Integrale über Grassmann-Zahlen

Ich möchte eine Identität von Peskin & Schroeder beweisen, nämlich diese

( ∏ ich ∫ d θ ∗ ich d θ ich ) θ ∗ m θ l exp ( θ ∗ j B. j k θ k ) = det ( B ) B. - 1 m l ( ∏ ich ∫ d θ ich ∗ d θ ich ) θ m ∗ θ l exp ⁡ ( θ j ∗ B. j k θ k ) = det ( B. ) B. m l - - 1
B. B. ist ein Einsiedler N. × N. N. × N. Matrix und N. N. sollte gerade sein. θ j θ j und θ ∗ j θ j ∗ sind N. N. komplexe Grassmann-Zahlen.

Ich würde es gerne ähnlich wie bei komplexen und nicht bei Grassmann-Gauß-Integralen machen, bei denen Sie einen Begriff künstlich in das Exponential einführen und dann differenzieren. Das konnte ich beweisen

( ∏ ich ∫ d θ ∗ ich d θ ich ) exp ( θ ∗ j B. j k θ k + η ∗ j θ j + θ ∗ j η j ) = det ( B ) exp ( - η ∗ j B. - 1 j k η k ) ( ∏ ich ∫ d θ ich ∗ d θ ich ) exp ⁡ ( θ j ∗ B. j k θ k + η j ∗ θ j + θ j ∗ η j ) = det ( B. ) exp ⁡ ( - - η j ∗ B. j k - - 1 η k )
wo η η und θ θ sind (komplexe) Grassmann-Zahlen. Wenn sie nur komplexe Variablen wären, wäre der Rest klar. Ich könnte die erste Gleichung bekommen, die die zweite in Bezug auf unterscheidet η m η m und η ∗ l η l ∗ und dann lassen η = η ∗ = 0 η = η ∗ = 0 . Das Problem ist, dass für eine Grassman-Zahl das Exponential ist e θ = 1 + θ e θ = 1 + θ da alle übergeordneten bestellbedingungen stornieren. Für eine Summe wie hier sollte es auch Terme zweiter Ordnung geben, aber das Exponential wird dennoch nicht durch Differenzierung reproduziert.

Kann ich trotzdem so das gewünschte Ergebnis erzielen? Es sieht ziemlich vielversprechend aus, ich verstehe nur nicht, wie man von der zweiten Gleichung (linke Seite) zur ersten Gleichung (linke Seite) kommt. Es sollte mit Differenzierung funktionieren, aber ich verstehe nicht warum.

Während e θ = 1 + θ e θ = 1 + θ , e θ + ϕ = 1 + θ + ϕ + 1 2 θ ϕ e θ + ϕ = 1 + θ + ϕ + 1 2 θ ϕ , also sei vorsichtig.
Der "schnelle" Weg, diese Berechnung durchzuführen, besteht darin, eine einheitliche Transformation von Variablen durchzuführen, die macht B. B. Diagonale (das Integrationsmaß bleibt unverändert). Alles was bleibt ist, ein Produkt aus eindimensionalen Integralen zu machen.
@ Lionelbrits ist es? Die einheitliche Transformation führt die einheitliche Matrix wegen ein θ m θ m und θ l θ l . Wie werden Sie diese los?
Danke, Silv. Mein Kommentar ist falsch. Ich habe nicht an die freien Indizes gedacht.

Antworten (1)

BEARBEITEN

Die Methode, die Sie verwenden möchten, ist in Ordnung und liefert ein schnelles Ergebnis. Hier ist es:

ich = ∫ ∏ d θ ∗ d θ θ ∗ k θ l e x p ( θ ∗ B θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) ∫ ∏ d θ ∗ d θ e x p ( θ ∗ B θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) ich = ∫ ∏ d θ ∗ d θ θ k ∗ θ l e x p ( θ ∗ B. θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) ∫ ∏ d θ ∗ d θ e x p ( θ ∗ B. θ + η ∗ θ + θ ∗ η )

von wo folgt das ich ich entspricht

ich = d e t B ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ j ( B. - 1 ) i j η ich ) ∣ ∣ ∣ η ∗ = η = 0 ich = d e t B. ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η j ∗ ( B. - - 1 ) ich j η ich ) | η ∗ = η = 0

ich = d e t B ( B. - 1 ) k l ich = d e t B. ( B. - - 1 ) k l

Hinweis: Ich benutze die Schicht θ ich → θ ich + ( B. - 1 ) i j η j θ ich → θ ich + ( B. - - 1 ) ich j η j und θ ∗ ich → θ ∗ ich + η ∗ j ( B. - 1 ) j i θ ich ∗ → θ ich ∗ + η j ∗ ( B. - - 1 ) j ich . Hier habe ich die Tatsache genutzt, dass die zweiten Momente folgendermaßen als Ableitungen berechnet werden können.

⟨Η l η ∗ k ⟩ = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ j ( B. - 1 ) i j η ich ) ∣ ∣ ∣ η ∗ = η = 0 = ( B. - 1 ) i j ⟨ η l η k ∗ ⟩ = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η j ∗ ( B. - - 1 ) ich j η ich ) | η ∗ = η = 0 = ( B. - - 1 ) ich j

Mehr oder weniger können Sie dies als Definition nehmen. Wenn Sie dies dennoch beweisen möchten, gehen Sie wie folgt vor:

J. = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ j ( B. - 1 ) i j η ich ) = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) ∏ i j ( 1 - η ∗ j ( B. - 1 ) i j η ich ) J. = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η j ∗ ( B. - - 1 ) ich j η ich ) = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) ∏ ich j ( 1 - - η j ∗ ( B. - - 1 ) ich j η ich )

Nach direkter Differenzierung erhalten Sie

J. = ∏ i j δ k j δ l i ( B. - 1 ) i j = ( B. - 1 ) k l J. = ∏ ich j δ k j δ l ich ( B. - - 1 ) ich j = ( B. - - 1 ) k l

Sie können ignorieren, was unter der Linie ist, das war meine erste Antwort. Aber ich werde es verlassen, weil es für andere lehrreich sein kann.

Da ich noch keinen Kommentar abgeben kann, werde ich einen Beweis für einen einfacheren Fall skizzieren

ich = ∫ ∏ ich d θ ∗ ich d θ ich e x p ( θ ∗ ich B. i j θ j ) = d e t ( B ) ich = ∫ ∏ ich d θ ich ∗ d θ ich e x p ( θ ich ∗ B. ich j θ j ) = d e t ( B. )

und hoffe, dass dies Ihnen hilft, Ihre Integrale zu berechnen. Nachdem wir alle Exponentiale erweitert haben, kommen wir zu

ich = 1 N. ! ∫ d θ ∗ 1 d θ 1 … D. θ ∗ N. d θ N. ( θ ∗ ich 1 B. ich 1 j 1 θ j 1 ) ( θ ∗ ich 2 B. ich 2 j 2 θ j 2 ) … ( Θ ∗ ich N. B. ich N. j N. θ j N. ) ich = 1 N. ! ∫ d θ 1 ∗ d θ 1 … d θ N. ∗ d θ N. ( θ ich 1 ∗ B. ich 1 j 1 θ j 1 ) ( θ ich 2 ∗ B. ich 2 j 2 θ j 2 ) … ( θ ich N. ∗ B. ich N. j N. θ j N. )

An dieser Stelle sind einige Erklärungen angebracht. Der Faktor 1 / N. ! 1 /. N. ! erscheint aus der Erweiterung der Exponentiale. Um zu sehen, wie der Integrand erhalten wurde, schauen wir uns den Fall an, wann N. = 2 N. = 2 . Wir werden so etwas haben

∫ d θ ∗ 1 d θ 1 d θ ∗ 2 d θ 2 ( 1 + θ ∗ ich B. i j θ j + ( θ ∗ ich B. i j θ j ) 2 2 ! + ⋯ ) ∫ d θ 1 ∗ d θ 1 d θ 2 ∗ d θ 2 ( 1 + θ ich ∗ B. ich j θ j + ( θ ich ∗ B. ich j θ j ) 2 2 ! + ⋯ )

Es ist offensichtlich, dass nur der quadratische Term zum obigen Integral beiträgt, da nur dieser Term die Anzahl der Grassmann-Variablen im Integralmaß sättigen kann.

∫ d θ ∗ 1 d θ 1 d θ ∗ 2 d θ 2 ( ( θ ∗ ich B. i j θ j ) 2 2 ! ) = 1 2 ∫ d θ ∗ 1 d θ 1 d θ ∗ 2 d θ 2 ∑ ich 1 ich 2 , j 1 , j 2 2 ( θ ∗ ich 1 B. ich 1 j 1 θ j 1 ) ( θ ∗ ich 2 B. ich 2 j 2 θ j 2 ) ∫ d θ 1 ∗ d θ 1 d θ 2 ∗ d θ 2 ( ( θ ich ∗ B. ich j θ j ) 2 2 ! ) = 1 2 ∫ d θ 1 ∗ d θ 1 d θ 2 ∗ d θ 2 ∑ ich 1 , ich 2 , j 1 , j 2 2 ( θ ich 1 ∗ B. ich 1 j 1 θ j 1 ) ( θ ich 2 ∗ B. ich 2 j 2 θ j 2 )

Wenn wir die Summe erweitern und alle vier Integrale ausführen, erhalten wir

∫ d θ ∗ 1 d θ 1 d θ ∗ 2 d θ 2 ( ( θ ∗ ich B. i j θ j ) 2 2 ! ) = 1 2 ! [ 2 ( B. 11 B. 22 - B. 12 B. 21 ) ] = d e t B. ∫ d θ 1 ∗ d θ 1 d θ 2 ∗ d θ 2 ( ( θ ich ∗ B. ich j θ j ) 2 2 ! ) = 1 2 ! [ 2 ( B. 11 B. 22 - - B. 12 B. 21 ) ]] = d e t B.

Kehren wir nun zu unserem ursprünglichen Integral zurück ich ich . Der nächste Schritt vor dem Ausführen der Integrale besteht darin, die Integrale und die Grassmann-Zahlen neu zu ordnen.

ich = 1 N. ! ∫ d θ ∗ 1 … D. θ ∗ N. θ ∗ ich 1 … Θ ∗ ich 1 ∫ θ 1 … D. θ N. θ j 1 … Θ j 1 B. ich 1 j 1 … B. ich N. j N. ich = 1 N. ! ∫ d θ 1 ∗ … d θ N. ∗ θ ich 1 ∗ … θ ich 1 ∗ ∫ θ 1 … d θ N. θ j 1 … θ j 1 B. ich 1 j 1 … B. ich N. j N.

Von dort kommen wir endlich an

ich = 1 N. ! ϵ ich 1 … Ich N. ϵ j 1 … J. N. B. ich 1 j 1 … B. ich N. j N. = d e t B. ich = 1 N. ! ϵ ich 1 … ich N. ϵ j 1 … j N. B. ich 1 j 1 … B. ich N. j N. = d e t B.

(Hinweis: das Bestellergebnis ein 1 b 1 … A. N. b N. = a 1 … A. N. b 1 … B. N. ( - 1 ) N. ( N. - 1 ) / 2 ein 1 b 1 … ein N. b N. = ein 1 … ein N. b 1 … b N. ( - - 1 ) N. ( N. - - 1 ) /. 2 muss zweimal für die Integrale verwendet werden).

Ich fand diese Methode die einfachste von allen, wenn es um diese Art von Integralen ging. Ich hoffe, das hilft Ihnen, diese Beziehungen zu beweisen. Die gleiche Methode kann in Ihrem Fall sehr einfach angewendet werden (nur eine Verlängerung nach vorne). Und mit der von Ihnen beschriebenen Methode sind Sie überfordert, sich selbst zu komplizieren. Ich werde jedoch ein wenig daran arbeiten und sehen, was auf mich zukommt.

Auf welchen Schritt beziehen Sie sich?
Das Problem ist dieser Schritt. Die Exponentialfunktion im ersten Integral ist nur eine Summe bis Grad 2, denke ich, und so kann ich damit nicht wie mit einer normalen E-Funktion rechnen.
ich = d e t B ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( - ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ B. - 1 η ) ich = d e t B. ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( - - ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ B. - - 1 η )
Zum Beispiel
∂ θ exp ( θ ) = 1 ≠ exp ( θ ) ∂ θ exp ⁡ ( θ ) = 1 ≠ exp ⁡ ( θ )
Und natürlich auch den Schritt davor
ich = ∫ ∏ d θ ∗ d θ θ ∗ k θ l e x p ( θ ∗ B θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( - ∂ ∂ η l ) ∫ ∏ d θ ∗ d θ e x p ( θ ∗ B θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) ich = ∫ ∏ d θ ∗ d θ θ k ∗ θ l e x p ( θ ∗ B. θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( - - ∂ ∂ η l ) ∫ ∏ d θ ∗ d θ e x p ( θ ∗ B. θ + η ∗ θ + θ ∗ η )
Ich bin mir nicht sicher, wie ich mit den Exponentialen umgehen soll. Für mich sieht es so aus, als hätten Sie einfach ignoriert, dass es Grassmann-Zahlen gibt.
Ein Schritt auf einmal. In einer Dimension wären Sie richtig mit ∂ θ exp ( θ ) = 1 ∂ θ exp ⁡ ( θ ) = 1 Sie beschäftigen sich jedoch mit mehreren Dimensionen. Vielleicht war meine Notation schlampig, aber im Exponential hätte ich Indizes für schreiben sollen η η und θ θ . Der Trick bestand darin, die Derivate in Bezug auf Indizes zu nehmen k , l k , l nicht ich , j ich , j wie im Exponential gefunden. Und in mehreren Dimensionen gilt dies ∂ θ j ∂ θ ich = δ i j - θ j ∂ ∂ θ ich ∂ θ j ∂ θ ich = δ ich j - - θ j ∂ ∂ θ ich . Sie müssen dies also verwenden, wenn Sie die Ableitung erstellen.
Ja, aber im Integral haben wir eine Summe, in der jeder Index enthalten ist. Ich verstehe also nicht, warum die Exponentialfunktion nach der Differenzierung noch vorhanden ist. Könnten Sie bitte zeigen, wie die Anwendung Ihrer gerade genannten Regel zum Ergebnis führt?
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