2} - - V. | ψ |^{2}$ $= - - ρ \dot{S.} - - \sum_{j = 1}^{N.} \frac{ℏ^{2}}{2 m_{j}} (\nabla_{j} \sqrt{ρ})^{2} - - \sum_{j = 1}^{N.} \frac{ρ}{2 m_{j}} (\nabla_{j} S.)^{2} - - ρ V.,$ wo wir die Wellenfunktion umgeschrieben haben $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{ich}{ℏ} S.)$ in "polaren" Koordinaten $ρ$ $ρ$ $ρ$ und $S$ $S$ $S.$ .
Hinweise für später: Fall $N = 1$ $N = 1$ $N = 1$ $N = 1$ $N. = 1$ : Beachten Sie, dass $ρ$ $ρ$ $ρ$ und $S$ $S$ $S.$ sind kanonische Variablen ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S. (y)}} = δ^{3} (x - - y)$ , und das $L$ $L$ $L.$ ist bereits auf Hamiltonian Formular erster Ordnung. Das Schrödinger-Bild deutet auf eine zweite Quantisierung hin, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Anmerkungen für später: Die EL-Gl. wrt. $ρ$ $ρ$ $ρ$ und $S$ $S$ $S.$ sind $\dot{S.} - - \sum_{j = 1}^{N.} \frac{ℏ^{2}}{2 m_{j} \sqrt{ρ}} \nabla_{j}^{2} \sqrt{ρ} + \sum_{j = 1}^{N.} \frac{1}{m_{j}} (\nabla_{j} S.)^{2} + V. \approx 0 und \dot{ρ} + \sum_{j = 1}^{N.} \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} \cdot (ρ \nabla_{j} S.) \approx 0,$ beziehungsweise. Die Madelung-Gleichungen mit $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} : = \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S.$ sind einfache Konsequenzen (und Analoga von Navier-Stokes-Gleichungen). Siehe auch de Broglie-Bohm-Pilotwellentheorie .

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