Wie kann man die Idee einer funktionellen Renormierungsgruppe verstehen?

Die BRD kann als moderne Version von Wilson RG angesehen werden, obwohl die technischen Details natürlich sehr unterschiedlich sind. Aber alles in allem wären diese verschiedenen Versionen alle gleich, wenn man alle Berechnungen genau durchführen könnte.

Nun zu diesen technischen Unterschieden. In Wilson RG (und in Polchinskis Funktionsversion) arbeitet man mit einer Niedrigenergieaktion für Niedrigenergiemodi, dh man untersucht den Fluss von S. k [ φ q < k ]] definiert als

wo S. [ ϕ ] ist die mikroskopische Wirkung in einem Grenzmaßstab Λ (bevor irgendwelche Schwankungen heraus integriert wurden). Wilson (und Polchinski) geben uns eine Flussgleichung ∂ k S. k = … was auf die eine oder andere Weise gelöst werden muss.

In der BRD (zumindest Wetterichs Version) arbeitet man nicht mit S. k , was an sich kein sehr nützliches Objekt ist. Um Korrelationsfunktionen zu berechnen, müsste man tatsächlich dem Fluss von (nicht lokalen) Quelltermen folgen, was eigentlich keine Option ist. Es ist dann besser, mit einem Objekt zu arbeiten, das eine physikalische Interpretation hat, wenn die Impulsskala k geht zu 0 , was die wirksame Maßnahme sein wird Γ [ ϕ ] oder Gibbs freie Energie, die Legendre-Transformation der Erzeugungsfunktion verbundener Korrelationsfunktionen W. = ln Z. in Bezug auf lineare Quellen. Dies hängt vom Bestellparameter ab ϕ = ⟨φ⟩ .

Dazu führt man einen Reglerausdruck in das Pfadintegral ein ΔS k , die (auf sanfte Weise) die Entkopplung von Wilson (Modi mit q > k integriert sind und nicht die anderen). Die Partitionsfunktion ist dann

Aufgrund des Regulierungsbegriffs Z. k [ J. ]] ist so ziemlich die genaue Partitionsfunktion für den Modus mit q > k und eine Mittelfeld-Partitionsfunktion für die Modi mit q < k . Die skalierungsabhängige effektive Aktion wird dann als modifizierte Legendre-Transformation von definiert W. k = ln Z. k durch Die Subtraktion von ΔS k [ ϕ ] ist nur technisch. Im Limit k → Λ wollen wir alle Schwankungen unterdrücken, und ΔS k = Λ [ φ ] → ∞ , damit ist die Mittelfeldwirkung (mikroskopisch). Darüber hinaus, wenn k = 0 , ΔS k = 0 [ φ ] = 0 , und wird die genaue (quanten) effektive Aktion. Durch Differenzierung in Bezug auf k erhalten wir eine Flussgleichung für Γ k [ ϕ ] , die zwischen dem Mittelfeld (mikroskopisch) und der exakten (quanten) effektiven Wirkung interpoliert.

Diese Flussgleichung kann nicht genau gelöst werden, und es gibt verschiedene Näherungsschemata, um diese Aufgabe zu vereinfachen. Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass sie nicht störende Approximationen ermöglicht (im Sinne der ϵ Erweiterung). Insbesondere sind die einfachsten Näherungen bei einer Schleife genau, stellen Sie die erste Ordnung der wieder her 4 - ϵ und 2 + ϵ Expansion sowie die große N-Expansion. Es gibt auch Schemata, die es ermöglichen, den größten Teil der mikroskopischen Physik beizubehalten und Phasendiagramme von (zum Beispiel) Vielkörper-Quantensystemen zu berechnen. Schließlich der Vorteil der Arbeit mit Γ ist, dass wir physikalische Informationen daraus extrahieren können (nicht nur feste Punkte des Flusses, obwohl man das natürlich auch tun kann). Insbesondere kann man die Korrelationsfunktionen für alle Momente berechnen, nahe einem kritischen Punkt, eine ziemlich schwierige Aufgabe.

Für mich ist die beste Einführung die von B. Delamotte: arxiv: 0702.365