ϕ 4 ϕ4 Theorie knickt als Fermion?

In 1 + 1-Dimensionen gibt es eine Dualität zwischen Modellen von Fermionen und Bosonen, die als Bosonisierung (oder Fermionisierung) bezeichnet wird. Zum Beispiel die Sinus-Gordon-Theorie

L = 1 2 ∂ μ ϕ ϕ μ ϕ + α β 2 cos β ϕ L. = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ + α β 2 cos ⁡ β ϕ
kann auch in Form von Fermionen als das massive Thirring-Modell beschrieben werden
L = ψ ¯ ( i γ μ - m ) ψ - 1 2 G ( ψ ¯ γ μ ψ ) ( ψ ¯ γ μ ψ ) L. = ψ ¯ ( ich γ μ - - m ) ψ - - 1 2 G ( ψ ¯ γ μ ψ ) ( ψ ¯ γ μ ψ )
wo das Teilchen von erzeugt ψ ψ kann als Knick von Sinus-Gordon und dem von erzeugten Teilchen verstanden werden ϕ ϕ kann als gebundener Zustand zweier Fermionen aus dem Thirring-Modell verstanden werden.

Im Gegensatz zu Sinus-Gordon, ϕ 4 ϕ 4

L = 1 2 ∂ μ ϕ ϕ μ ϕ + 1 2 m 2 ϕ 2 - 1 4 λ ϕ 4 L. = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ + 1 2 m 2 ϕ 2 - - 1 4 λ ϕ 4
hat nur zwei Vakua in der gebrochenen Symmetriephase. Ich frage mich, ob wir auch hier fermionische Erzeugungsoperatoren für die Knicke schreiben und die Theorie als lokale Feldtheorie der Knickfelder umschreiben können.

Ich denke, wir können dies für das Quanten-Ising-Modell tun, das viel mit gemeinsam hat ϕ 4 ϕ 4 . Das Ising-Modell ist auf einer 1d-Spin-Kette definiert, und die Grundzustände in der Phase der unterbrochenen Symmetrie sind dort, wo die 3. Komponente der Spins entweder alle nach oben oder alle nach unten zeigt.

Die Betreiber ψ 1 ( i ) , ψ 2 ( i ) ψ 1 ( ich ) , ψ 2 ( ich ) werden an jedem Gitterpunkt definiert ich ich in Bezug auf Pauli-Matrizen als

ψ 1 ( i ) = i σ 2 ( i ) ∏ ρ = - ∞ i - 1 σ 1 ( ρ ) ψ 1 ( ich ) = ich σ 2 ( ich ) ∏ ρ = - - ∞ ich - - 1 σ 1 ( ρ )
ψ 2 ( i ) = σ 3 ( i ) ∏ ρ = - ∞ i - 1 σ 1 ( ρ ) ψ 2 ( ich ) = σ 3 ( ich ) ∏ ρ = - - ∞ ich - - 1 σ 1 ( ρ )
Der unendliche Produktteil dient dazu, die dritte Komponente des Spins umzudrehen, um einen Knick zu erzeugen, und der Pauli-Matrixteil gibt ihm die üblichen fermionischen Antikommutationsbeziehungen.

Es stellt sich in der Kontinuumsgrenze heraus ψ 1 , 2 ψ 1 , 2 wirken wie zwei Komponenten einer freien Majorana-Fermion. Können ϕ 4 ϕ 4 auch in Form einer Majorana-Fermion ausgedrückt werden? Was sind die Beziehungen für das Fermionfeld von ϕ 4 ϕ 4 das sind analog zu den Beziehungen für ψ 1 , 2 ψ 1 , 2 in Bezug auf Pauli-Matrizen?

Dies scheint eine wichtige Frage zu sein. Ich kratzte mir den Kopf darüber. Könnten Sie Verweise auf die Operatoren auf den Gitter- und Majorana-Fermionen geben, insbesondere wenn dies einen Hinweis auf die Bosonisierung enthält?
Es wird in Kapitel 9 von Giuseppe Mussardos Buch Statistical Field Theory besprochen
Ein entscheidender Punkt in der Dualität von Sinus-Gordon und massivem Thirring ist, dass sowohl die Sine-Gordon-Solitonen als auch die massiven Fermionen im Thirring-Modell eine haben Z. Z. aufladen. Es ist topologisch für den ersteren und der andere Typ für den letzteren. Im Falle des ϕ 4 ϕ 4 Knicke, die topologische Ladung ist Z. 2 Z. 2 Das erste, wonach man suchen muss, ist eine andere Theorie mit a Z. 2 Z. 2 aufladen.
Ich verstehe die Implikationen noch nicht vollständig, aber die freie Majorana-Theorie hat eine Z2-Symmetrie. Sie können die Raumzeit durch eine komplexe Zahl darstellen z = x + i t z = x + ich t und neue Felder berücksichtigen Ψ , Ψ ¯ Ψ , Ψ ¯ die haben ψ 1 , 2 ψ 1 , 2 als reale / imaginäre Komponenten. Dann können Sie die Aktion umschreiben als ∫ d 2 z Ψ ∂ z ¯ Ψ + Ψ ¯ z Ψ ¯ + i m Ψ ¯ Ψ ∫ d 2 z Ψ ∂ z ¯ Ψ + Ψ ¯ z Ψ ¯ + ich m Ψ ¯ Ψ . Dies hat eine Symmetrie unter dem Umdrehen des Vorzeichens von Ψ ¯ Ψ ¯ und m m .
Dies ist nicht unbedingt der Fall, wenn Sie zweidimensional oder größer sind. Die Ladung ist ein Maß für die Entartung des Vakuums, die nicht nur zwei Punkte in dim> 1 betragen wird.

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