Lagrange-, kinetische und potentielle Energie mit zwei Massen, die mit drei Quellen verbunden sind [geschlossen]

Question

Lagrange-, kinetische und potentielle Energie mit zwei Massen, die mit drei Quellen verbunden sind [geschlossen]

Physik
Frühling
Klassische-mechanik
Lagrange-formalismus
Gekoppelte-oszillatoren
Hausaufgaben-und-übungen

Qmechanic

Zwei Massen $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ und $m_{2}$ $m_{2}$ $m_{2}$ $m_{2}$ $m_{2}$ sind auf einer reibungslosen Oberfläche. Sie sind durch drei Federn mit Konstanten verbunden $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ . $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ und $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ sind an Wänden befestigt und $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ ist zwischen den Massen. $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ ist dann links $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ und $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ auf der rechten Seite. Gleichgewichtspunkte für die Massen sind $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ und $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ .

Was ist die gesamte kinetische Energie?
Was ist die gesamte potentielle Energie?
Baue den Lagrange.

Wäre die kinetische Energie Null? Ich habe Potenzial bei $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ wie

U. = - - k_{1} x_{1} + k_{2} (x_{1} - - x_{2})

und das Potenzial bei

m_{2}

m_{2}

m_{2}

m_{2}

m_{2}

wie

U. = - - k_{2} (x_{1} - - x_{2}) + k_{3} x_{2}

Ich habe das Gefühl, dass ich diese Gleichung nicht richtig aufstelle.

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Lagrange-, kinetische und potentielle Energie mit zwei Massen, die mit drei Quellen verbunden sind [geschlossen]

sahin · Answer 1

Eine einfache Abbildung des vorliegenden Systems ist unten angegeben.

physikalisches System in der Frage

Beim Schreiben der kinetischen Energie verwenden wir die Geschwindigkeiten der Teilchen. Insbesondere quadrieren wir die Geschwindigkeiten. Und Geschwindigkeit ist nichts anderes als die Ableitung der Verschiebung. Hier haben wir zwei Teilchen, bei denen wir ihre Verschiebungen durch gezeigt haben $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ und $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ . Das heißt, kinetische Energie für das erste Teilchen ist

{T.}_{1} = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{x}}_{1}^{2},

wo der Punkt oben auf $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ bezeichnet eine Zeitableitung, dh; ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ . Ähnlich kinetische Energie des zweiten Teilchens ist

{T.}_{2} = \frac{1}{2} m_{2} {\dot{x}}_{2}^{2} .

Daher ist die gesamte kinetische Energie des Systems

T. = {T.}_{1} + {T.}_{2} = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{x}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{x}}_{2}^{2} .

Unter der Annahme, dass kein anderes externes Potential für das System vorhanden ist, entspricht die potentielle Energie des Systems der potentiellen Energie, die in den Federn gespeichert ist. Für jeden Frühling kennen wir das Hookesche Gesetz: $F = - k x$ $F = - k x$ $F = - k x$ $F = - k x$ $F. = - - k x$ . Das ist; eine Feder um einen gewissen Abstand zusammendrücken oder verlängern $x$ $x$ $x$ braucht es eine Kraft $F$ $F$ $F.$ das ist proportional zu etwas, das "Federkonstante" genannt wird und durch gezeigt wird $k$ $k$ $k$ .

Potenzielle Energie für jedes System ergibt sich aus $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U. = - - \int \vec{F.} \cdot d \vec{r}$ Integral. Für die Federkraft haben wir

U. = - - \int (- - k x) d x = \frac{1}{2} k x^{2},

Dabei werden die Integrationskonstanten ignoriert.

Jetzt haben wir alle Werkzeuge, um das Problem zu lösen. Schauen wir uns zuerst die Feder links an, die die Federkonstante hat $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ . Die linke Seite dieser Feder ist an der Wand und die rechte Seite an der Masse befestigt $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ . Und Masse $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ ist frei zu bewegen (denken Sie daran, wir haben eine Koordinate dafür zugewiesen). Somit hat diese Feder das Potenzial, sich um einen Betrag von zu verlängern oder zusammenzudrücken $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ wann immer Masse $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ bewegt sich. Daher ist die potentielle Energie dieser Feder

{U.}_{1} = \frac{1}{2} k_{1} x_{1}^{2} .

Ebenso hat die Feder ganz rechts die potentielle Energie

{U.}_{3} = \frac{1}{2} k_{3} x_{2}^{2} .

Und schließlich haben wir für den Frühling in der Mitte eine Verschiebung, die von beiden Koordinaten abhängt $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ und $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ . In diesem Fall wird potentielle Energie geschrieben als

{U.}_{2} = \frac{1}{2} k_{2} (x_{2} - - x_{1})^{2} .

Dann ist die gesamte potentielle Energie des Systems

U. = {U.}_{1} + {U.}_{2} + {U.}_{3} = \frac{1}{2} k_{1} x_{1}^{2} + \frac{1}{2} k_{3} x_{2}^{2} + \frac{1}{2} k_{2} (x_{2} - - x_{1})^{2} .

Lagrange eines Systems ist gegeben durch $L = T - U$ $L = T - U$ $L = T - U$ $L = T - U$ $L. = T. - - U.$ . Deshalb für unser System

L. = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{x}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{x}}_{2}^{2} - - \frac{1}{2} k_{1} x_{1}^{2} - - \frac{1}{2} k_{3} x_{2}^{2} - - \frac{1}{2} k_{2} (x_{2} - - x_{1})^{2} .

HINWEIS: Bei solchen Berechnungen können die natürlichen Längen der Federn berücksichtigt werden. Konstante Terme in potentiellen Energien haben jedoch in der Physik keine Bedeutung. Wenn Sie sie meistens ignorieren, sparen Sie Zeit und vereinfachen die Berechnungen. Während meiner Antwort habe ich diese Längen aus Gründen der Klarheit ignoriert.

Das Veröffentlichen von Antworten auf zugrunde liegende Hausaufgabenfragen wie diese verstößt gegen unsere Hausaufgabenrichtlinie - aber es ist lange her, dass dies veröffentlicht wurde, sodass ich nichts dagegen unternehmen werde.

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sahin

David Z ♦

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