Vorab-Kommentare, die die Dinge offensichtlich erscheinen lassen

Betrachten Sie ein (konservatives) System von N. Partikel mit r ⃗ ich ihre Positionen sein.

Oh gut. Es gibt also vermutlich eine mögliche Energiefunktion U. ( r ⃗ 1 ,   r ⃗ 2 ,   … , R. ⃗ N. ) .

In diesem System gibt es anziehende und abstoßende Kräfte zwischen diesen Partikeln. F. ⃗ ich ist die Nettokraft, die auf das Teilchen wirkt ich in einigen Konfigurationen des Systems.

Also gut, wir brauchen technisch welche ∇ ich = ( ∂ ∂ x ich ,   ∂ ∂ y ich ,   ∂ ∂ z ich ) Betreiber und dann F. ⃗ ich = - ∇ ich U. . Kein Problem.

Es hört sich so an, als wären Sie mit partiellen Ableitungen nicht so vertraut. Die grundlegende Geschichte ist die in D. -dimensionaler Raum R. D. Wir approximieren eine Funktion aus R. D - 1 → R , was einige herausschneidet D - 1 -dimensionale "Hyperfläche" von D - 1 -dimensionale "Hyperebenen", die flach und tangential zur Oberfläche sind. Mit anderen Worten diese Funktion x D. = f ( x 1 , x 2 , … X. D - 1 ) wird als ungefähr gleich der Ebene gehalten x D. = c 0 + c 1   x 1 + c 2   x 2 + ⋯ + c D - 1   x D - 1 in einer kleinen Nachbarschaft etwa irgendwann. Diese Begriffe c ich sind "die partielle Ableitung von f in Bezug auf seine ich th Argument, das die anderen Argumente konstant hält, "was die mathematisch wahre Art ist, partielle Ableitungen zu betrachten, obwohl die andere Art (die Ihnen wahrscheinlich zuerst beigebracht wurde, an sie zu denken) nicht allzu weit davon entfernt ist. ¹ Natürlich können wir wiederholen Dieser Prozess an jedem Punkt, bekommen eine neue Tangentialebene, also sind diese wirklich c ich ( x 1 , … , X. D - 1 ) . Wir können Oberflächennormalenvektoren äquivalent zu diesen Oberflächen erhalten, indem wir eine Dimension höher gehen und definieren G ( x 1 … X. D. ) = f ( x 1 … X. D - 1 ) - x D. und nehmen die D. -dimensionaler Gradient ∇ g = [ c 1 , … C. D - 1 , - 1 ] , wenn Sie es lieber so sehen. ²

Frage 1: Arbeit reduziert potentielle Energie.

Meine Intuition ist, dass ein Teilchen um einen infinitesimalen Abstand in Richtung der Nettokraft verschoben wird F. ⃗ ich ... würde die potentielle Energie des Systems reduzieren ... Ist meine Intuition korrekt? Wie kann ich dies formell beweisen?

Ja, deine Intuition ist richtig. Die neue potentielle Energie nach dem Bewegen von Teilchen ich um einen Betrag δ r ⃗ ich ist

Die Annäherung an die Tangentialebene sagt oder mit etwas mehr Prägnanz und Allgemeinheit würden wir stattdessen sagen, dass für jede infinitesimale Verschiebung der Teilchen des Systems δ r = { δ r ⃗ ich }} Wir ändern die potentielle Energie durch Ich hoffe das ist klar genug, ∇ voll sein 3 N. -dimensionaler Gradient und r = ( x 1 y 1 z 1 , x 2 , … ) voll sein 3 N. -dimensionale Position. Ich werde diese gleich wieder verwenden.

Wie auch immer, durch die Definition der potentiellen Energie als die Funktion, die diese Differentialgleichungen löst, F. ⃗ ich = - ∇ ich U. , es ist klar, dass δ U. = ∑ ich ∇ ich U. ⋅ δ r ⃗ ich = - ∑ ich F. ⃗ ich ⋅ δ r ⃗ ich , Das ist genau das, was Sie beweisen wollten. Wenn du hältst N. - 1 von ihnen behoben δ r ⃗ ich = 0 und nur einen von ihnen variieren δ r ⃗ k ≠ 0 Sie ändern die potentielle Energie durch δ U. = - ∇ k U. ⋅ δ r ⃗ k .

Frage 2: Gleiche Frage mit verallgemeinerten Kräften

Meine Intuition hier wäre, eine verallgemeinerte Koordinate anzupassen q ich um einen infinitesimalen Betrag in Richtung Q. ich würde wieder die potentielle Energie des Systems reduzieren. Ist diese Intuition noch richtig?

Ich meine, der einfachste Weg, dies zu tun (und jede Arbeit mit Zwangskräften), besteht darin, mit dem Lagrange des Systems zu arbeiten. In diesem Fall können Sie Schwierigkeiten haben, "potentielle Energie" mit der einfachsten Definition zu definieren, was zu einer Verletzung Ihrer Intuition führt. ³ Ihre Definition von "generalisierter Kraft" und die Definition der Lagrange von "generalisierter Kraft" sind jedoch nicht gleichwertig.

Mit Ihrer Definition scheint es einfach zu sein zu sagen:

wie oben. Der Lagrange-Formalismus scheint das, was man als "Trägheitskräfte" bezeichnen könnte, in seine verallgemeinerte Kraft aufzunehmen, während Ihre Definition dies nicht tut. Alles, was Sie wirklich brauchen, ist die Aussage ∑ k ∂ r ⃗ ich ∂ q k   δ q k = δ r ⃗ ich , aber schau es dir an x , y z Komponenten und Sie werden genau die gleiche Geschichte sehen, die wir jetzt ein paar Mal wiederholt haben, wenn Sie haben x ich ( q 1 q 2 , … ) dann δ x ich = ∂ x ich ∂ q 1   δ q 1 + ∂ x ich ∂ q 2   δ q 2 + … , und die obige Gleichung gilt als triviale Verallgemeinerung.

Es gibt also wieder eine Definition von "generalisierter Kraft", die Ihrer Intuition nicht gehorcht, obwohl es möglicherweise eine Definition von "generalisierter potentieller Energie" gibt, die Ihnen dann wieder hilft ... aber Ihre Definition ist es nicht und wird es auch Gehorche immer deiner Intuition. (Wenn Sie die Fußnote nicht gelesen haben, heißt es in der anderen Definition: "Hier sind meine allgemeinen Impulse p ich sind meine verallgemeinerten Kräfte d p ich / d t . "Deshalb bekommen Sie dort Trägheitskräfte, wenn Ihre Koordinaten dies zulassen.)

Frage 3: Zwangskräfte

Wie spielen die Zwangskräfte dabei eine Rolle? Muss ich diese in aufnehmen? F. ⃗ ich ? Wie könnte ich diese Intuition erneut beweisen?

Was ist das Einfachste, was funktioniert? Angenommen, Sie haben eine Einschränkung f ( r ⃗ 1 , r ⃗ 2 , … R. ⃗ N. ) = C. . Wir können dies modellieren, indem wir hinzufügen U. ein Begriff α [ f ( … ) - C. ]] 2 für einige sehr groß α , Dadurch werden die Energiekosten zum Verlassen der Beschränkung extrem hoch.

Die resultierende verallgemeinerte Kraft hat daher auch diesen sehr großen Begriff, Q. ' k = Q. k + 2 α   f   ∇ f ⋅ ∂ r ∂ q ich . (Hab dir gesagt, ich würde es wieder benutzen!) Oder doch? Was bedeutet es für einen Antrag, den Beschränkungen zu gehorchen? Das bedeutet es wirklich δ f = ∇ f ⋅ δ r muss sein 0 konservieren f ( … ) = C. . Also wenn all dies q ich Befolgen Sie die Einschränkung einzeln, dann jeweils ∂ r / ∂ q ich muss senkrecht zu sein ∇ f zwingen δ f = 0. Sp eigentlich Q. ' k = Q. k . Auch wenn wir uns da Sorgen machen α ist riesig, wir können uns genau entspannen, weil unsere Koordinaten die Zwänge verkörpern, niemals verletzen.

Frage 4: das Prinzip der minimalen Energie

[in einem Kommentar] "Genau so, wie Sie beweisen würden, warum eine zusammengedrückte oder verlängerte Feder in ihre Gleichgewichtsposition gelangen würde." - es macht für mich vollkommen Sinn; aber ich habe immer noch keine Ahnung, wie ich das formal beweisen könnte.

Dies ist in einem konservativen System tatsächlich etwas schwierig zu beweisen, wie es sein sollte, da die Energie erhalten bleibt und die zusammengedrückte Feder nicht leicht in ihre Gleichgewichtsposition zurückkehren sollte, sondern um sie herum schwingen sollte! Der einfachste Weg ist zu bemerken, dass Widerstandskräfte typischerweise der Geschwindigkeit entgegenwirken und daher negative Arbeit leisten, was zu der Erwartung einer Minimierung der Gesamtenergie führt: Die kinetische Energie wird bei minimiert v ich = 0 wird die potentielle Energie überall minimiert.

Um das System konservativ zu halten, besteht der größte Mechanismus darin, es schwach an eine unendliche Anzahl anderer Freiheitsgrade zu koppeln, beispielsweise an Oszillatoren, und dann die Bewegungsgleichungen abzuleiten und Grenzen und Annäherungen zu nehmen, die immer mehr der anderen Freiheitsgrade ignorieren Freiheit und die Energien in ihnen. Sie finden einen ähnlichen Energiefluss "aus" dem "Teil des Systems, der uns wichtig ist" und in "dem Teil, den wir nicht interessieren". Dann erkennen Sie, dass es auch einen Rückfluss geben sollte, wenn die Energie niedrig genug wird: et voilà, Sie haben thermische Schwankungen wiederentdeckt.

Einige Fußnoten

1. Wahrscheinlich wurde Ihnen stattdessen beigebracht, eine Ableitung in Bezug auf einen symbolischen Ausdruck zu nehmen p ( x 1 , … X. n ) während Sie halten D - 2 andere symbolische Ausdrücke q ich ( x 1 , … X. n ) konstant, wo oft die symbolischen Ausdrücke sehr trivial sind p = x 1 aber manchmal sind sie kompliziert wie r = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ . Dies ist theoretisch nicht allzu schwer zu definieren. Diese symbolischen Ausdrücke müssen invertiert werden, um sie für einige Funktionen zu lösen x ich ( p , q 1 q 2 , … Q. D - 2 ) und ersetzen Sie sie dann durch Definieren G ( p , q ⃗ ) = f ( x 1 ( p , q ⃗ ) ,   x 2 ( p , q ⃗ ) ,   … ) . Die Ableitung von G in Bezug auf sein erstes Argument ist dann die Definition für "die Ableitung von f in Bezug auf den symbolischen Ausdruck p Halten der anderen symbolischen Ausdrücke für den anderen q ich Konstante."
2. Ich wollte das nur erwähnen, wenn Sie Farbverläufe als normale Vektoren für Pegelsätze betrachten G ( … ) = C. Dann erhalten Sie eine schöne Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren als Vektorskalierung. "Erhöhen f auf G ( … ) = C. dann müssen Sie einen Schritt in Richtung machen ∇ f Natürlich können Sie diesen Schritt nicht genau ausführen, aber Sie können in Richtung der Projektion normal zu treten ∇ g , ∇ f - ( ∇ f ⋅ ⋅ g ) ∇ g / | ∇ g | 2 , und noch erhöhen. Der einzige Weg, um maximal zu sein, ist, wenn der obige Schritt uns nicht weiter bringt, weil er wegen der beiden Vektoren Null ist ∇ f und ∇ g sind parallel, ∇ f = λ   ∇ g ." Boom, λ ist Ihr Lagrange-Multiplikator.
3. Der Lagrange eines konservativen Partikelsystems ist L = ∑ ich m ich v 2 ich / 2 - U. , neu ausgedrückt in Koordinaten { q ich q ˙ ich }} die Ihre Einschränkungen direkt verkörpern. Die Euler-Lagrange-Gleichungen geben einen verallgemeinerten Impuls an p ich = ∂ L / ∂ q ˙ ich für jede Koordinate q ich und eine verallgemeinerte Kraft F. ich ∂ L / ∂ q ich , dann sag dir, dass die Bewegungsgleichungen immer sind d p ich / d t = F. ich , und wieder besteht keine Notwendigkeit, sich mit Einschränkungen zu beschäftigen. Trotzdem ist es nicht immer so offensichtlich, wie man einen Begriff von "potentieller Energie" aus dem Lagrange zurückgewinnt, aber der einfachste Weg ist, den Hamiltonianer zu definieren H. = - L + ∑ ich   p ich   q ˙ ich , was intuitiv ist H. = K. + U. zu den Lagrange L = K. - U. , daher bekommst du U. = ( H. - L ) / 2 = - L + 1 2 ∑ ich   p ich   q ˙ ich . Jetzt können Sie sehen, "es kommt darauf an." Offensichtlich F. ich   δ q ich = δ ich L. basierend auf der Definition der verallgemeinerten Kraft. Wenn dies also positiv ist, ist der führende Begriff negativ und die potentielle Energie "will" abnehmen. Wenn jedoch einige p k kommt drauf an q ich und q ˙ k ist schon sehr groß, es könnte durchaus zunehmen. Ein Beispiel hierfür wäre ein Spinnsystem, bei dem der Drehimpuls wie folgt funktioniert p θ = ∂ L / ∂ θ ˙ = m r 2 θ ˙ , ein Schritt zu mehr r bei hohen Werten von t ˙ h e t a könnte zunehmen L. aber erhöhen p θ   θ ˙ mehr, so dass U. steigt obwohl L. steigt auch. Im Grunde ist dies ein Zentrifugalkraftbegriff, der das Ding gegen ein Potential zieht, das es näher an der Mitte halten möchte; Die verallgemeinerte Kraft umfasst die Zentrifugalkraft, die obige Definition der potentiellen Energie jedoch nicht. Wenn die Zentrifugalkraft stärker als das Potential ist, sehen Sie eine Situation, in der die generalisierte Kraft in eine Richtung zeigt, die die gesamte potentielle Energie erhöht, nicht verringert .